2023届福建省南安高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一辆邮车从A地往8地运送邮件，沿途共有〃地，依次记为A,A，...A,,（A为A地，为8地）.从A地出

发时，装上发往后面”-1地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各

地的邮件各1件，记该邮车到达A,Az，…A”各地装卸完毕后剩余的邮件数记为%（左=1,2/二〃）.则4的表达式为

().

A.k(n-k+1)B.k(n-k-DC.n(n-k)D.k(n-k)

2.已知三点4(1,0),5(0,6),C(2,B，则AABC外接圆的圆心到原点的距离为（

A-B.叵

33

「2亚

-

3

a,a>b1g(x)=':,则函数F(x)=/(x)区g(x)的最小值

定义。=<,,已知函数/(x)

3.-29

b,a<b2-sinx2-cosx

为()

24

A.B.1c.一D.2

33

-3

I

4.设复数二满足1+3则z=()

Z

11.11.11.

A.一+TB.——+—IC.---------1

222222

7

5.已知i是虚数单位,若一=2i+l,则|z|=()

l-l

A.72B.2c.MD.10

2x+y>4

6.设x,丁满足则2=彳+丁的取值范围是()

x-2><2

A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,+oo)D.(-00,3]

7.已知集合4={x[-2<x<3,xeN},8={x|x2〉l}A,则集合AB=（）

A.{2}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,0,1,2}

8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”,

亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵

爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角

形.设DE=2A尸=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）

C

9

C.—

131326。・噜

9.已知随机变量。满足P（4=A）=&（1—“J?"/,i=L2,%=0,1,2.若3＜目＜〃2＜1，则（）

A.E（《）＜E©）,。信）B.»«.）＞O«2）

C.E（行＞E©）,。（劲＜。仁）D.E⑻〉E&）,。（猫催）

10.已知i为虚数单位，若复数2=要14-21+1,则-2=

2-1

9

A.-+iB.1-i

C.1+iD.-i

11.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为弓，大圆柱底面半径为弓，如图1放置

/1

容器时，液面以上空余部分的高为九，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为也，则（）

阳I182

/、2/、3

4C.殳

J,

12.已知平面向量a,Z?满足Ia|=|勿，且(0a-份，匕，则a,〃所夹的锐角为(）

71Tt冗

A.—B.—C.-D.0

643

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.集合A={x|x=2左一l,ZeZ},5={1,2,3,4},则AB=.

14.已知数列｛%｝递增的等比数列，若%+%=12,%4=27,则%=.

15.(5分)有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和

尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为450cm,中间两个和尚的

身高之和为315cm,则最高的和尚的身高是cm.

16.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平

局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，

直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用1()()元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单

位：元)，求X的分布列.

18.(12分)已知函数/(x)=a'-elog,,x-e,其中a>l,e为自然对数的底数.

(1)当a=e时，求函数/(x)的极值；

(2)设函数/(x)的导函数为/'(X),求证：函数/'(X)有且仅有一个零点.

22

19.（12分）已知椭圆C：二+4=1（a>b>0）过点（0,0）,且满足a+b=30.

a~b~

(1)求椭圆。的方程;

（2）若斜率为'的直线与椭圆C交于两个不同点A,B,点M坐标为（2,1）,设直线MA与MB的斜率分别为队,

2

kz,试问0+色是否为定值？并说明理由.

20.（12分）如图，在四棱锥P—ABQ9中，底面ABCD是矩形，M是的中点，平面A3CD,且

PD=CD=4,AD=2.

（1）求AP与平面CMB所成角的正弦.

（2）求二面角M—CB-P的余弦值.

21.（12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，

未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开

学季进了16。盒该产品，以x（单位：盒，ioowxw2oo）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这

个开学季内经销该产品的利润.

频率

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量X的平均数和众数；

（2）将）'表示为X的函数；

（3）以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.

22.（10分）在锐角三角形ABC中，角A,8,C的对边分别为凡6,c.已知tanA,tan8,tanC成等差数歹[],

cosA,VcosC,cosB成等比数列.

(1)求A的值；

(2)若一ABC的面积为1,求c的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据题意，分析该邮车到第％站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，该邮车到第k站时，一共装上了(〃-D+5-2)+……(〃一口=色三包3件邮件，

需要卸下1+2+3+……(A7)="二12件邮件，

nilQn-1-k)xkkx(k-l)，/..

贝(14=---------2~—

故选：D.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.

2.B

【解析】

因为△43。外接国的国心在直线3。的垂直平分线上,即直线工=1上

可设国心尸(l,p),由P4=P屈导:\p\=J1+(p-,得「=竽

国心坐标为P(1,竽)

x/21

所以国心到原点的距离|0尸|=|/1+-3-

选B.

考点：圆心坐标

3.A

【解析】

根据分段函数的定义得F(x)>/(x),F(x)>g(x),则2尸(x)>/(x)+g(x)，再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得尸(%)之/(x),F(x)>g(x),贝！|2F(x)»/(x)+g(x),

11111,,

/(x)+g(x)=-----—H-------=-(------•I----------)[(2-sin-x)+(2-cos-x)]

2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

1-2-cos2x2-sin^X、_l/c_12-cos2x2—sin2x4/也口内亚2-cos?x2-sin2x

=一(z2+------+------—)>-(2+2,-----5-----------)x=—(当且仅当-~=T-----—，H即n

32-sin'x2-cos'x3V2-sin'x2-cos'A：32-sin'x2-cos-x

sin?x=cos?x=g时"=”成立.此时,/(x)=g(x)=g,/.2F(x)>^,F(x)的最小值为g,

故选：A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2E(x)»/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

4.D

【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.

【详解】

『-z(l-z)-1-Z11.

z=---=----------=-----=------1.

1+/(1+z)(l-z)222

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

5.C

【解析】

根据复数模的性质计算即可.

【详解】

7

因为一=2i+l,

1—z

所以z=(l-i)⑵+1),

|z|=|l-z|-|2i+l|=V2xV5=Vi(j,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.

6.C

【解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.

【详解】

2x+y>4

由题知x,y满足可行域如下图所示,

x-2y<2

可知目标函数在点A（2,0）处取得最小值，

故目标函数的最小值为2=犬+丁=2,

故z=x+y的取值范围是［2,+»）.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.

7.A

【解析】

化简集合A,3,按交集定义，即可求解.

【详解】

集合A={x|-2<x<3,xeN}={0,1,2},

8={x|x>l或"—1},则AB={2}.

故选:A.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

8.A

【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.

【详解】

在AA8D中，A£>=3，BD=1,ZADB=120°,由余弦定理，得AB='AD?+BD?_2AZ>BOcos120°=屈，

DF2

所以布=疝.

所以所求概率为浊空4

13

故选A.

【点睛】

本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.

9.B

【解析】

根据二项分布的性质可得：E(&)=p.,D(^)=2.(1一0,)，再根据；<0<“2<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量。满足尸信=&)=U(-忆产炉，)=1,2,左=0,12

所以4服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E($)=?.,〃(5)=p.(1-

因为;<Pl<P2<1，

所以E侑)<矶与),

由二次函数的性质可得：/(x)=x(l-x),在1,1上单调递减,

所以。信)＞。(务).

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

10.B

【解析】

l+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2i2,,.~,，一五3

因为z=^—+l="・、+1=-----；------+1=1+1,所以z=l-i，故选B.

2-1(2-i)(2+i)5

11.B

【解析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.

【详解】

在图1中，液面以上空余部分的体积为万方九；在图2中，液面以上空余部分的体积为万片为.因为乃八2%=万22小，所

,(、2

以4=2.

故选：B

【点睛】

本题考查圆柱的体积，属于基础题.

12.B

【解析】

根据题意可得力=0,利用向量的数量积即可求解夹角.

【详解】

因为(缶一匕)_Lbn("z—匕)1=0

即缶

・x/2

而cos（。/a-b_db

~T

Tt

所以。涉夹角为I

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.｛1,3｝

【解析】

分析出集合A为奇数构成的集合，即可求得交集.

【详解】

因为2人一表示为奇数，故A0B=｛1,3｝.

故答案为：｛1,3｝

【点睛】

此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.

14.3"T

【解析】

a｝a4=a2a3=27,建立的，生方程组，且42＜。3，求出生，小，进而求出｛《,｝的公比，即可求出结论.

【详解】

数列｛q｝递增的等比数列，，%＞。2，

+a=12f%=3

~皿，解得■z

-a2a3=27[%=9

所以｛4｝的公比为3,a„=3n-'.

故答案为：3"，

【点睛】

本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.

15.181.5

【解析】

依题意设前三个和尚的身高依次为4cmM2cmM3cm,第四个（最高）和尚的身高为%cm,则%+%+%=3%=450,解

得％=150,又用+0,=315,解得q=165,又因为。2，生，包成等比数列，则公比4=去=卷=1」，故

a4=a3q=165x1.1=181.5.

2

16.

3

【解析】

用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.

【详解】

由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为1=：.

甲乙

【点睛】

本题考查随机事件的概率，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)(2)见解析.

【解析】

(1)利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；

(2)由题意可知随机变量X的可能取值有200、300、400,计算出随机变量X在不同取值下的概率，由此可得出

随机变量X的分布列.

【详解】

<1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则夕(4)=='：=/；

5410

(2)由题意可知，随机变量X的可能取值为200、300、400.

贝”（x=2oo）4q，P（X=3OO）=>

i33

P（X=400）=1-P（X=200）-P（X=300）=1-m一布=g.

故X的分布列为

X200300400

133

P

101()5

【点睛】

本题考查概率的计算，同时也考查了随机变量分布列，考查计算能力，属于基础题.

18.见解析

【解析】

(1)当a=e时，函数/(x)=e,—elnx—e,其定义域为(0,+℃),

则f'(x)=e*-£=^,设〃(x)=xe'-e,x>0»

XX

易知函数〃(x)在(0,+8)上单调递增，且以1)=0,

所以当0<x<l时，h(x)<0,即r(x)<0；当X>1时，/?(%)>0,即r(x)>0,

所以函数/W在(0,1)上单调递减，在(1,物)上单调递增,

所以函数在x=l处取得极小值，为/⑴=0,无极大值.

(2)由题可得函数f(x)的定义域为(0,+8),f\x)=a']na--「「优”…,

xinaxina

设g(x)=M，ln%-e,a>\,显然函数g(x)在(0,+。。)上单调递增，

当a>e时，g(0)=-e<0,g(l)=aln2a-e>0,

所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点，所以函数/’(无)有且仅有一个零点；

当a=e时，g(x)=xe'-e,g(l)=0,

所以函数g(x)有且仅有一个零点，所以函数f,M有且仅有一个零点；

11—-JLiii1

ln2ttnn

当l<ove时，2>]，g(-9~)=a-e,因为111〃”"=---=--->1,所以〃筋g(…)>。，

2a>e

liras/]n«}nahr。

又g⑴=〃ln%-e<0,所以函数g(x)在)内有一个零点，

所以函数(x)有且仅有一个零点.

综上，函数/(X)有且仅有一个零点.

22

19.(1)—+^-=1(2)Ai+k为定值0,见解析

82

【解析】

(1)利用已知条件直接求解“力，得到椭圆的方程;

（2）设直线在），轴上的截距为加，推出直线方程，然后将直线与椭圆联立，设A（石,y）,B（x2,y2）,利用韦达定理

求出勺+%2,然后化简求解即可.

【详解】

（1）由椭圆过点（0,五）,则人=及，又a+b=30，所以a=2及,

22

故椭圆的方程为土+匕=1;

82

（2）仁+%=0,证明如下:

设直线在＞轴上的截距为〃？，所以直线的方程为：y=^x+m,

1

y=—x+m

2

由＜22得：d+2〃2%+2〃/-4=0,

工+工=1

I82

由一=4m2-8/M2+16>0#-2<m<2,

2

设A（%,y）,5（x,,y2）,则芭+々=-2m,xtx2=2m-4,

%TIy2T=（x—1）（*2—2）+（匕—1）（内—2）

所以仁+&二

-

%-2x22（xj-2）（々-2）

「11

又乂=3玉+加，y2=-x2+m,

所以（y—1）（W—2）+（必一1）（玉一2）=百X2+（m—2）（A]+XJ）—4（m—1）

=2irr-4+（m—2）（—2m）-4（7?7—1）=0,

故£+&=0.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了方程的思想，转化与化归的思想,

考查了学生的运算求解能力.

4

20.（1））.

⑵3回

⑵W

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（1）是矩形，

，AD1CD,

又PDlYffiABCD,

:•PDLAD,PD1CD,即PD,AD,C。两两垂直，

...以。为原点，DA,DC,0P分别为x轴，丁轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由P0=CD=4,AD=2,得A（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,£＞（0,0,0）,尸（0,0,4）,M（l,0,2）,

贝!!"=（一2,0,4）,fiC=（-2,0,0）,M8=（l,4,—2）,

设平面CMS的一个法向量为勺=（玉,y,zj,

BC-0-2%,=0

则,即[尤―‘令）‘尸1‘得2’【2,

MB%=0

:.勺=（0,1,2）,

4

5

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为-.

（2）由（1）可得PC=（O,4,T）,

设平面P8C的一个法向量为4=（%,%以2），

BCn,=0-2X9=0

则2，即〈[4…=0,令%=1—=1,

PCf=0

:.%=（0,1,1）,

./\_3_3V10

、/V5.V210

故二面角M-CB-P的余弦值为圭叵.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标

的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

_［80%-4800(100<x<160)

21.⑴户153,众数为15。；⑵尸监。。060X2。。)；⑶⑭。

【解析】

(1)由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)由已知条

件推导出当100勃k160时，y=50x-(160-x)*B0=80^-4800,当160<%，200时，y=160x50=8000,由此

能将y表示为X的函数；(3)利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率.

【详解】

(1)由直方图可估计需求量》的众数为15(),

由直方图可知［100,120)的频率为：20x0.0050=0.10

由直方图可知［120,140)的频率为：20x0.010=0.20

由直方图可知［140,160)的频率为：20x0.0150=0.30

由直方图可知［160,180)的频率为：20x0.0125=0.25

由直方图可知［180,200］的频率为：20x0.0075=0.15

.••估计需求量x的平均数为：

x=0.10x110+0.20x130+0.30x150+0.25x170+0.15x190=153

(2)当100Wx<160时，y=50%-30(160-x)=80%-4800

当160KxW200时，^=50x160=8000

80%-4800(100<x<160)

/.y=<

-8000(160<x<200)

(3)由(2)知当160<xW200时，y=50xl6()=8()()()>48()()

当100Wx<160时，y=80x-4800>4800120<x<160

开学季利润不少于4800元的需求量为120<x<200

由频率分布直方图可所求概率0