中国精算师-精算模型-经验模型

中国精算师-精算模型-经验模型[单选题]1.在完整数据研究中，恰在第2次死亡之后的累积危险率函数H（t）的Nelson-?alen估计量为11/30，则恰在第4次死亡后的H（t）的估计量为()。A.0.37（江南博哥）B.0.60C.0.63D.0.95E.0.98正确答案：D参考解析：在第2次死亡后，，其中n为初始样本容量，由已知条件得，即11n2－71n+30=0，解得：n=6（其中n=5/11舍去）。故。[单选题]2.在一完整数据研究中，初始样本容量n=10，S（12）的乘积极限估计为并且每次死亡均发生在不同的时点上，则S（12）的Nelson-?alen估计量为()。A.0.28546B.0.33611C.0.62157D.0.66389E.0.71454正确答案：E参考解析：因为是完整数据，则S（12）的乘积极限估计为所以在t=12时，有7个生存者。即t=12以前发生了3次死亡，于是H（12）的Nelson-?alen估计量为[单选题]3.有50位60岁的退休职工购买了一年定期寿险，在此后的一年中，有5人死亡，其中在第一季末死亡2人，第三季末死亡3人，且在岁有6人退出，则q60的乘积估计量为()。A.0.109B.0.209C.0.309D.0.409E.0.509正确答案：A参考解析：依题意作如图所示划分，其中向下箭头表退出，×表示死亡。图死亡、退出示意图[单选题]4.观察由10名100岁的老人组成的研究对象，观察到在时间2有1人死亡，在时间4.5有1人死亡，在时间4有x人退出，若用乘积估计法估计，则x=()。A.2B.3C.4D.5E.6正确答案：B参考解析：依题意作图所示划分，其中向下箭头表退出，×表示死亡。图死亡、退出示意图[单选题]5.观察4只刚出生的小白鼠，它们的死亡时间分别为2，4，5，9。记为利用乘积估计法估计的S（8），为利用Nelson-Aalen法估计的S（8），则=()。A.－0.26B.－0.16C.－0.09D.0.26E.0.36正确答案：C参考解析：由已知得：[单选题]6.在一完全数据研究中，若每一死亡点只发生一次死亡，用Nelson-?alen法估计累积危险率函数H（t），得到=0.303，=0.38，则=()。A.0.12B.0.23C.0.24D.0.36E.0.46正确答案：E参考解析：设初始样本量为n，则累积危险率函数的估计量为[单选题]7.在对一完全数据研究中，初始样本n=16，是S（t）的乘积估计量，并且每次死亡均发生在不同的时点上，则S（10）的Nelson-?alen估计为()。A.0.758B.0.769C.0.778D.0.789E.0.798正确答案：A参考解析：由于是完全数据，且在t=10时，即有16×0.75=12个生存者，那么在t=10之前发生了4次死亡，所以S（10）的Nelson-?alen估计为：[单选题]8.已知：从t=0时观察实验小鼠中的10只小鼠，直到这10只小鼠全部死亡为止，观察到这10只小鼠的死亡时间为（单位：天）：2，3，4，4，6，6，7，8，8，10；且这10个只小鼠的寿命在[0，10]上服从均匀分布，则=()。A.0.0217B.0.0267C.0.0416D.0.0622E.0.0773正确答案：E参考解析：由于寿命服从[0，10]上的均匀分布，则5|q0=F（6）－F（5）=6/10-5/10=0.1，S（5）=1－F（5）=1－5/10=0.5，S（6）=1－F（6）=1－6/10=0.4所以[单选题]9.在完全数据研究中，从t=0开始观察10只小鼠，观察到死亡时间分别为：1，2，4，5，6，7，7，8，9，假设死亡在（0，10]内服从均匀分布，A.0.29B.0.39C.0.43D.0.49E.0.53正确答案：A参考解析：由于死亡在（0，10]内服从均匀分布，所以；而在（6，7]上有2只小鼠死亡，所以，故[单选题]10.对于100个由60岁的被保险人组成的团体进行为期1年的观察，其间有4个人死亡，死亡分别发生在第1个月末、第2个月末、第10个月末、第四季度末，且在半年时有10人退出，则q60的乘积估计量的方差为()。A.0.00035B.0.00043C.0.00047D.0.00050E.0.00056正确答案：B参考解析：由已知条件得：，所以[单选题]11.在对某个群体的完整数据研究中，研究结果为：（1）H（t）的Nelson-?alen估计值在第三次死亡之后的值为73/168；（2）每次死亡均发生在不同的时点上。则S（t3）的乘积估计量为()。A.5/8B.4/5C.5/6D.6/7E.7/8正确答案：A参考解析：由已知得：，解得n=8。由于死亡发生在不同时点上，且是完整数据研究，即中间没有退出和加入，所以[单选题]12.某一死亡率研究中，已知信息为：（1）中间没有新的加入者进入观察区间；（2）1个人在t3时死亡；（3）2个人在t4时死亡；（4）1个人在t6时死亡;（5）在区间[t3，t6）没有其他的死亡；（6）S（t）的乘积估计如表所示。计算[t4，t6）退出研究的人数为()。A.0B.1C.2D.3E.4正确答案：E参考解析：设在[t4，t6）退出研究的人数为w3，由已知条件作如图所示的分组，其中向下箭头表示退出，×表示死亡。[单选题]13.表中的数据集是一组人造的5年定期寿险保单中止时间的数据集。列出了从发行之日起观测的30份保单的数据，不仅详细给出了每个投保人的身故时间还给出了退保时间（只要身故或退保发生在5年到期之前）。对数据集的所有观测信息，则用经验方法估计q2及该估计值在2时刻存活的条件下的方差为()。表数据集A.0.06897，0.02214B.0.06879，0.00271C.0.07896，0.0221D.0.06897，0.00221E.0.07897，0.00214正确答案：D参考解析：n=30，在时刻2之前有1人身故，在时刻3之前有3人身故，因此有则q2的经验估计为计算这个估计量的条件方差，即在给定有29人在2时刻存活的条件下求方差。此时有[单选题]14.已知数据集如表所示，这是一组人造的工伤险赔付数据，与任何具体的保单或被保险群体无关，而且赔付都是按照损失量全额支付的。对数据集，假设免赔额为250，则用经验方法估计赔付额不低于1000的概率及该估计值的方差为()。表数据集A.B.C.D.E.正确答案：C参考解析：通过经验分析发现有13个损失额在免赔额250之上，其中有4个超过了1250（对这些损失的赔付为1000），故赔付额不低于1000的概率的经验估计为，用生存函数的记号可表示为关于这个估计量只有通过条件方差可以计算求得，这个方差的估计值是[单选题]15.表是一组普通责任保险保单的227例赔案的赔付额的观测值，则S（10000）和f（10000）的估计值以及这两个估计值的方差分别为()。A.B.C.D.E.正确答案：B参考解析：S（10000）和f（10000）的点估计分别为方差估计分别为[单选题]16.数据集收集了2009~2011年间94935个驾驶员每人每年出现交通事故数的数据，如表8-5所示。基于数据集可计算得到p（2）的经验估计及该估计量的方差分别为()。表数据集A.0.036，1.76×10-7B.0.017，1.76×10-5C.0.017，1.76×10-7D.0.0017，1.76×10-7E.0.017，1.96×10-7正确答案：C参考解析：p（2）的经验估计为[单选题]17.在0到1年的区间中，面对死亡威胁的个体数（r）为15，身故个体数（s）为3；在1到2年的区间中，面对死亡威胁的个体数和身故个体数分别为80和24；在2到3年的区间中，这2个量分别为25和5；在3到4年的区间中，这2个量变成60和6；在4到5年的区间中，这2个量是10和3，则用Greenwood近似公式计算的方差为()。A.B.C.D.E.正确答案：D参考解析：本题风险集计算如表所示。利用乘积极限公式，有则利用Greenwood公式计算的方差为，[单选题]18.已知数据如表所示，则在时刻20的累积风险率函数的Nelson-?alen估计量的标准差为()。A.0.1198B.0.1563C.0.1752D.0.1847E.0.1987正确答案：A参考解析：累积风险率函数H（x）的Nelson-?alen估计量为则那么时刻20的累积风险率函数的Nelson-?alen估计量的标准差为[单选题]19.来自10份保单的赔付额数据如下：2、3、3、5、5+、6、7、7+、9、11+（+表示损失额超过保单限额，以下同）。则使用乘积极限估计，计算出保单损失超过6.5的概率为()。A.0.48B.0.51C.0.54D.0.57E.0.60正确答案：A参考解析：保单中未删失的数据中损失小于6.5的有4个不同的值，y1=2，y2=3，y3=5，y4=6，相对应的风险集为r1=10，r2=9，r3=7，r4=5，实际保单损失等于相对应的值的个数为s1=1，s2=2，s3=1，s4=1，利用乘积极限公式，则[单选题]20.给定含有删失和截断的生存数据如表所示。使用Nelson-?alen估计得到H（3）的90%置信水平的对数变换置信区间为()。A.（0.688，0.969）B.（0.475，0.688）C.（0.475，0.994）D.（0.563，0.995）E.（0.475，0.764）正确答案：C参考解析：H（3）的Nelson-?alen估计值为其对数转换的置信区间为：将r1=30，s1=5，r2=27，s2=9，r3=32，s3=6，μ0.05=1.645带入上式得到H（3）的90%置信水平的对数变换置信区间为（0.475，0.994）。[单选题]21.在两个国家的保险产品的死亡率研究中，给定数据如表1所示。表1其中ri是（ti-1，ti）期间的风险数，Si是（ti-1，ti）期间的死亡数，并假定全部在ti时刻发生。令ST（t）表示基于两国汇总数据的S（t）的乘积极限估计，SB（t）是仅基于B国数据的S（t）的乘积极限估计，则|ST（5）-SB（5）|=()。A.0B.0.0472C.0.0687D.0.0847E.0.0964正确答案：D参考解析：两国汇总数据表如表2所示。表2利用乘积极限公式，则故|ST（5）-SB（5）|=0.0847。[单选题]22.累积危险率H（t0）的95%置信水平的线性置信区间是（1.63，1.99），则其90%置信水平的对数变换置信区间为()。A.（1.630，1.990）B.（1.665，1.967）C.（1.60，1.96）D.（1.655，1.978）E.（1.640，1.980）正确答案：B参考解析：累计危险率H（）的Nelson-?alen估计值为=，其线性置信区间和对数转换的置信区间的表达式分别为：其中。则可得到=0.18，那么=0.151。将上式和=1.81带入H（）的对数转换置信区间的表达式，有则所求的置信区间为（1.665，1.967）。[单选题]23.一份保单组合产生了如下赔付：100、150、196、250、300、300、400、450、590、770，则累积危险率H（300）的经验估计为()。A.0.8763B.0.8963C.0.9163D.0.9363E.0.9563正确答案：C参考解析：经验分布函数对总体的估计为，所以又，所以[单选题]24.对一份保单组合有如下信息：（1）各保单都没有免赔额，且保单限额各不相同；（2）一个有10个赔付额的样本如下：350、350、500、500、500+、1000、1000+、1000+、1200、1500，其中“+”表示损失额超过保单限额；（3）的乘积极限估计；（4）假设损失额服从指数分布，的最大似然估计。则的值为()。A.0.06B.0.07C.0.08D.0.09E.0.10正确答案：D参考解析：根据题意与数据，可得表所示。则的乘积极限估计为假设指数分布的参数为，生存函数为，其密度函数为，则其似然函数和对数似然函数分别为：令，解得。因为，所以。综上得。[单选题]25.来自10份保单的赔付额数据如下：4、4、5+、6+、7+、8、10+、10+、13、15。其中“+”表示损失额超过保单限额，利用Greenwood近似公式估计乘积极限估计的方差为()。A.0.04072B.0.03072C.0.02072D.0.01072E.0.05072正确答案：B参考解析：根据题意与数据，可得表。利用Greenwood近似公式估计乘积极限估计的方差为[单选题]26.对生存研究中的第i个观测，记di是左截断点，xi是没有右删失时的观测值，ui是右删失时的观测值。给定表1，利用以上数据求得S10（1.6）的乘积极限估计为()。表1A.1B.0.8517C.0.7143D.0.5714E.0.1905正确答案：C参考解析：表1的风险集计算如下表2所示。表2则由Kaplan-Meier乘积极限公式得：当t=1.6时，所以S10（1.6）的乘积极限估计为0.7143。[单选题]27.某个死亡率研究中包含n个人。假设没有删失数据，死亡不会同时发生。已知累计危险率的Nelson-?alen估计是59／870。令tk是第k次死亡发生的时间，则用乘积极限估计计算t9时的生存函数值为()。A.0.52B.0.70C.0.80D.0.91E.1.02正确答案：B参考解析：累计危险率的Nelson-Aalen估计值，则n=30（n=舍去），那么此时的生存函数值为。[单选题]28.在索赔赔付次数的研究中，假定数据没有删失或截断，一次索赔至多支付一次。已知第二次赔付后的瞬间，累积危险率的Nelson-?alen估计是17／72，则第四次赔付后的瞬间，累积危险率的Nelson-Aalen估计为()。A.0.1289B.0.2357C.0.3436D.0.5456E.0.6456正确答案：D参考解析：设n是总的索赔次数（初始的样本容量），第二次赔付后的瞬间，累计危险率的Nelson-Aalen估计是解得或者（舍去），则第四次赔付后的瞬间，累积危险率的Nelson-Aalen估计为[单选题]29.已知（0.357，0.521）是t时刻Nelson-?alen估计的累积危险率的90%置信水平的对数变换置信区间，则S（t）的Nelson-?alen估计为()。A.0.5397B.0.5797C.0.6497D.0.7527E.0.7597正确答案：C参考解析：设t时刻的累积危险率的估计为，则在90％置信水平的对数变换置信区间为根据已知条件，可变换为，求解得，因此。[单选题]30.一个损失样本中包含以下15个损失数据：11、22、22、22、36、51、69、69、69、92、92、120、161、161、230。设是累积危险率的Nelson-?alen经验估计，是假设样本来自损失服从指数分布的总体时，累积危险率的最大似然估计。则为()。A.0.112B.0.124C.0.136D.0.148E.0.160正确答案：A参考解析：易计算得=0.8052假设指数分布的参数为，生存函数为，其密度函数为，因此似然函数对数似然函数分别为：令，解得。因为，所以=0.9169，因此。[单选题]31.12位投保人自保单生效伊始就开始接受观察，直到发生第一次索赔，如表所示，则使用Nelson-?alen估计计算出累积危险率H（4.7）的90%置信水平的线性置信区间为()。A.（0.278，1.255）B.（0.251，1.055）C.（0.143，0.255）D.（0.378，1.053）E.（0.254，1.325）正确答案：A参考解析：根据题意，所求解的置信区间为

①其中，，，将其带入①得，H（4.7）的90％置信水平的线性置信区间为（0.278，1.255）。[单选题]32.在一项生存研究中，死亡发生时间依次为y1＜y2＜…＜y9。已知y6和y7时刻的累计危险率的Nelson-?alen估计分别为，其估计量方差分别，则y7时的死亡数为()。A.1B.2C.3D.4E.5正确答案：E参考解析：因为①②由①②解得，即y7时的死亡数为5。[单选题]33.已知数据集{yi}为：200、300、100、400、X。已知信息为（1）k=4；（2）=1；（3）r4=1；（4）Nelson-?alen估计。则X的值为()。A.100B.200C.300D.400E.500正确答案：A参考解析：根据信息（1）k=4，可得X的可能取值为100、200、300、400；根据信息（2）S2=1，可得X不可能取值为200；根据信息（3）r4=1，可得X不可能取值为400，则可能取值为100，300；分情况讨论，当X=100时，符合信息（4），所以X的值为100；当X=300时，不符合信息（4），所以X的值不可能为300；所以综上可以看出X的值为100。[单选题]34.已知数据集{Yi}为：2500、2500、2500、3617、3662、4517、5000、5000、6010、6932、7500、7500。设是数据集{yi}中没有删失数据时的Nelson－Åalen估计。是数据集{yi}中仅2500，5000，7500这7个数是右删失时的Nelson－Åalen估计，则为()。A.0.5833B.0.4833C.0.3833D.0.2833E.0.1833正确答案：A参考解析：数据有不同的观测值，2500，3617，3662，4517，5000，6010，6932，7500；相应的个数分别为s1=3，s2=1，s3=1，s4=1，s5=2，s6=1，s7=1，s8=2；从而有在仅2500，5000，7500这7个数是右删失时，此时未被删失的观测值分别记为y1=3617，…y5=6932，此时风险集rj包括（1）死亡时间在yj或yj以后的个体；（2）删失时间在yj或者yj以后的个体，因此r1=12-3=9，r2=8，r3=7，r4=4，r5=3，而s1=3，s2=1，s3=1，s4=1，s5=2，则Nelson-?alen估计计算得[单选题]35.一个研究右截断数据的死亡率研究中，给定以下数据（见表）。已知时刻为10时生存函数的Nelson-?alen估计是0.6133，则k的值()。A.31B.33C.35D.37E.39正确答案：E参考解析：根据生存函数与危险率函数的关系，可得又因为因此解得。[单选题]36.有5位患者从发病到死亡的时间的数据如下：2、3、3、7、8，用带宽为1的三角核函数估计时间为2.5时的密度函数为()。A.0.15B.0.2C.0.25D.0.3E.0.35正确答案：D参考解析：为了计算，需要考虑的点是2，3。由一般的三角函数，其中，得到相应的权重分别为因此。[单选题]37.设某总体的分布函数是F（x），给定下列样本数据：2.0、3.3、3.3、4.0、4.0、4.7、4.7、4.7，使用带宽为1.4的均匀核函数计算的F（4）的核密度估计为()。A.0.5536B.0.53125C.0.4578D.0.3893E.0.3557正确答案：B参考解析：对于，需要考虑的点有2，3.3，4，4.7，根据，计算它们的权重分别为1，，，，因此。[单选题]38.来自某一总体的10个样本数据为：1、2、3、3、3、3、3、3、3、3。分别记是使用带宽为1的均匀核函数的核密度估计，是使用带宽为1的三角核函数的核密度估计。则在[0，4]内满足的区间为()。A.B.C.D.E.正确答案：B参考解析：①当使用带宽为1的均匀核函数的核密度估计时，样本数据只有1，2，3三个数据，所以分情况讨论：当时，考虑数据1，；当时，考虑1，2，则；当时，根据核估计，考虑1，2，3，则；当时，考虑3，则；②使用带宽为1的三角核函数的核密度估计时，同理分区间得：当时，；当时，；当时，；当时，综上所述，当时，。[单选题]39.下面是10个观察者的死亡年龄：38、40、46、46、48、50、56、58、60、62，使用带宽为10的均匀核函数，则活过51岁的概率的核密度估计为()。A.0.425B.0.445C.0.465D.0.485E.0.515正确答案：D参考解析：设观察者的死亡年龄为，则估计概率为对于估计，需要考虑38，40，46，48，50，56，58，60，且它们的权重函数分别为1，1，，，，，，，可得：所以活过51岁的概率的核密度估计为。[单选题]40.在双重减因模型的研究中，假定个人生存数据受两种减因影响（见表）。已知：（1）qj’（2）=0.06对所有j成立；（2）A组包含1000组数据.观测期从0开始；（3）A组仅被第一种减因影响。则利用Kaplan-Meier多重损因估计A组至少能活到60岁的人数为()。A.770B.771C.772D.773E.780正确答案：E参考解析：因为则，即A组至少能活到60岁的概率为，又因为A组有1000组数据，所以至少能活到60岁的人数为0.7734×1000=773.4，即773人。共享题干题从t=0开始观察一个由8人组成的团体，直到他们全部死亡，仅记录发生死亡的时间（以天为单位）。假设t=0的初始事件发生在一天的中点，死亡事件也发生在那天的中点，那么，所有的生存期限均为整数。所观察的生存期限为3，4，5，5，7，10，10，12。So（t）是观察的样本空间的经验生存函数。[单选题]1.利用So（t）估计S（t），则S（5）