2023年高考数学第25讲 三角函数的性质及应用

第25讲三角函数的性质及应用——转化与变换

一、知识聚焦

三角函数是一类特殊的函数，研究其性质时应注意它的特殊性.而每一个具体的三角函

数相对于一般的三角函数更具特殊性，此时，既要注意到三角函数性质的一般性，又要注意

到在其特定条件下这个具体函数性质的特殊性.

解决三角函数图像与性质的综合问题必须重点抓住如下几种题型.

(1)三角函数的单调性及应用

(2)三角函数的周期性及应用

(3)三角函数的奇偶性及应用

当然，综合题会把单调性、周期性、奇偶性结合在一起，所以解决此类问题还要充分运用三

角函数的图像特征，特别是函数y=Asin(0x+<p)的对称轴和对称中心.求解过程中利用三角

恒等变换化简题中给出的非常见的三角函数解析式,再研究其性质是解此类问题的必经之路.

二、精讲与训练

核心例题1已知函数f(x)=cos2(x+念,g(x)=l+]Sin2x.

(1)设x=是函数y=/(x)的图像的一条对称轴，求g(x。)的值.

(2)求函数/i(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.

解题策略函数y=Asin(ox+e)的定义域、值域、周期性、单调区间、对称轴、对称中心等

性质是高考中的常考问题.第⑴问，可先把f(x)=cos2(x+刍化为y=Asin(ox+e)的形

式，其图像的对称轴方程是妙+夕二左乃+5依仁％)；若化为y=Acos(<yx+e)的形式，其图

像的对称轴方程是。x+S=%r(左eZ).第(2)问，由于函数y=Asin(a)x+9)(A>0,<w>0)的

单调增区间由不等式2%万-^4的+942%万+1仅€2)求得.这里必须注意整体思想的运用

以及3>0的条件.若。<0,则必须运用诱导公式使x的系数为正再整体求解.

1qr

解：(1)由题设f(x)=—[l+cos(2x+—)].

26

;x=x()是函数y=f(x)图像的一条对称轴，2xO+巴=k兀，即24=上乃一代(2£Z).，

66

11

g(A；,)=l+-sin2x=l+-sin(^-—).

220o

当k为偶数时，g(x0)=1+gsin(-*=1-;=(；

当k为奇数时，g(%)=1+—sin—=1+—=—.

]TTI

(2)h(x)=f(x)+g(x)=­[1+cos(2x+—)]+l+—sin2x

262

1/c冗、.c[3

=一|cros(2x4—)+sin2x]T—

262

1/801•O-3

=—(——cos2x+—sin2x)+—

2222

1.乃、3

=—sin(2x+—)+—

232

当2k7T——<2x+—<2k7r+—(kGZ)，即kjr--<x<^+—(A:GZ)时，函数

2321212

/?(x)=，sin(2x+生)+3是单调增函数.

232

故函数人。)的单调递增区间是收万—荒，版■+'](&eZ).

变式训练1求下列函数单调区间.

(1)y=sing-x).

xTT

(2)y=log,[cos(-+-)J.

,34

变式训练2已知啰＞0,函数/(x)=sin3x+J在年初上单调递减，则。的取值范围是().

A.

2,4

B.弓」)

C.。中

D.(0,2］

核心例题2(1)求函数y=sin(2x+马+2cos(3x-马的周期.

46

(2)设函数/(幻=-皿5+g)(人夕,^^常数,4＞0,。＞0),若/(x)在区间［工二］上具有单

62

调性，且吗)=/(争=毋令，则/")的最小正周期为.

(3)已知函数/(x)=sin(202Lv+马+cos(2021x-马的最大值为A,若存在实数玉,与，使得

63

对任意实数工总有/(%)工/(幻〈/(天)成立，则川玉-刈的最小值为().

A.—

2021

2021

24

C.

2021

D.兀

4042

解题策略第（1）问，如何求函数"x）=/（x）+/；（x）++£。）的周期？只要求出

/；（x）/（x）,,£（x）的周期依次为ZZ，则Z/,,7；的最小公倍数就是函数/"（X）的一

个周期.第（2）问，可从函数单调性入手，将逆向思维问题转化为正向思维的问题解决，还

可充分挖掘图像的几何性质以及对称性与周期性的关系.通过对图形的观察中寻找简洁的解

法.第（3）问，首先把解析式变形使之为y=Asin（ox+e）的形式，则A的值与周期T都可确

T

定.满足/（匕）«/。）工/（毛）成立的-wL=］，立即可以获解.

解：（1）设y=sin（2x+二）,弘=2cos（3x-马，则y的最小正周期7；=乃，则为的最小正周期

4~6

7；=y7；的最小公倍数为2%，」.T=2万.

（2）解法一•••/（X）在区间［2,。上具有单调性，且〃马=/（红），.•­=工和x=生均

622323

生+至

不是了⑴的极值点，其极值应该在犬=气_3_=普处取得，又,：于0=一于中，：.x=%

也不是/（X）的极值点.

又/（X）在区间［二二］上具有单调性，，x=2-（卫-马=三为一（X）的另一个相邻的极值点,

62612212

故/（x）的最小正周期7=2x（冷各=》.

解法二由f（x）在区间［工，与具有单调性，且/■（马=-/"（马.可知函数/a）的一个对称中心

6226

为（三,0）,由人马=/（二）知函数的对称轴为直线》="）（幻在区间［生,刍上具有单调性

3231262

可得二之三=7之辿，.・.生一%=三=二=7=九,即/（无）的最小正周期T=».

23312344

712.717171

71------H

解法三由已知画出图像（如图25-1所示），结合图像得工=2一上一2__6=£".7=万，

4224

即/（x）的最小正周期7=兄

y

图25-1

(3)依题意/(x)=sin(202lx)cos—+cos(2021x)sin—+cos(2()2lx)cos—+sin(202lx)sin—=

6633

>/3sin(202lx)+cos(202lx)=2sin(2021x+—).

6

A=2,T=i"，lx,—x.\=—=71.

2021I'"nun22021

的最小值为言，故选C.

变式训练1(1)求函数/(x)=sinx(l+tanxtan；)的最小正周期.

O-IT

(2)证明：函数y=Asin(〃犹+e)(A>0,&>0)的最小正周期是一.

(D

变式训练2(1)使函数y=sin0x(o>O)在区间［0,1］至少出现2次最大值，求少的最小值.

(2)使函数y=Asin6yx(A>0,<y>0)在区间［0,1］上至少出现50个最小值，求。的最小值.

(3)对任意实数°,若函数y=3sin<yx3>0)在区间［a,a+l］内至少有50个最大值，求©

的最小值.

(4)已知函数丫=58$(等「-$仅€代),对任意实数a,在区间［a,a+3］上要使函数值

*出现的次数不少于4次且不多于8次，求出的值.

4

核心例题3已知函数y=Asin(〃>+°)3>O,O<04乃)是R上的偶函数,其图像关于点

"(与,0)对称，且在区间［0,^］上是单调函数，求3和e的值.

解题策略关于三角函数奇偶性的讨论，首先，必须把握相关定义：对任意的xeR,若

./(-%)=/(X)恒成立,则y=/(x)为偶函数，其图像关于y轴对称;若/(-x)=-fix-)恒成立，

则y=/(x)为奇函数，其图像关于原点对称，反之亦然；其次，函数图像具有对称轴和对称

点时，可借助于函数解析式所具有的特征来考虑.

解：由f(x)是R上的偶函数，得/(—)=/a)即5皿-。*+9)=$皿5+9)，展开整理得一

一cos"sin5=cos°sinGX对任意x都成立，且公>0,cos^=0,又金&(pGn,：•(p=g

由/(X)的图像关于点用对称，得/(--%)=-/■(—+X).

44

取x=0,得/"(-)=-/(—),/(—)=0,/./(—)=sin(^+-)=cos^.

4444424

cos等=0,又。＞0,得到L=%+k兀(kwN),得切=2(24+1)#=0,1,2,.

当人=0时，0=gj(x)=singx+g在［0,自上是减函数；

当&=1时，0=2J(x)=sin(2x+$在［0,自上是减函数；

当&42时，0*,/(外=而(3$在呜］上不是单调函数.

7

综上，可得G=—或69=2.

3

变式训练(1)己知/(x)=sinx+GcosMxwR)，函数y=/(工+夕)(冏45的图像关于直线

x=0对称,则(p的值为.

(2)若将函数/Q)=sin2x+cos2x的图像向右平移。个单位，所得图像关于y轴对称，则

0的最小正值是().

A兀

A.—

8

c5n-

4

加

c一

8

比

D一

4

核心例题4已知函数/(x)=2sin(5+°)(网＜gs＞0),角勿的终边经过点尸(1,-百).若

4(4/。)),83"(i))是/。)图像上的任意两点，且当|/(匕)—/(%)|=4时，k一司=4的

最小值为工.

3

(1)求少和。的值.

(2)求函数在［0,乃］上的单调递减区间.

(3)当工£巨，"力时，不等式尸(幻-/0)-2工0恒成立.求m的最大值.

18

解题策略本例是三角函数f(x)=Asin(0x+s)这一模型的综合应用.第(1)问，由

|/(x.)-f(x2)\=2A,\xt-x2\mia=(,则周期为斗.第⑵问，从角。x+勿整体考虑，确定/(%)

的单调递减区间，再确定左的取值范围，求出在［0,%］上的单调递减区间.第(3)问，先求出

/(X)的取值范围，再确定机的取值范围.

解：(1)•••角9的终边经过点尸(1,-石)，，角8的终边也在第四象限，且tanp=-g,

可取夕=一班.

•点人(4/(4)),8(冷/(毛))是f(x)图像上的任意两点，且当|/(乙)-/(七)|=4