函数与方程（数学组 黄海香）

莆田第十三中学黄海香(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有

．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个

也就是方程f(x)＝0的根．零点f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使

成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．f(x)＝02．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点

，(x1,0)无交点零点个数(x1,0)(x2,0)两个一个零个

思考1:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么下列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点？(1)f(1)＞0,f(2)＞0;(2)f(1)＞0,f(2)＜0;(3)f(1)＜0,

f(2)＜0;(4)f(1)＜0,f(2)＞0.

若函数y=f(x)在（1,2）内具有单调性，则有几个零点？1．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分不必要条件．2.若满足以上几个条件的情况下，函数在(a，b)上具有单调性，则有且只有一个零点。[例1]设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(

)A．(－1,0)

B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)确定函数零点所在的区间利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．判断函数零点个数A．0

B．1C．2

D．3判断函数零点个数的常用方法(1)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．(2)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

[例3]已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，求a的取值范围．

函数零点的应用1.已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，求m的取值范围。

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．思考1．函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程f(x)＝0根的个数，可转化为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数(如例2(1))．

3．零点取值范围的确定函数零点的取值范围，即为方程f(x)＝0的根的取值范围，主要利用零点存在性定理解决，可结合函数的图象和性质，根据图象上的一些特殊点灵活处理3．由零点个数确定参数的