2023年中考数学二轮复习《折叠问题》培优练习(含答案)

中考数学二轮专题复习

《折叠问题》培优练习

一、选择题

1.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则Na的度数等于（）

A.50°B.60°C.75°D.85°

2.如图，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC,交人D于点

E,若NDBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°角（虚线也视为角

A.3个B.4个C.5个D.6个

3.如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上若AB=6,

AD=9,则五边形ABMND的周长为（）

尸

AE'D

---------

BMC

A.28B.26C.25D.22

4.如图，有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠，使得AD边落在AB边

上，折痕为AE,再将aAED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F,则^CEF的面积

19

-民-a24

28D.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B'点处,

若AB=4,则折痕EF的长度为（）

A.8B.4^/5C.5乖D.10

6.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE,EG,FG为折痕，若顶点A,C,D都落

在点0处，且点B,0,G在同一条直线上，同时点E,0,F在另一条直线上，则AD：

3

C.2

7.如图矩形ABCD中，AB=3,BC=3^3,点P是BC边上的动点，现将4PCD沿直线

PD折叠，使点C落在点G处，则点B到点C的最短距离为（）

A.5B.4C.3D.2

8.将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三

角形，则这个三角形面积的最小值是（

16

C.3y[3cm2D.16cm2

二、填空题

9.如图,在平面直角坐标系中，已知点A(0,4),B(3,0),连结AB,将AAOB沿过

点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴的正半轴于

点C,则直线BC所对应的函数表达式为.

10.将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，折痕为EF,连接AE,

将AE折叠到AB上，折痕为AH,则BH：BC的值是.

11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E在CD上，将ZXBCE沿BE折叠,

点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将aABG沿BG折叠，点A恰落在线段

3

BF上的点H处，有下列结论：①NEBG=45°；②△DEFS^ABG；③S<MBG=5S&CH；

④AG+DF=FG.

其中正确的是.(把所有正确结论的序号都选上)

3

12.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=a，点E在边BC上，且BE=*.连接AE,

5

将4ABE沿AE折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则a的值为

BE

13.一张直角三角形纸片ABC,ZACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任

一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当ABDE是直

角三角形时，则CD的长为.

14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、0C分别落在x轴、y

轴上，连接0B,将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在D的位置上.若AC=m，0C=2BC,

则点D的坐标.

15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将AADE沿AE折叠至△

AFE,延长EF交BC于点G,连结AG.

(1)求证：4ABGgAAFG；

⑵求BG的长.

16.将矩形ABCD折叠使A,C重合，折痕交BC于E,交AD于F,

⑴求证：四边形AECF为菱形；

(2)若AB=4,BC=8,求菱形的边长；

⑶在⑵的条件下折痕EF的长.

17.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于

点E.

(1)试找出一个与4AED全等的三角形，并加以证明；

(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点，PG_LAE于G,PH，EC于H,试求PG+

PH的值，并说明理由.

18.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：

操作一：如图1,将Rt^ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为

DE.

(1)如果AC=6cm,BC=8cm,可求得4ACD的周长为；

(2)如果NCAD：ZBAD=4：7,可求得NB的度数为；

操作二：如图2,小王拿出另一张Rt^ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落

在斜边AB上，且与AE重合，若AC=9cm,BC=12cm,请求出CD的长.

19.矩形AOBC中，0B=8,0A=4.分另U以OB,0A所在直线为x轴，y轴，建立如图1

所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B,C重合)，过点F的反比例函

k

数y=-(k>0)的图象与边AC交于点E.

(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；

(2)连接EF、AB,求证：EF〃AB；

(3)如图2,将4CEF沿EF折叠，点C恰好落在边0B上的点G处，求此时反比例函

数的解析式.

20.将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交BC于

F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图).

(1)如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；

(2)如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a,问^CMG的周长是否与点M的位置有

关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

21.如图，抛物线L：y=-x?+bx+c经过点A(l,0)和点B(5,0),已知直线1的解析

式为y=kx-5.

(1)求抛物线L的解析式、对称轴和顶点坐标.

⑵若直线1将线段AB分成1：3两部分，求k的值；

(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，

当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.

(4)将抛物线L在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线

剩余的部分组成的新图象记为L2

①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；

②直接写出直线1与图象L2有四个交点时k的取值范围.

答案

l.C

2.D

3.A.

4.C.

5.C.

6-B.

7-C.

8.B

13

.答案为：

9y=乙--x+乙-

10.答案为:2~2-

口•答案为：①③④.

12.答案为：段或

OO

24

13.答案为：3或7.

14.答案为：(-0.6,0.8)

15.证明：⑴•.•四边形ABCD是正方形，

/.ZB=ZD=90°,AD=AB.

由折叠可知，AD=AF,ZAFE=ZD=90°,

/.ZAFG=90°,AB=AF.

/.ZB=ZAFG=90o.

XVAG=AG,

/.RtAABG^RtAAFG(H.L.).

⑵解：•.♦△ABG四有6,

，BG=FG.

设BG=FG=x,则GC=6-x,

•；E为CD的中点，

，EF=DE=CE=3,

，EG=x+3,

在RtZ\CEG中，由勾股定理，

得3?+(6-X)2=(X+3)2,解得X=2,

，BG=2.

16.证明：⑴•••矩形ABCD折叠使A,C重合，折痕为EF,

：.OA=OC,EF±AC,EA=EC,

•.•AD〃AC,

/.ZFAC=ZECA,

在AADF和△COE中，

'ZFAO=NECO

<AO=CO

^AOF=COE

/.△AOF^ACOE,

/.OF=OE,

V0A=0C,AC_LEF,

...四边形AECF为菱形；

(2)①设菱形的边长为x,则BE=BC-CE=8-x,AE=x,

在RtZ\ABE中，VBE2+AB2=AE2,

/.(8-x);+42=X2,解得x=5,

即菱形的边长为5；

②在RtZ\ABC中，AC=4邓，

.•.0A=$C=2或，

在RSA0E中，AE=5,

0E=邓,

.,.EF=2OE=275.

17•解：(l)^AEDgaCEB'

B:

AB

证明：•.•四边形ABCD为矩形，

.•.B'C=BC=AD,NB'=ZB=ZD=90°,

又•.•NB'EC=ZDEA,

/.△AED^ACEB,；

(2)由折叠的性质可知，NEAC=NCAB,

VCD/7AB,

ZCAB=ZECA,

/.ZEAC=ZECA,

/.AE=EC=8-3=5.在AADE中，AD=4,

延长HP交AB于M,则PM_LAB,

/.PG=PM.

/.PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.

1&解:操作一:(1)14(2)35°

操作二：•.•AC=9cm,BC=12cm,

.*.AB=15(cm),

根据折叠性质可得AC=AE=9cm,

/.BE=AB-AE=6cm,

设CD=x,则BD=12-x,DE=x,

在RtZ\BDE中,由题意可得方程(+62=(12-x),,

解得x=4.5,

，CD=4.5cm.

19•解:(1”.•四边形OACB是矩形,0B=8,0A=4,

.,.C(8,4),

VAE=EC,

，E(4,4),

k

•.•点E在y=［上，

.\E(4,4).

⑵连接AB,设点F(8,a),

图1

.*.k=8a,

AE(2a,4),

.•.CF=4-a,EC=8-2a,

在Rt4ECF中，tanNEFC=^=竺辿■=2,

FC4-a

在RtZSACB中，tanNABC=M=2,

BC

tanNEFC=tanNABC,

/.ZEFC=ZABC,

；.EF〃AB.

/.ZMGE+ZFGB=90°,

过点E作EM±OB,

AZMGE+ZMEG=90°,

/.ZMEG=ZFGB,

/.RtAMEG^RtABGF,

•.•点E(",4),F(8,、)，

48

/.EC=AC-AE=8-CF=BC-BF=4-S，

48

，EG=EC=8GF=CF=4-g

48

.2，i

VEM=4,，GB=2,

'.GB上

8

在RtZ\GBF中，GF2=GB2+BF2,

即：(4-1)2=(2)2+(1)2,/.k=12,

12

...反比例函数表达式为y=T.

20.证明：(l)DE为x,则DM=1,EM=EA=2-x,

在RtZ\DEM中,ZD=90°,

.\DE2+DM2=EM2

X2+12=(2-X)2

35

X=T,EM=~.

44

35

(2)设正方形的边长为2,由(1)知，DE=~,DM=1,EM=~

/.DE：DM：EM=3：4：5；

(3)Z^CMG的周长与点M的位置无关.证明:

设DM=x,DE=y,

贝i」CM=2a-x,EM=2a-y,

VZEMG=90°,

.,.ZDME+ZCMG=90°.

VZDME+ZDEM=90°,

.,.ZDEM=ZCMG,

又•.•/□=NC=90°ADEM^ACMG,

CG_CM_MGBnCG_2a-x_MG

.・.DMDEEMxy2a-y

,x(2a-x)(2a-x)(2a-y)

/.CG=---------,MG=-------------,

yy

△CMG的周长为CM+CG+MG=&±Q.

y

在RtZSDEM中，DM?+DE2=EM?

BPx2+y2=(2a-y)?整理得4a2-x2=4ay,

/.CM+MG+CG=^y=4a.

y

所以△口£的周长为4a,与点M的位置无关.

21•解：(1”.,抛物线L：y=-x?+bx+c经过点A(L0)和点B(5,