2022年福建省福州一中中考模拟考试数学试题（解析版）

福州一中2021—2022学年第二学期初三数学适应性练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.某地区计划到2025年建成64700000亩高标准农田，其中64700000用科学记数法表示

为（）

A.6.47X108B.0.647x10sC.647xlO5

6.47xlO7

【答案】D

【解析】

【分析】用移动小数点的方法确定。值，根据整数位数减一原则确定〃值，最后写成

ax10"的形式即可.

［详解］764700000=6.47xlO7,

故选D.

【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的

后面确定«,运用整数位数减去1确定n值是解题的关键.

2.下列几何体的主视图与左视图不相同的是（）

A./、.DB.

【答案】A

【解析】

【分析】分别得出三棱柱、圆柱、圆锥、球体的主视图、左视图，然后进行判断即可.

【详解】解：三棱柱的主视图为长方形，左视图是三角形，因此选项A符合题意；

圆柱体的主视图、左视图都是长方形，因此选项B不符合题意；

圆锥体的主视图、左视图都是等腰三角形，因此选项C不符合题意：

球体主视图、左视图包括俯视图都是圆的，因此选项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图就是从正面、左面、上面三

个方向看所得到的图形.

3.若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）

r

A.4zB-Vx2+1C.yfixD.

yjx+1

【答案】B

【解析】

【分析】由二次根式的定义，分别进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、当x=o时，4r二T不是二次根式，不符合题意；

B、x为任意实数，J/+1是二次根式,符合题意；

C、x为任意实数时，氐不是二次根式，不符合题意；

D、当x=-2时，Jx+1不是二次根式,不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的定义：形如右①2（））的式子叫做二次根式，其中符号

叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数，解题的关键是熟练掌握定义进行判

断.

4.2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有三张正

面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下

洗匀，从中任意抽取1张卡片，则恰好抽到冰墩墩卡片的概率是（）

7,味，

•・4•・

冰墩蜘i冰墩蛇、雪容融B

12

4

D.-

9

【答案】c

【解析】

分析】根据概率公式直接求解即可.

【详解】解：共有三张吉祥物的卡片,冰墩墩卡片有2张,

2

因此从三张中抽1张是冰墩墩卡片的

故选：C.

【点睛】本题考查了概率公式：概率=所求情况数?所有等可能情况数，解题的关键是熟练

掌握概率公式.

5.下列各式的因式分解正确的是（）

A.B.a2-4b2=(a+4b)(a-4b)

1/］、2

C.a~-2a—8=a(a—2)—8D.ci~—ciH—=|a—

4I2)

【答案】D

【解析】

【分析】因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求

解，

【详解】A,。2一。=。(4—1),故此选项不符合题意.

B,/-4/=(a+2b)(a-2b),故此选项不符合题意.

C,/一2。一8=。(。-2)-8,不是因式分解，故此选项不符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了判断因式分解是否正确，因式分解与整式的乘法是互为逆运算,

要注意区分.

6.如图，下列推理不正确的是()

A.Y4AEB=NC,：.AE//CDB.VZAEB=ZADE,：.ADUBC

C.VADUBC,；.NC+/A力C=180°D.VADUBE,：,NADE=NDEC

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的判定与性质逐项判断即可得到答案.

【详解】解：A、

；•AE/ICD,

故选项正确，不符合题意；

B、由NAEB=/AOE,不能推出AO//3C,

故选项不正确，符合题意；

C、：AD〃BC,

AZC+ZADC=180°,

故选项正确，不符合题意；

D、VAD!/BE,

：.ZADE=ZDEC,

故选项正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题

的关键.

7.关于函数产一2一4的图象，下列结论错误的是（）

A.过第二、三、四象限B.与y轴的交点坐标为（0,-4）

C.经过点（1,2）D.可由函数尸一2x的图象平移得到

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的性质对各项逐个进行分析即可得到答案.

【详解】解：A,•：k=-2<0,b=-4<0,

函数图象过第二、三、四象限，

故选项正确，不符合题意；

B、y=-2x-4,当x=0时，y=~4,

函数图象与y轴的交点坐标为（0,-4）,

故选项正确，不符合题意；

C、y=-2%—4,当x=l时，y=-6,

.••函数图象不经过点（1，2）,

故选项错误，符合题意；

D、函数尸一2X一4的图象可由函数产一2x的图象向下平移4个单位长度得到，

故选项正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟记一次函数>当

左V0,）V0时，函数图象经过第一、三、四象限是解题的关键.

8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影

响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足

四.问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3

元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，用二元一次方程组解答该问题，

若己经列出一个方程7x+4=y,则符合题意的另一个方程是（）

A.8x-3=yB.8x+3=yC.2+3=xD.

8

【答案】A

【解析】

【分析】由已经列出方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合

“每人出8元，多3元”，即可列出另一方程，此题得解.

【详解】解：•••每人出7元，少4元，且已经列出一个方程7x+4=y,

...X表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格.

又,每人出8元，多3元，

8x-3=y.

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确

列出二元一次方程是解题的关键.

9.如图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围

成的，若AC=4,AB=5,将四个直角三角形中边长4的直角边分别向外延长一倍，得到如

图（2）所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线部分）周长是（）

A.36B.16+46C.8+2773D.52

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理求出BC以及8E,即可得到图形的周长.

【详解】解:VZACB=90°,AC=AE=4,AB=5,

BC=YJAB2-AC2=452-42=3，

：CE=2AC=8,

BE=ylBC2+CE2=>/32+82=V73，

...这个风车的外围（实线部分）周长是4A£+48£=16+45，

故选：B.

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解图形中各线段的关系是解题的关键.

10.把二次函数y=o?+法+c（a>0）的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式

为^=。（％+1）2-4。2,若（加-l）a+b+cN0成立，则机的最小整数值为（）

A.2B.-2C.3D.—3

【答案】C

【解析】

【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为y="2-Bx+c,再

根据对称轴、与y轴的交点问题可求出匕=-2。，c=a-4a2,然后代入解一元一次不等

式即可求出答案.

【详解】解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数丁="2+法+。3>0）的图象作

关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为y="2-bx+c,

则y=a（x+l）2—4a2与y=ar，-相同，

由对称轴得：%=--=-!,解得人=—2a,

2a

当x=0时，由函数y=a（x+l）2—4a2得y=；由函数y="2得y=c

贝!lc=a-4q2>

将6=—2a,c=a—4a2代入（〃z—1）。+b+c20得：（m—1）a—2a+a—4a~0,

整理得：（加一l）a2a+4a2,

•/a>0,

二加一12l+4a,即m，2+4a>2,

.•.机的最小整数值为3,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与），轴的交点）、一元一次不等式等

知识点，依据二次函数的图象与性质求出Ac与。的关系等式是解题关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.%一1的相反数是一

【答案】1一兀

【解析】

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.

【详解】解：万一1的相反数是：1—兀.

故答案为：1—71.

【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是正确掌握相关定义即：指绝对值相等，正负号

相反的两个数互为相反数.

12.若有一组数据3,5,4,4,7,6,则这组数据的中位数是__.

9

【答案】4.5##-

2

【解析】

【分析】根据中位数的概念分析即可.

【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：3,4,4,5,6,7,则中位数为

故答案为：4.5

【点睛】本题主要考查中位数.将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如

果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据个数是

偶数，则最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数.

13.点M在第四象限，它到x轴的距离是4,到y轴的距离是5,则点M的坐标为.

【答案】（5,-4）

【解析】

【分析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0,纵坐标小于0,进而根据到坐标轴的

距离判断坐标.

【详解】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，

又因为点M到x轴的距离为4,到y轴的距离为5,

所以点M的坐标为（5,-4）.

故答案为：（5,-4）.

【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键.

14.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为

60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为

米

【答案】120g

【解析】

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BQ,0c的长，进而求出该建筑物的高度.

【详解】解：由题意可得：tan30o=g2="=Y3,

AD903

解得：2。=30百（米），

，皿6。。=空=变=日

AD90”

解得：£>C=90G侏）,

故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=1208（米）

故答案为1206.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=A（x<0）的图象与线段OA交于点B,

X

§△.0=49,则/的值为

MOM

【解析】

【分析】过点8作BC，x轴于点C,根据AH_Lx轴，得出进一步得出

/^OBC^AOAH,根据丝=△,得出丝=_。_=3,即可得出沙口二士，根据

0B30A3+47SMAH49

5MHO=49,得出“°BC=9,根据反比例函数的k值意义，即可得出结果•

【详解】解：过点B作轴于点C,如图所示：

轴，轴,

BC〃AH,

：.AOBCsbOAH,

..AB4

•一，

OB3

,OB33

••=-----=一,

0A3+47

49

"SMHO=，

,,SAOBC=9，

..•反比例函数关系式为y=£

X

，网=2sbOBC=2x9=18,

•..反比例函数的图象在第二象限，

...左=一18.

故答案为：-18.

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值意义，三角形相似的判定和性质，作出辅助线,

根据题意得出SA°BC=9,是解题的关键.

16.如图，已知正方形ABC。，P、Q分别在4?、BC的延长线上，且BP=C。；连接4Q、

DP交于点0,分别与边C。，BC交于点F,E,连接AE,现给出以下结论：®AQLDP；

@QE+DF>(2s/2-^AD；③ON<OEOP;④当=时，

13

tanZOAf=—；其中正确的是(写出所有正确结论的序号).

16

【答案】①@③④

【解析】

【分析】证明△以OgaQBA得到N0-NP,推出NQOP=NP8E=90。，即可判断①；证明

△BEP注ACFQ得到BE=CF,设正方形A8CD的边长为4,BP=CQ=x,BE=CF=y,则

4y

。尸=CE=4-y,再证明△DECs△PBE,推出x=L—，得到QE+。尸

4-y

(8、

=24-y+-----------4,由此利用完全平方公式即可判断②；证明△AOOSAPOA,推

I4-yJ

出。4?=。尸-。力，由AE>AB,得到AE>AO,推出OE>QD,即可判断③；设

39

BC=3BP=3,则8P=1,贝UAP=4,利用勾股定理和相似三角形的性质求出OE=三,

12

。4=彳，即可判断④；

【详解】解：•••四边形ABC。是正方形，

.../ABQ=/a4尸=90°,AB=CD=BC=AD,CD//AB,

'：CQ=BP,

：.BC+CQ=AB+BP,BPAP=BQ,

△物力刍△Q8A(SAS),

：.ZQ=ZP,

又,：NQEO=NPEB,

AQOP=ZPBE=W°,

：.QA±PD,故①正确;

在4BEP^i^CFQ中，

NP=NQ

<BP=CQ,

NPBE=NQCF

：.△BEP^^CFQ(SAS),

BE=CF,

设正方形ABC。的边长为4,BP=CQ=x,BE=CF=y,则。F=CE=4-y,

QE-CQ+CE=4-y+x,

QE+DF=4-y+4-y+x=8-2y+x,

,?CD//BP,

；.△DECs^PBE,

••—lx|Jj

BPBExy

,..人x一—4y9

4-y

：.QE+DF=S-2y+^--

4—y

(o\

=24-y+------4,

I4-yJ

(____

8,8

j4_y―-4>/2>0,当=时取值等号,

4-y

.\4-y+-^—>45/2,

4-y

QE+8血-4=4(272-1)=00—l)4O,故②正确;

,：AQ1.PD,

：.ZAOD=ZAOP=90°,

：.ZADO+ZDA0=90°,

又,.•/ft4O+N〃O=90°,

AADO=APAO,

；.△AO£>S/\POA,

.OA_OP

••一f

ODOA

•••O代=OPOD，

\'AE>AB,

：.AE>AD,

AD2=OA1+OD-,AE1=OA1+OE2，

/•OA2+OE2>Ofic+OD1，即OE>OD，

AOA1<OE-OP>故③正确；

设BC=38尸=3,则2尸=1,

：.AP=4,

；•PD=y/AP2+AD2=5，

■：£.PAD^/XQBA,

：.AQ=PD=5,

,/BE//AD,

BEPSAADP,

.ADAP

・・一，

BEBP

3

BE=

4

：.QE=^-,

4

\'ZQ=ZP,ZQEO=ZPEB,

：.△QOEs△PBEs/\PAD,

.OQOE_QE_13

茄一丽一万

5,39

OE

20

T-»1Q

tanZOAE=——=—,故④正确;

OA16

故答案为：①②③④.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与

判定，求正切值，完全平方公式的变形求值等等，熟知相关知识是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17.计算：（―1）°-3-2+|6一2卜

【答案】---->/3

9

【解析】

【分析】先算乘方，再去绝对值，然后进行加减运算即可.

【详解】解：原式=1-工+2-6

9

奇一行

【点睛】本题考查了实数的混合运算、零指数累、负整数指数累、去绝对值等知识.把握

运算顺序和正确的计算是解决本题的关键.

18.如图，已知A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,NABE=NCDF,AF=CE.求

证：AB=CD.

【答案】见详解

【解析】

【分析】根据全等三角形证明4人5后丝△CCF,再根据全等三角形的性质解答即可.

【详解】证明：：AB〃C£）,

ZACD^ZCAB,

•：AF^CE,

：.AF+EF=CE+EF,

即AE=FC,

在△ABE和△CO尸中，

ZACD=ZCAB

<NABE=NCDF

AE=CF

：.LABE^LCDF（A45）.

：.AB=CD.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线

段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些.

vyi"-4771+4（]、

19.先化简，再求值：-----------------1,其中=—2.

m-\\m-l）

【答案】2-根；4-V2

【解析】

【分析】根据分式混合运算法则进行计算，然后代入数据进行计算即可.

【详解】解：原式=（加—吧]

m-\I根一1m-1）

_（/n-2）2l-/n+l

m—\m-1

_（m-2）2m-1

m-12-m

=2-m

把加=夜—2代入得：原式=2-（夜—2）=2—及+2=4—血.

【点睛】本题主要考查了分式的化简计算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键.

20.如图，。。中，直径48=10,弦AC=8,连接BC.

（1）尺规作图：作半径。。交AC于E,使得点E为AC中点;

（2）连接A。，求三角形OA。的面积.

【答案】（1）见解析（2）10

【解析】

【分析】(1)过点。作0£>_LAC,交AC于点E,交。。于点。；

(2)由题意可得0庆5,由(1)得：OELAC,点E为AC中点，继而可得

AE=-AC=-x8=4,然后根据三角形的面积公式即可求得答案.

22

【小问1详解】

解：如图，点E即为所求；

【小问2详解】

解：如图，连接AD,

的直径是10,

OD=5,

由(1)得：OELAC点E为AC中点，

AE=-AC=-xS=4,

22

：.SOAD=-ODAE=-X5X4=10.

【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关

键.

21.某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的

进价每千克少4元，且用600元购进甲种水果的数量与用750元购进乙种水果的数量相

同.

(1)求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？

(2)该水果商根据本店平常的销售情况，决定购进两种水果共100千克.其中甲种水果的

数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过1710元.购回后，水果商决定甲种水

果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，那么水果商应如何进

货，才能获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】(1)甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元

(2)水果商进货甲种水果73千克，乙种水果27千克，才能获得最大利润，最大利润是427

元

【解析】

【分析】(1)根据题意可以列出相应的分式方程，即可求出甲、乙两种水果的单价分别是

多少元；

(2)根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超

过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过1710元，可以求得甲种水果数量的取值范围，

最后根据一次函数的性质即可解答本题.

【小问1详解】

设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是(x+4)元，依题意得：

600_750

---------,

xx+4

解得，x=16,

经检验，x=16是原分式方程的解，

x+4=20,

答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元.

【小问2详解】

设购进甲种水果“千克，则购进乙种水果(1()()一。)千克，利润为w元，依题意得：

w=(20-l6)a+(25-20)(100-a)=-a+500,

•・•甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过1710元，

.4,3(100-。)

16。+20(100—1710’

解得72.5WaW75,

w——a+500,

，k=—1<0,

W随着a的增大而减小，

又•.•〃为整数，

.•.当。=73时，w取得最大值，此时卬=—73+500=427,100-。=27,

答：水果商进货甲种水果73千克，乙种水果27千克，才能获得最大利润，最大利润是

427元.

【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本

题的关键是明确题意，列出方程，利用一次函数的性质和列出不等式组来解答问题.

22.西西正在参加我市电视台组织的智力竞答节目，只要答对最后两道单选题就能顺利通

关，每道单选题都有A、B、C三个选项.这两道题西西都不会，只能在A、B、C三

个选项中随机选择一项.

（1）西西答对第一道单选题的概率是.

（2）若西西可以使用“求助”（每使用“求助”一次可以让主持人去掉一个错误选

项）.但是她只有两次“求助”机会，现有两种方案可供西西选择：

方案一：在第一道题中一次性使用两次“求助”机会.

方案二：每道题各使用一次“求助”机会.

请你用画树状图或者列表的方法帮助西西分析哪种方案更有利（三个选项中正确项

用“J”表示，错误项用"x”表示）.

【答案】-

4

【解析】

【详解】（1）直接利用概率公式求解；（2）利用列举法得出6种等可能的结果数，全部猜对

的情况数有一种，

然后根据概率公式求解.

解：（1）一

4

如果西西两次“求助”都在第一道题中使用，那么主持人去掉第一道题的两个错误选

项.又因为第一道题只有3个选项，所以剩下的一个选项一定是正确的，也就是说西西一

定能答对第一道题.而第二道单选题有4个选项，故西西猜对的概率为即西西通关的

4

概率是J..

4

（2）I

如果西西两次“求助”都在第二道题中使用，那么主持人去掉第二道题的两个错误选项，

则第二道题还剩一对一错两个选项，若用“对”与“错”分别表示两道题各选项的正误，

列表如下：

错对

错（错，错）（错，对）

错（错，错）（错，对）

对（对，错）（对，对）

可知共有六种等可能的结果，其中全部猜对的情况数有一种，所以西西两道题全部猜对的

概率为,，即西西通关的概率是5.

66

如果西西将每道题各用一次“求助”，那么第一道题还有一错一对两个选项，第二道

题还有两错一对三个选项，若用“对”与“错”分别表示两道题各选项的正误，列表如

下：

错对对

错（错，错）（错，错）（错，对）

对（对，错）（对，错）（对，对）

可知共有六种等可能的结果，其中全部猜对的情况数有一种，所以西西两道题全部猜

对的概率为1,即他顺利通关的概率是

66

23.如图，。。是AABC的外接圆，A8是直径，。是AC中点，直线。。与。。相交于E,

F两点，P在0E延长线上，且满足/PCA=NABC,连接以，PC,AF.

（1）求证：PC是00的切线：

（2）证明：PE*0D=DE•0E.

【答案】（1）见详解（2）见详解

【解析】

【分析】（1）先得出NC4B+NCB4=9（）°,又因为NOAD=NOCD,

ZPCA=ZABC,得出NPCO+NOC£）=90°,即可得出结论；

（2）连接CE,先证明RMCDESRMFDC，得到CD?=DE-0D+DE-0C,再同理

Rt^PCD^Rt£COD,得至ICD2=DE-OD+ODPE,得出DE-OD+DE-OC=DE-

OD+OD,PE即可得出结论.

【小问1详解】

证明：如图，连接0C,

QA8是。。的直径，

ZACB=90。，

ZCAB+ZCBA=90°.

,：OA=OC,

：./OAD=/OCD

又•.•NPC4=NABC,

:.APCD+ZOCD^90°,

即OC_LPC,

.•.PC是0。的切线；

【小问2详解】

证明：如图，连接CE,CF,

•.•石户是直径，NECF=90。

又QO是AC的中点，

.-.CD±EF

在RtMDE和Rt^FDC中，ZCDE=ZCDF=90°.

/ECD+NDCF=9。。NF+^DCF=90°

：.NECD=NF

RtACDESRtAFDC

.CDDE

"~FD~'CD

•••CD2=DF-DE.

即CD2=DE(OD+OF)

=DE(OD+OC)

=DE-OD+DE-OC

同理R〃PCDSR〃COD

C^ODPD.

即CD2=OD(DE+PE)

=DE(OD+OC)

=DE'OD+OD-PE

DE-OD+DE-OC=DE'OD+OD-PE

：.OD-PE=DE-OC

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，判断出

三角形相似是解决问题的关键.

24.如图1,在心△A8C中，ZA=90°,AB=AC=屈，点。、E分别在边A&AC

上，AD=AE^5,连接。E、DC,P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、

PN.

(1)求PM的长度;

(2)如图如将△ADE绕点A逆时针旋转a度,(0°<a<90°),

①判断旋转后△MPN的形状，并进行证明;

②若旋转后DC=4,求sinZEDC的值.

【答案】(1)PM=5二5

2

(2)①△MPN是等腰直角三角形，理由见详解；②sin/EOC=磋

10

【解析】

【分析】(1)由三角形的中位线定理，即可求出答案;

（2）①连接B。，先判断出△A8O之△4CE,得出BD=CE,同（1）的方法得出「加二万

BD,PN=』BD,即可得出AW=PN,然后求出NMPN=NACB+/A8C,即可得出结论；

②作AFLC。的延长线于点尸，由勾股定理求出。F=3,然后求出/E£>C=82°,即可求出

答案.

【小问1详解】

解：VAB=AC=V65.AD=AE=5,

BD=CE=-j65-5，

•.,点M、P、N分别为。E、DC,BC的中点，

PM」CE=lx（而一5）=痘E

222

【小问2详解】

解：①APMN是等腰直角三角形；

理由：连接80,如图：

由旋转知，ZBAD^ZCAE,

"：AB=AC,AD=AE,

.♦.△ABO丝/MCE（SAS）,

AZABD=ZACE,BD=CE,

同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=；BD,PM="E,

■:BD=CE

：.PM=PN,

••.△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

：.ZDPM=ZDCE,

同（1）的方法得，PN//BD,

：.NPNC=NDBC,

'：ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

：.NMPN=NDPM+NDPN=/DCE+NDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC

^ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC

=/4CB+NABC,

ZBAC=90°,

，NACB+NABC=90°,

NMPN=90°,

.•.△PMN是等腰直角三角形;

②作AFLCQ的延长线于点尸，如图：

VAC=V65，AD^5,8=4,

在直角△4。尸和直角△ACF中，由勾股定理，得

AF2=AD2-DF2=AC2-CF2，

AD2-DF2=AC2-(CD+DF)2,

即52-DF2=(V65)2-(4+DF)2,

解得0b=3,

,AF=V52-32=4，

../sr_AE_4

**sin^.ADF=---=一，

AD5

ZADF=53°；

•••△AOE是等腰直角三角形，

NAPE=45°,

/./EDC=180°-53°-45°=82°,

；•sinNEDC=sin82°=-

【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判

定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=

yC£,PN=；BD,解（2）的关键是判断出AAB。丝/VICE.

25.已知：抛物线y=一以？+。的顶点落在直线/：y=x+l上，

4

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将/向上平移匕（匕>0）个单位，设其与抛物线的交点分别为乂，N2,（乂在可2左

侧）

①请用b表ZFSAVQM；

②当b=l时，设此时/与y轴交点为尸，将/绕点尸转动，转动后与抛物线的交点设为

陷，外（陷在也左侧），过陷，加2分别作X轴的垂线，垂足分别为点《，鸟，

连接《设其交点为求转动过程中，到直线用知距离的最大值.

M”P2MX,7,712

1,

【答案】（1）y=-x2+l；

4

13

（2）①5物吸=］（1+"）2；②L

【解析】

【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再将顶点坐标代入>=》+1求出。的值，即可知

道抛物线的解析式；

（2）①求出》=尤+1+人与y轴交点坐标为：（0,1+3，再联立联立y=；/+i与

y=x+l+b表示出N1,N2的横坐标，即可求出SAN。％；②设直线加1^2的解析式

（产、（,2、

为：y=kx+2,设Al1r,—+1,M2.v,—+1,片«,0）,鸟（5,0）,求出直线

I4JI4,

八解析式，直线”26解析式，进一步求出T点坐标，即可求出答案.

【小问1详解】

解：由题意可知：抛物线丁=；62+。的顶点为（o,a）,

,/（0,a）在y=x+l上，

；・a=1,

.♦・抛物线解析式为：y=-x2+l-,

4

小问2详解】

解：①由题可