函数模型的应用实例

1．向高为H的水瓶内注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，则水瓶的形状是(

)答案：

B1.下图中哪几个图像与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图像写出一件事。①我离开家不久，发现自己把作业忘在家里，于是返回家里找到作业再上学②我骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间③我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速ABC0离家距离时间0离家距离时间0时间离家距离离家距离0时间D(D)(A)(B)c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充裕，于是放慢了速度。解析：

由题意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x

＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，x∈[1,100]，x∈N＋，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－

40x，x∈[1,100]，x∈N＋.[题后感悟]

(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．(2)一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．(3)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象12345908070605040302010vt这个函数的图像如图所示：解(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km(2)根据图形可得：908070605040302010vt12345变式、某蔬菜菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：（1）、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）

0200300t100300P0tQ50150250300100150250解(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为:由图2可得种植成本与时间的函数关系式为:(2)设时刻的纯收益为,则由题意得即时,配方整理得,所以当时,取得上的最大值当时,配方整理得所以当时,取得上的最大值;当综上,由可知,在上可以取得最大值100,此时=50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.[评析](1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用､个人所得税､话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.

(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同,要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.解决应用问题的基本步骤

(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选择模型;

(2)建模:将文字语言､图形(或数表)等转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.时间t50110250种植成本Q1501081504.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，还可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进入芦荟市场，栽培芦荟为了了解行情，进入市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝alogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本．

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还有农药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f(x)应满足的条件和具有的性质；(3)设f(x)=,现有a(a>0)单位量的水,可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.

题目中的假定是对f(x)的性质的描述，而确定用哪种方案时，只需比较两种方案的清洗效果.

(1)f(0)=1,表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量保持不变.(2)函数f(x)应满足的条件和具有的性质是：

f(0)=1,f(1)=,

在［0,+∞)上是减函数，且0<f(x)≤1.(3)设仅清洗一次,蔬菜上残留的农药量为f1,清洗两次后,蔬菜上残留的农药量为f2,则

f1=,f2=×=［］2因为f1-f2=-［］2=-所以，当0<a<时,f1<f2,即清洗一次蔬菜上残留的农药量较小；当a=时,f1=f2,即两种清洗方法的效果一样;当a>时,f1>f2,即清洗两次蔬菜上残留的农药量较少.=,

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