课时验收评价(三十二) 解三角形的实际应用

PAGE第2页共5页课时验收评价(三十二)解三角形的实际应用1．某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以30(eq\r(3)－1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离(单位：海里)可以达到()A．6 B．8C．10 D．12解析：选C如图所示，由题意得：AD⊥CD，∠A＝30°，∠DBC＝45°，则AB＝eq\f(20,60)×30(eq\r(3)－1)＝10(eq\r(3)－1)，∠ABC＝135°，在△ABC中，由正弦定理得：eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠A)，所以BC＝eq\f(AB·sin∠A,sin∠ACB)＝eq\f(10\r(3)－1·sin30°,sin15°)＝eq\f(10\r(3)－1×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝10eq\r(2)，所以CD＝BCsin45°＝10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10，故选C.2.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝()A．120m B．150mC．50eq\r(3)m D．160m解析：选C在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝100eq\r(2)m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)，因此AM＝100eq\r(3)m．在Rt△MNA中，AM＝100eq\r(3)m，∠MAN＝30°，由eq\f(MN,AM)＝sin30°得MN＝50eq\所以山高MN＝50eq\3.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s，测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据不能计算出塔AB的高度的是()A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解析：选B对于A，已知∠BCD，∠BDC，CD，即可解△BCD，可得BC，再由AB＝BC·tan∠ACB，可求得塔高；对于B，由∠ACB，∠BCD，∠ACD与CD无法求得塔高；对于C，已知∠ACD，∠ADC，CD，即可解△ACD，可得AC，由AB＝AC·sin∠ACB，可求得塔高；对于D，若确定∠ACB，∠BCD，则∠ACD确定，又由C可知，可求得塔高．4.如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A,2AD＝3BD，则cosA等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．0解析：选C因为CD为角C的平分线，所以eq\f(AD,BD)＝eq\f(AC,BC)，因为2AD＝3BD，所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2)，所以不妨设AC＝3x，BC＝2x，因为在△ABC中，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，B＝2A，所以eq\f(AC,sin2A)＝eq\f(BC,sinA)⇒eq\f(3x,2sinAcosA)＝eq\f(2x,sinA)，因为在△ABC中，sinA≠0，x≠0，所以eq\f(3x,2sinAcosA)＝eq\f(2x,sinA)⇒eq\f(3,2cosA)＝2，所以cosA＝eq\f(3,4).5.(2022·云南师大附中高三期中)某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形ABCD，AB＝2eq\r(3)，BC＝4(单位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且拟在A，C两点间修建一条笔直的小路(路的宽度忽略不计)，则当草坪ABCD的面积最大时，AC＝()A．2eq\r(7)百米 B．2eq\r(10)百米C．2eq\r(13)百米 D．2eq\r(19)百米解析：选C设∠ABC＝θ，0＜θ＜π，在△ABC中，AC2＝42＋(2eq\r(3))2－2×4×2eq\r(3)cosθ＝28－16eq\r(3)cosθ，由CD＝AD，∠ADC＝60°，所以△ADC为等边三角形，所以SABCD＝S△ABC＋S△DAC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)sinθ＋eq\f(\r(3),4)AC2＝4eq\r(3)sinθ＋eq\f(\r(3),4)(28－16eq\r(3)cosθ)＝7eq\r(3)＋8eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，当θ＝eq\f(5π,6)时，草坪ABCD的面积最大，此时AC＝eq\r(28＋24)＝2eq\r(13).6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为3km，5km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与B的距离为________km.解析：由题意作出示意图如图．由题意可得∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可知：AB2＝9＋25＋15＝49，所以AB＝7.答案：77.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝40米，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB为________米．解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝45°，所以由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(40×sin60°,sin45°)＝20eq\r(6)，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，所以AB＝BCtan∠ACB＝20eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(2).答案：20eq\r(2)8.如图，某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，则该四边形ABCD的面积等于________m2.解析：在△BCD中，BC＝CD＝20m，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，BD＝eq\r(BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD)＝20eq\r(3)m，∴S△BCD＝eq\f(1,2)×20×20×sin120°＝100eq\r(3)m2在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40m，BD＝20eq\∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝400eq\r(3)m2，∴四边形ABCD的面积是500答案：500eq\r(3)9.如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶100eq\r(3)m后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m，200m，则两山山顶A解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3)，如图，连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100eq\r(3)，在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，得BQ＝100eq\r(5)，在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).答案：100eq\r(5)10.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”．设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为______m2.解析：在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos∠AOB，即AB＝100eq\r(5－4·cosθ)，∴SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝eq\f(1,2)·OA·OB·sinθ＋eq\f(1,2)·AB2，∴SOACB＝1002eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－2cosθ＋\f(5,2)))，令tanφ＝2，则SOACB＝1002eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(5)sinθ－φ＋\f(5,2)))，∴“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10000eq\r(5)＋25000)m2.答案：10000eq\r(5)＋2500011.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．解：(1)过点A作AE⊥BD，垂足为E.由己知条件得：四边形ACDE为矩形，∴DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8，∵PB⊥AB，∴cos∠PBD＝sin∠ABE＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，∴PB＝eq\f(BD,cos∠PBD)＝eq\f(12,\f(4,5))＝15，∴道路PB的