医用物理学陈仲本第五章课后习题答案

./第五章静电场通过复习后,应该:1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。5-1点电荷q和4q相距l,试问在什么地方放置什么样的电荷,可使这三个电荷达到受力平衡?解：已知两个同号点电荷q与4q相距l,在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷,当它们满足一定的条件时,即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为mq,与q相距x,如本题附图所示。根据库仑定律,分析力的平衡条件,电荷mq分别与q、4q的引力相等,即xl－xl－x＋q＋4qmq电荷q受4q的斥力和mq的引力相等,即习题5-1附图<b>解〔a式得x=l/3,将其代入〔b式可得m=4/9。从上面的计算结果可知,在q与4q之间,与电荷q相距l/3处,放置一个4/9q的异号电荷,可使三个电荷达到受力平衡。5-2两个点电荷分别带有+10C和+40C的电量,相距40cm,求场强为零的点的位置及该点处的电势。r1r2＋q1PE2E1＋q2解:①求场强为零的位置:只有在两电荷的连线中的某点P,才能使该处场强为零,即q1、q2在该点的场强E1、E2r1r2＋q1PE2E1＋q2由上式可得习题5-2附图又因r1+r2=40cm,由此可得r1=40/3cm=40/3×10-2m；r2=80/3cm=80/3×10②求电势:设q1、q2在P点产生的电势分别为U1、U2,P点电势U为U1、U2之和,即5-3两等值异号点电荷相距2.0m,q1=8.0×10-6C,q2=-8.0×10-6解:①求电势为零的位置:设q1、q2连线上P点处电势为零,该点电势为q1、q2分别产生的电势U1、U2之代数和,由点电荷电场的电势得－q2－q2r1r2＋q1PE2E1又r1+r2=2.0m,则r1=r2=1.0m,即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。②求场强:设q1、q2在P处产生的场强分别为E1、E2,它们的方向一致,故P点的场强为E1和E2的大小之和,方向由P指向q2YXE1E2EYXE1E2E3rrr－Q＋Q30°a＋QYXYXE1E2E3rrr＋Q＋Q30°a解:根据场强的叠加原理,可分别求出三个点电荷在重心的场强,再求出它们的矢量和。电势为标量,只需求出它们的代数和。①当三个都为正电荷时,按附图〔a取坐标,坐标原点O为三角形的重心,已知等边三角形的边长为a,则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出由点电荷场强公式可得,三个点电荷在重心O的场强相等,即〔a方向如附图所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex,则由附图〔a可得Ey=E2cos60°+E3cos60°－E1=½E2+½E3－E1=0Ex=E2sin60°－E3sin60°=0〔因为E2=E3故重心处的合场强E=0。由点电荷的电势公式和可得根据电势叠加原理,重心处的电势U为②当两个顶点带正电荷,一个顶点带负电荷时,按本题附图〔b取坐标。参考前面的〔a式,由点电荷电场强度公式可得方向如附图〔b所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex,则由附图〔b可得Ey=E1+E2cos60°+E3cos60°=E1+½E2+½E3=2E1=Ex=E2sin60°－E3sin60°=0〔因为E2=E3故重心处的场强E的大小为其方向垂直向上。由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为,根据电势叠加原理,重心处的电势为5-5均匀带电直线长2a,其线电荷密度为λ,求在带电直线垂直平分线上,且与带电直线相距为a的点的场强和电势。解:①求场强：以带电直线为坐标轴,取直线中点为原点O,在直线上距O点x处取一线元dx,如本题附图所示,其电量dq=λdx,此电荷元在所求点P处产生的场强为〔a其方向沿dq与P点连线〔图中为λ>0时的情况,若λ<0,则反向,与X轴线夹角为θ。XraPO－aaXraPO－aaλdxdE∥dEdE⊥θθ〔b由附图可知,,将〔a式和sinθ的表达式代入〔b式得E的大小为习题5-5附图其方向垂直向上。②求电势:由点电荷电势公式可得,dq在P点产生的电势dU为将上式积分可得P点电势dldUXxrPOR5-6dldUXxrPOR解：本题先求电势,然后利用场强和电势的关系计算场强。①求电势：参考本题附图,设圆环总量为q,半径为R,由于电荷是均匀分布,故其线电荷密度η=q/2πR。在圆环上取一线元dl,其电量为〔a习题5-6附图设P点离环心O的距离为x,则由附图知,,电荷元dq在P点产生的电势dU为〔b将上式积分,可得P点的电势为〔c已知R=5cm=0.05m,q=5.0×10-9C,x=5cm=0.05m②求场强:根据场强与电势的关系E=－dU/dn,对〔c式求关于x的导数,则场强E的大小为方向沿X轴正方向。dE∥互相抵消,而垂直于X轴的分量dE⊥互相增强,因此5-7均匀带电的半圆弧,半径为R,带有正电荷q,求圆心处的场强和电势。解:①求场强：在环上取一线元dl,带电量dq=qπRdl,电荷元在圆心产生的场强大小为方向如附图所示,与OX轴夹角为θ,dl=Rdθ。由于对称性,dE∥互相抵消,dE⊥相互增强,于是有dE∥dEdE⊥RLdldE∥dEdE⊥RLdlθOX其方向垂直向下。②求电势:电荷元dq在圆心产生的电势dU为习题5-7附图将上式积分即得圆心处的电势5-8长度为L的直线段上均匀分布有正电荷,电荷线密度为λ,求该直线的延长线上,且与线段较近一端的距离为d处的场强和电势。dllrdPOLX解:①求场强:在直线段l处取一线元ddllrdPOLX将上式积分,即得P点场强的大小为习题5-8附图方向沿X轴正方向。②求电势:由点电荷电势公式可知,电荷dq在P点产生的电势dU为将上式积分,即得P点的电势U为5-9两个无限长同轴柱面,圆柱面半径为R1,每单位长度带的电荷为+λ,外圆柱半径为R2,每单位长度带的电荷为-λ,求两圆柱面之间的空间中各处的场强。R2rR1S1S2S3解:电荷均匀地分布在两无限长同轴圆柱面上,电场的分布具有对称性,即距轴心等距的各点大小相等,方向沿半径方向〔轴向分布欲求两圆柱面之间的空间中任意点〔设距轴心为r的场强E,选取半径为r,单位长度的同轴圆柱面S1与两底面S2、S3构成的闭合柱形高斯面S。其中S2、S3处场强方向与法线垂直,cos90°=0,通过SR2rR1S1S2S3由题意可知,在单位长度高斯圆柱面的电量为+λ,故由高斯定理得E·2πr=λ/ε0解出E即得〔R1<r<R2习题5-9附图5-10在匀强电场E中作一球面,球心为O,半径为R。①求通过整个球面的电通量;②过球心,沿垂直电场方向将球面一分为二,求通过半个球面的电通量［图中〔a］；③沿着与电场方向呈θ角的方向把球面一分为二,求通过半个球面的电通量［图中〔b］。ORROθ<a><b>ORROθ<a><b>E②从图〔a中可以看出,沿垂直电场方向将球面一分为二,其横截面积为πR2,通过半个球面的电通量就等于通过该横截面的电通量,其数值Φe为习题5-10附图=EπR2③与〔2类似,在〔b图过半个球面的电通量,就等于通过其横截面在场强方向上的投影面积πR2sinθ的电通量,其大小为Φe=∫Ecos<900-θ>dS=∫EsinθdS=EπR2sinθ5-11在一橡皮球表面均匀分布着正电荷q,在橡皮球被吹大的过程中,A点始终在球面,B点始终在球外,问A,B点处的场强和电势将如何变化?答:设橡皮球的半径为R,由教材中高斯定理的应用举例可知,这一带电的橡皮球其电场的分布为即球面、外的场强与橡皮球的半径R无关,故A、B两点的场强不变。根据电势的定义可得即UA随橡皮球R的增加而降低,UB则因它距球心的距离不变而没有发生变化。OrR2RR1S1S25-12两个均匀带电的同心球面,球面半径为R1,外球面半径为R2,外球面的面电荷密度为σ2,且外球面外各处的场强为零,求：①OrR2RR1S1S2解:①从球心O以半径r〔>R2作一球形高斯面S1〔外虚线,该高斯面上各处场强为零.通过S1面的电通量由高斯定理可知,两球面带异号电荷,且q1=q2,即：σ1·4πR12=σ2·4πR22,由此可解出球面上的电荷密度σ1为习题5-12附图②从球心O以半径R作一球形高斯面S2〔见附图,虚线,由于电荷均匀分布,球面带电体具有球对称性,电场的分布也应有对称性,在高斯面S2上各处的场强大小相等,方向均沿半径方向,即θ=0〔此为球面带正电情况,若带负电,θ=180°,请读者自行讨论。设S2上场强大小为E,根据高斯定理有E·4πR2=q1/ε0③因球面没有电荷,由高斯定理可知,E=0。5-13电场强度E与电势U之间有何关系?电场中,若某点场强为0,该点电势是否一定为0?反之,某点电势为0。该点的场强是否一定为0?若空间中各点电势为一常数,场强一定为0吗?为什么?答:电场强度E与电势U是从不同角度来描述电场性质的两个重要物理量,电场强度E描述了电场力的特性,而电势U则描述了电场能的特性,它们之间的积分关系为,微分关系。从它们的关系式可以看出,某点场强为0,该点电势不一定为0,例如,半径为R的带电球壳,部的场强为0,而电势等于kQ/R。某点的电势为0,但该处的dU不一定为0,因此该点的场强不一定为0,例如电偶极子的中垂面上,各点的电势等于0,但场强不等于0。若空间各点电势为一常数,dU=0,则场强一定为0。5-14电量为q=+1.0×10-8C的点电荷,从电场中的a点移到b点,电场力作的功为3×10-6J,求:①a、b两点的电势差是多少?②解:已知q=+1.0×10-8C,Wab=3×10-6J,由电势差公式Ua－Ub=Wab/qUa－Ub=Wab/q=3×10-6/1.0×10-8V=3×102V因为正电荷从a移到b是电场力作功,所以Ua>Ub。5-15什么是电偶极子?电偶极子电场中某一点的电势与哪些因素有关?指出电势大于零、等于零、小于零的区域?答:两个相距很近的等量异号电荷+q和－q所组成的带电系统叫电偶极子。电偶极子电场中某一点的电势与电偶极子的电矩P成正比,与该点到电偶极子的距离r平方成反比,且与方位角θ有关,即。电偶极子中垂面上各点的电势为零,在中垂面+q一侧空间各点的电势为正,－q一侧空间各点的电势为负。5-16两个等量异号的点电荷,其电量均为10-9C,相距0.01mm解:已知Q=1.0×10-9C,l=0.01mm=1.0×10-5P=q·l=1.0×10-9×1.0×10-5C·m=1.0×10-14C其方向由负电荷指向正电荷。y<m>x<m>OC<0,1>A<1,0>B<1,2>D<-1,2>5-17y<m>x<m>OC<0,1>A<1,0>B<1,2>D<-1,2>解:已知原点O处的电偶极子的电矩P=1.0×10-6C·A点：θ=90°,r=1m；B点：cosθ=2/,r=m；C点：θ=0°,r=1m；D点：cosθ=2/,r=m。根据电偶极子的电势,A、B、C、D各点的电势分别为：习题5-17附图5-18在边长为a的等边三角形重心处,有一垂直指向底边的电偶极子P,求：①三角形各顶点的电势;②三角形各边中点的电势。解:①已知等边三角形的边长为a,则由附图可计算出重心到三个的顶点的距离r为又知电偶极子指向等边三角形的底边,如附图所示。根据电偶极子电势公式,可得各顶点的电势。对于顶点A,θ=180°,则对于顶点B,方位角θ=－60°,顶点C,θ=60°,则B、C的电势分别为EDEDrrABCU3′U1U2U3U1′U2′FPr②由附图可知,重心到各边中心的距离d为由此可进一步计算各边中点的电势,其中底边中点D,习题5-18附图θ=0°,其电势为对于左边中点E,方位角θ=－120°,右边中点F,θ=120°,则这两点的电势分别为,如果电偶极子P的方向水平向右,结果又是怎样?读者自己计算。5-19电偶极子的电量q=3×10-7C,轴线l=0.02mm,求：①电偶极子中垂线上距轴线中点30cm的P点的电势；②若P点在电偶极子电矩指向的延长线上时,其电势又是多少?〔设这时P点离轴线中点的距离仍为30cm解:已知q=3×10-7C,l=2×10-5P=q·l=3×10-7×2×10-5C·m=6×10-12C①因为P点在垂直于电偶极子轴线的中垂线上,其方向角θ=90°,由电偶极子电势公式可知,P点的电势U=0〔因为cos90°=0。②若P点位于电矩指向的延长线上,离轴线中心30cm,则θ=00,r=30cm=0.3m,代入电偶极子电势公式〔常数k=9×109N·m2·C-2,可得这时P点的电势为5-20一曲率半径为10cm的球壳状电偶层,带电量q=3×10-7C,层间距为1mm,面积30cm2解:已知r=10cm=0.1m,q=3×10-7C,δ=1mm=10-3m,S=30cm2=3×10-3m2。由层矩的定义得PS=σδ=<qδ>/S,由立体角公式得5-21均匀带电球壳半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×10-5C·m-3求距球心5cm,8cm,12解:高斯定理,当时,,时,∴,方向沿半径向外。cm时,∴沿半径向外。5-22半径为R1和R2<R2＞R1>的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求：<1>r＜R1；<2>R1＜＜R2；<3>r＞R2处各点的场强。解:高斯定理,取同轴圆柱形高斯面,侧面积,则<1>,<2>,,∴,沿径向向外。<3>,,∴5-23两个无限大的平行平面匀带电,电荷的面密度分别为σ1和σ2,试求空间各处场强。解:两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为σ1和σ2,规定垂直于两平面由面指向面的方向为,则两面间,；面外,；面外,5-24一块电介质在电场中极化后,沿着与电场垂直的方向将它截为两半,再撤去外电场,这两块电介质是否带电?如果把电介质换成导体,情况又如何?答:两块电介质均不带电。因为电介质极化产生的电荷不能离开介质,也不能在电介质部自由移动,处于束缚状态,无论是取向极化还是位移极化,当外电场撤消后,极化现象也随之消失,由于分子的热运动,电介质对外不显电性。若换成导体放入电场中,导体中的自由电子将在电场力作用下逆着外电场方向运动,导体一端因自由电子的积聚出现负电荷,另一端因自由电子的缺失显现正电荷,分开后,一块导体带正电,另一块带负电。5-25设在外电场的作用下电介质的某处场强为0.15×107N·C-1,电介质的介电常数为10-10C2·N-1·m-2解:设外电场〔即无电介质时的场强为E0,放入电介质后,电介质部的总场强E是外电场与极化电场之和。由E=E0/εr和ε=ε0εr可得E0=Eε/ε0已知：E=0.15×107N·C-1,ε=10-10C2·N-1·m-2,ε0=8.8542×10-12C2·N-1·m5-26平行板电容器的极板面积为S,间距为d,将电容器充电后,注入相对介电常数为εr的电介质,问以下两种情况时,注入电介质前后电容器所带电荷Q,场强E,两板间电压U,电容C和电场能量密度we有何变化?〔1注入电介质时电容器仍在电源上；〔2注入电介质时电容器已与电源断开。答:①注入电介质时电容器在电源上,这时两极板之间的电势差U不变,即注入电介质前的电势差U前等于注入电介质后的电势差U后〔U前=U后。根据电容器的电容的定义式C=εSd可知C前=ε0S/d,C后=εS/d=ε0εrS/d=εrC前而Q=CU,Q后=C后U后=εrC前U前=εrQ前,由E=U/d可得E后=U后/d=U前/d=E前由能量密度公式w=εE2/2得w后=ε0εrE2后/2=εr〔ε0E2后/2=εrw前其中w前=ε0E2后/2。②注入电介质时电容器已与电源断开,这时Q前=Q后,即电容器所带电量不变,而C后=εS/d=ε0εrS/d=εrC前,由U=Q/C可得U后=Q后/C后=Q后/<εrC前>=Q前/εrC前=U前/εr根据E=U/d可得E后=U后/d=U前/εrd=E前/εr由能量密度公式w=εE2/2得,w后=ε0εrE2后/2=ε0εr<E前/εr>2/2=<ε0E前/2>2/εr=w前/εr5-27真空中一半径为R,电荷为Q的导体球,求其电场的总能量。解:根据静电平衡条件,可知电荷Q一定均匀地分布在导体球的表面上。根据高斯定理可求得均匀带电球面的场强分布为由能量密度公式w=εE2/2可知,在球因E=0,故球电场的能量为零。由上式和能量密度公式可得,球外电场的能量密度为取一个与球同心的球壳,其半径为r,厚度为dr,则它的体积为dV=4πr2dr,体积元dV的电场能量dW=wdV=q2dr/<8πε0r2>,所以其电场的总能量为5-28在温度为37℃时,带一个正电荷的某离子在细胞膜外的浓度分别为10mol·m-3和160mol·m-3解:已知t=37℃,Z=+1,Ci=10mol·m-3,Co=160mol·m-3膜电位高于膜外电位。5-29在某一细胞中,Cl－在37℃时的平衡电位为－80mV,如果在细胞外Cl－浓度为110mol·m-3解:t=37℃,Z=－1,C0=110mol·m-3,Ui=－解之得,Ci=5.5mol·m-3,即细胞膜Cl－的浓度。5-30简述心电信号的产生过程。答:当心肌细胞处于静息状态时,在其膜的、外侧分别均匀地分布有等量的正、负离子,形成一闭合曲面的电偶层,对外不显电性,这种状态叫极化。当心肌细胞兴奋时,由于细胞对各种离子的通透性发生了变化,使得在兴奋处膜外的正电和膜负电逐渐消失,接着,反过来膜带正电,而膜外带负电,这个过程称为除极,在除极过程中由于电荷不再均匀分布,整个心肌细胞等效为一个电偶极子,其电矩方向与除极的传播方向相同。除极是一个极其短暂的过程,然后细胞又恢复到原来负外正的带电状态,这个过程称为复极。此时细胞同样相当于一个电偶极子,只是电矩方向与除极时相反。复极结束后细胞恢复到极化状态。可见,心肌细胞的除极和复极过程中,细胞相当于一个电矩变化的电偶极子,在周围空间引起电势的变化,这就是心电信号的产生过程。5-31心电图与心向量图有什么样的关系?答:某一导联得到的心电图是心向量图在该导联轴上的投影,实际上是空间心电向量环经过二次投影形成的。其过程是：首先空间心电向量环在三个互相垂直的平面上,即额面、水平