专题1.5 一线三等角模型（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题1.5一线三等角模型【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为．【思路点拨】（1）①由题意画出图形即可；②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．【解题过程】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．1．（2021秋•淮阳区期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（）A．75° B．80° C．65° D．95°【思路点拨】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形内角和为180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形内角和即可得证．【解题过程】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°∴∠B＝∠C=12×（180°﹣50°∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°∴∠FDB＝85°在△BDF和△CED中，BF=CD∠B=∠C∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE＝30°，又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．故选：C．2．（2021秋•南充期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列结论不一定成立的是（）A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE【思路点拨】证明△ABC≌△CDE（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DE，∠1＝∠E，则可得出结论．【解题过程】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠B＝90°，∴∠1+∠A＝90°，∴∠2＝∠A，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D∠A=∠2∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC＝DE，∠1＝∠E，∴∠A+∠E＝90°，∵∠1≠∠2，∴∠BCD≠∠ACE．故A，B，C选项不符合题意，故选：D．3．（2021秋•邗江区期中）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，则a，b，c三个正方形的面积和为（）A．18 B．26 C．28 D．34【思路点拨】由图可以得到a、b、c三个正方形的面积与1号、2号、3号、4号正方形的面积之间的关系，再根据1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为8，可以求得a，b，c三个正方形的面积的和．【解题过程】解：如下图所示，∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，在△ABC和△CED中，∠ABC=∠CED∠BAC=∠ECD∴△ABC≌△CED（AAS）∴BC＝DE，∵AB2+BC2＝AC2，∴S1+S2＝Sa，同理可证，S2+S3＝Sb，S3+S4＝Sc，∴Sa+Sb+Sc＝S1+S2+S2+S3+S3+S4，∵S1+S4＝10，S2+S3＝8，∴Sa+Sb+Sc＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝（S1+S4）+（S2+S3）+（S2+S3）＝10+8+8＝26，故选：B．4．（2021秋•德州期中）如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路点拨】通过全等三角形的性质和判定求解．【解题过程】解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形．∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE＝120°．∠BCQ＝60°．∴△ACD≌△BCE．故①正确．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC．∴△ACP≌△BCQ．∴CP＝CQ．∵∠BCQ＝60°．∴△BCQ是等边三角形．故②正确．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠BOE是△AOB的外角．∴∠BOE＝∠BAP+∠ABO＝∠BAP+∠ABC+∠CBQ＝∠BAP+∠ABC+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝120°．∵∠PCQ＝60°．∴∠POQ+∠PCQ＝180°．∴点P，O，Q，C四点共圆．∵CP＝CQ．∴∠POC＝∠COQ．∴CO平分∠AOE．故③正确．△BPO与△EDO中无法确定边相等，故不能确定它们全等，故④错误．故选：B．5．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是（180°﹣2α）度．（用含α的代数式表示）【思路点拨】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．【解题过程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，BF=CD∠B=∠C∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°-12∠∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2α，故答案为：（180°﹣2α）．6．（2021春•香坊区期末）如图，A、E、B三点共线，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，则∠CEF的度数为80°．【思路点拨】证出△ACE≌△BEF（SAS），得∠CEA＝∠F，再通过外角可得∠CEF＝∠B＝80°，【解题过程】解：在△ACE和△BEF中，AC=BE∠A=∠B∴△ACE≌△BEF（SAS），∴∠CEA＝∠F，∵∠AEF是△BEF的外角，∴∠AEC+∠CEF＝∠B+∠F，∴∠CEF＝∠B＝80°，故答案为：80．7．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为3．【思路点拨】利用AAS证明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，从而解决问题．【解题过程】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，∠CAD=∠EBD∠ADC=∠E∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．8．（2020•南关区校级四模）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，作DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，若AB＝10，EN＝4，则DM＝6．【思路点拨】过点C作CF⊥AB于点F，由旋转的性质可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一线三等角“证得∠D＝∠CAF，从而可判定△DAM≌△ACF（AAS），则DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），则BF＝EN＝4，再由AB＝10，可得AF，即DM的值．【解题过程】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：∵边AC绕点A沿逆时针方向旋转90°得到AD，边BC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到BE，∴AD＝AC，BE＝BC，∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F，∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，∴∠D+∠DAM＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAF+∠DAM＝90°，∴∠D＝∠CAF，∴在△DAM和△ACF中，∠AMD=∠AFC∠D=∠CAF∴△DAM≌△ACF（AAS），∴DM＝AF．同理可证，△BFC≌△ENB（AAS），∴BF＝EN＝4，∵AB＝10，∴AF＝AB﹣BF＝10﹣4＝6，∴DM＝6．故答案为：6．9．（2021秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．【思路点拨】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根据AAS证明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出结果．【解题过程】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD与△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．10．（2021秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【思路点拨】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．【解题过程】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△DCE中，∠1=∠2∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．11．（2022•麻栗坡县校级模拟）如图，点A、E、C在同一条直线上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE．求证：AB＝CE．【思路点拨】根据垂直的定义、直角三角形的性质得到∠ECD＝90°＝∠A，∠B＝∠1，即可利用AAS证明△ABC≌△CED，根据全等三角形的性质即可得解．【解题过程】证明：如图，∵BA⊥AC，CD∥AB，∴∠A＝90°，CD⊥AC，∴∠ECD＝90°＝∠A，∵BC⊥DE，BA⊥AC，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠B＝∠1，在△ABC和△CED中，∠A=∠ECD∠B=∠1∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE．12．（2021秋•海丰县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．【思路点拨】（1）根据同角的余角相等，可证∠BCE＝∠CAD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE；（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出结论．【解题过程】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，AD＝CE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．13．（2021秋•沙河口区期末）在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且ED＝EF，∠DEF＝∠B．（1）如图1，求证：BC＝BD+CF；（2）如图2，连接CD，若DE∥AC，求证：CD平分∠ACB．【思路点拨】（1）证明△BDE≌△CEF，可得结论；（2）证明DE＝EC，再利用平行线的性质解决问题即可．【解题过程】证明：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠EDB+∠B，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠FEC，∵ED＝EF，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴BD＝EC，BE＝CF，∴BC＝BE+EC＝BD+CF；（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB，∠EDC＝∠ACD，∴∠B＝∠DEB，∴DB＝DE，由（1）可知，BD＝EC，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠ACD，∴CD平分∠ACB．14．（2021秋•佳木斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【思路点拨】（1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，进而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，进而得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE＝BE﹣AD．【解题过程】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．15．（2021秋•青山区期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为12ac+12b2．（用含【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质求出∠D＝∠DBA＝70°，由三角形内角和定理可得出答案；（2）过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，证明△BAF≌△CBG（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝BG，BF＝CG，得出AF＝EF＝BG，BF＝CG，由等腰直角三角形的性质可得出结论；（3）根据S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC可得出结论．【解题过程】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，∴∠BAD＝40°，∵AD＝AB，∴∠D＝∠DBA＝70°，又∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，又∵AD＝BC＝AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB=12∠DAB＝∠∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，在△BAF和△CBG中，∠BAF=∠CBG∠AFB=∠CGB∴△BAF≌△CBG（AAS），∴AF＝BG，BF＝CG，∵∠CBG＝∠CAE，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，∴BF＝EG＝CG，∴∠CEG＝∠AEF＝45°，∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，∴S△ABC=12BE⋅AF+=12BE⋅AF+12ac-1=1故答案为：1216．（2022•信阳一模）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是DE＝BD+CE；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝A