第二十三章 旋转 能力提升卷（B卷）（解析版）

2023-2024学年九年级上册第三单元旋转B卷•能力提升卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．（2023•九台区模拟）在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）【答案】A【解答】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，所以OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，所以点A1的坐标是（﹣1，2）．故选：A．2．（2023春•襄汾县期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形 B．平行四边形→正方形→菱形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形【答案】C【解答】解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD＝OB，∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．3．（2023春•通川区期末）如图在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2023OB2023，则点B2023的坐标（）A．（﹣22023，22023） B．（22022，﹣22022） C．（22023，﹣22023） D．（22022，22022）【答案】A【解答】解：由题意得：B1（2，﹣2），B2（﹣22，﹣22），B3（﹣23，23），B4（24，24），……，∵2023÷4＝505……3，∴B2023的坐标为（﹣22023，22023），故选：A．4．（2023春•德州期中）边长相等的两个正方形ABCD和OEFG如图所示，若将正方形OEFG绕点O按顺时针方向旋转120°，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分四边形OMAN的面积（）A．先增大再减小 B．先减小再增大 C．不断增大 D．不变【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，旋转得：四边形OE′F′G′是正方形，∴∠E′OG′＝90°，∴∠E′OG′＝∠AOB＝90°，∴∠E′OG′﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON，∴∠BON＝∠AOM，∴△AOM≌△BON（ASA），∴四边形OMAN的面积＝△AON的面积+△AOM的面积＝△AON的面积+△BON的面积＝△AOB的面积＝正方形ABCD的面积，∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分OMAN的面积不变，故选：D．5．（2023春•乳山市期末）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O，∠EOF＝90°，绕点O旋转∠EOF，交边AD，CD于点E，F，则线段EF的最小值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠OCF＝∠ODE＝45°，∠AOD＝∠COD＝90°，∴∠COF+∠DOF＝90°．∵∠EOF＝90°，∴∠DOE+∠DOF＝90°，∴∠COF＝∠DOE，∴△COF≌△DOE（ASA），∴OE＝OF，∴，∴当OE取得最小值时，线段EF取得最小值，由垂线段最短可知，当OE⊥AD时，OE取得最小值，此时，∴，线段EF的最小值为．故选：A．6．（2023春•开江县校级期末）如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（）A．150° B．135° C．120° D．165°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，如图，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故选：A．7．（2023春•秦都区期中）如图，△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边在下方作等边△CEF，连接BF、DF，则线段DF的最小值为（）A．2 B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AB＝4，∴BC＝AC＝AB＝4，BD＝DC＝2，∠BAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝30°，∵△CEF为等边三角形，∴CF＝CE，∠FCE＝60°，∴∠FCE＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACE，在△BCF和△ACE中，，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴∠CBF＝∠CAE＝30°，AE＝BF，∴当DF⊥BF时，DF值最小，此时∠BFD＝90°，∠CBF＝30°，BD＝2，∴DF＝1，故选：C．8．（2023春•兴城市期中）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……，依次类推，经过第2023次翻滚，点A的对应点A2023的坐标为（）​A．（3032，1） B．（3033，0） C．（3033，1） D．（3035，2）【答案】B【解答】解：如图所示：观察图形可得经过4次翻滚后点A对应点一循环，2023÷4＝505……3，∵点A（﹣1，2），长方形的周长为：2（2+1）＝6，∴A3（3，0），∴经过505次翻滚后点A对应点A2023的坐标为（6×505+1+2，0），即（3033，0）．故选：B．9．（2023春•高陵区月考）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点C（0，﹣2）的坐标旋转180°得到△A1B1C，设点A1的坐标为（a，b），则点A的坐标为（）A．（﹣a，﹣b+4）B．（﹣a+4，﹣b）C．（﹣a﹣4，﹣b） D．（﹣a，﹣b﹣4）【答案】D【解答】解：由题知，点C是AA1的中点，又C（0，﹣2），A1（a，b），所以：，．得xA＝﹣a，yA＝﹣b﹣4．即A（﹣a，﹣b﹣4）．故选：D．10．（2023•阜新模拟）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转2024次后，点P的坐标为（）​A．（6070，2） B．（6072，2） C．（6073，2） D．（6074，1）【答案】C【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2024÷4＝506，P2024的纵坐标与P4相同为2，横坐标为1+12×506＝6073，∴P2024（6073，2）．故选：C．填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。11．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标（8，4），连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°，得到OB'，则点B′的坐标为（﹣4，8）．【答案】（﹣4，8）．【解答】解：分别过点B、B′向x轴作垂线，垂足分别为M、N．（方法一）∵∠BOB′＝90°，∴∠BOM+∠B′ON＝90°．又∵∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠B′ON＝∠OBM．在Rt△OMB和Rt△B′NO中，，∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，∴点B′的坐标为（﹣4，8）．（方法二）根据题意，得OB′＝OB＝＝＝4．sin∠BOM＝sin（90°﹣∠B′ON）＝cos∠B′ON＝＝＝，cos∠BOM＝cos（90°﹣∠B′ON）＝sin∠B′ON＝＝＝．∴ON＝OB′•cos∠B′ON＝4×＝4，B′N＝OB′•sin∠B′ON＝4×＝8．∴点B′的坐标为（﹣4，8）．故答案为：（﹣4，8）．12．（2023春•南山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝90°．【答案】90°．【解答】解：∵∠B＝65°，∠BAC＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由旋转得∠E＝∠C＝40°，∠DAE＝∠BAC＝75°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠EAC＝∠BAD＝75°﹣∠CAD，∴∠EAC＝50°，∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝40°+50°＝90°，故答案为：90°．13．（2023•青云谱区开学）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为α（0°＜α＜130°）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，α的度数为30°或45°或120°．​【答案】30°或45°或120°．【解答】解：①如图1，当CD∥OB时，∠α＝∠D＝30°；②如图2，当OC∥AB时，∠OEB＝∠COD＝90°，∴∠α＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°；③如图3．当DC∥OA时，∠DOA＝∠D＝30°，∴∠α＝∠AOB+∠AOD＝90°+30°＝120°．④当OD∥AB时，旋转角大于130°，不符合题意．故答案为：30°或45°或120°．14．（2023春•五华县期中）如图，等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝10，AD＝6，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最小值为．​【答案】．【解答】解：连接AN，AM，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝10，AD＝6，∴，，∵点N，点M分别为BC，DE的中点，∴，，∵MN≥AN﹣AM，当点M在线段AN上时，MN最小，此时，，故答案为：．15．（2023春•东营期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：由旋转的性质得到AB＝AB′＝10，在直角△AB′D中，∠D＝90°，AD＝6，AB′＝AB＝10，所以B′D＝＝8，所以B′C＝10﹣B′D＝2．故答案为：2．16．（2023春•东台市期中）如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA，PD，PQ，则PA+PD+PQ的最小值为+2．【答案】+2．【解答】解：如图，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，∴AP＝AF，∠PAF＝60°＝∠EAD，AE＝AD，∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，作EH⊥BC于H，交AD于G．∴∠AEG＝30°，∴AG＝1，EG＝，∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ，∴当点Q，点F，点E，点Q四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，∵GH＝AB＝2，∴EH＝2+，∴PA+PD+PQ的最小值+2，故答案为：+2．三、解答题（本题共5题，共52分）。17．（10分）（2023春•秦都区期末）如图，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接DE、AD．（1）求证：AD＝CE；（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周长．【答案】（1）详见解析；（2）15cm．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝60°．∵BD是由BE绕点B逆时针旋转60°得到，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠CBE＝∠ABD，∴△CBE≌△ABD（SAS），∴AD＝CE；（2）解：∵△ABC和△BED都是等边三角形，∴AE+AD＝AE+CE＝AC＝BC＝8cm，DE＝BE＝7cm，∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝8+7＝15cm．18．（10分）（2023春•南城县期中）如图，点O是等边三角形ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．（1）求证：BO＝AD；（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．【答案】（1）详见解析；（2）150°．【解答】（1）证明：∵CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠BCA＝∠OCD＝60°，∴∠BCA＝∠OCD，∠BCO＝∠ACD，在△BCO和△ACD中，CA＝CB，∠BCO＝∠ACD，CO＝CD，∴△BCO≌△ACD（SAS），∴BO＝AD．（2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴OD＝OC＝6，∠ODC＝60°，∵△BCO≌△ACD，∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，∵OA＝10，∴OA2＝AD2+OD2，∴∠ADO＝90°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝90°+60°＝150°，∴∠BOC＝∠ADC＝150°．19．（10分）（2023春•北林区期末）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EF＝EQ；（2）求证：EF2＝BE2+DF2．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS）．∴EF＝EQ；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．20．（10分）（2022秋•青山湖区期末）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+