线性代数期末试题(同济大学第五版)(附答案)

线性代数试题〔附答案〕一、填空题〔每题2分，共20分〕.行歹列式=。.假设齐次线性方程组有非零解，且k2丰1,则k的值为。.假设4X4阶矩阵A的行列式阊=3,A*是A的伴随矩阵则|A*=4.A为nxn阶矩阵，且A2—3A+2E=0，则A-15.5工工和n,n,n是R3的两组基，且123 123n= 3m +2m +5,n =5+2m +5,n =2m +己+2m，假设由基己,己,占到基1 1 2 32 1 2 33 1 2 3 123n,n,n的基变换公式为(n,n,n)=(m,m,m)a，则a=1 2 3 1 2 3 1 2 36.向量a=(-1,0,3,-5),p=(4,-2,0,1),其内积为。2,B=23」 |_11 -11-10,则AB之迹tr(AB)=-118.假设3x3阶矩阵A的特征值分别为1,-2,3,则A-1的特征值分别为9.二次型f〔%,%,%〕=X2-3X2-2X2的正惯性指数为1 2 3 1 2 310.矩阵为正定矩阵，则九的取值范围是。二、单项选择〔每题2分，共12分〕1.矩阵A=A、1ababab121314ababab222324ababab323334ababab424344ab11ab21ab31ab41B、2其中a中0,b丰0,i=1,2,3,4,则r(A)=()。iiC、3 D、42.齐次线性方程组的根底解系中含有解向量的个数是〔〕A、1B、2C、3D、4TOC\o"1-5"\h\z3.向量组a=(1,1,1,0),a=(0,k,0,1),a=(2,2,0,1),a=(0,0,2,1)线性相关,则k=12 3 4( )A、-1 B、-2 C、0 D、14.A、B均为n阶矩阵,且(A+B)(A—B)=A2—B2,则必有( )A、B=E B、A=EC、A=BD、AB=BA一211一5.a=(1,k,1)t是矩阵A=121的特征向量则k=()112_A、1或2 B、-1或-2C、1或-2D、-1或26.以下矩阵中和矩阵( )A、 B、C、 D三、计算题(每题9分，共63分)abb…b0 1 2nca01 1…01.计算行列式c 0a…•0(其中a2 2i c0 0…ann中0,i=1,2…，n)x+x+2x+3x=1TOC\o"1-5"\h\z12 3 4x+3x+6x+x=32.当a取何值时,线性方程组^ 1 2 3 4有解？在方程组有解时，x+5x+10x-x=51 2 343x+5x+10x+7x=a12 34用其导出组的根底解系表示方程组的通解。3.给定向量组a;(1,-1,0,4),a=(2,1,5,6),a=(1,-1,-2,0),a=(3,0,7,k)。当k为1 23 4何值时，向量组a,a,a,a线性相关？当线性组线性相关时，求出极大线性1234无关组，并将其们向量用极大线性无关组线性表示。一36一4.设矩阵，B=1 1,且满足4X=2X+B,求矩阵X。2-3.A为n阶正交矩阵，且用＜0。(1)求行列式IAI的值；(2)求行列式IA+EI的值。.实对称矩阵(1)求正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵；(2)求A10。.将二次型f(x,x,x)=x2+2x2+x2+2xx+2xx+4xx化为标准形，并写1 2 3 1 2 3 12 13 23出相应的可逆线性变换。四、证明题(5分)A、B均为n阶矩阵，且A、B、A+B均可逆，证明:(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A试题二一、填充题(每题2分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z0 0 …0 10 0 …2 0. 。0 n—1 …0 0n 0 …0 0.=(n为正整数)。.设A=，则(2A)-1=。.非齐次线性方程组AX二b有唯一解的充分必要条件是 。mxnnx1 mx1.向量a=(3,1)7在基n=(1,2)7,n=(2,1)7下的坐标为 。1 2 .假设呻阶矩阵A、B、C有ABC=E,E为n阶单位矩阵则C-1=.假设n阶矩阵A有一特征值为2，则|A-2E=。.假设A、B为同阶方阵，则(A+B)(A-B)=A2-B2的充分必要充分条件是。.正交矩阵A如果有实特征值，则其特征值九等于。10二次型f(x,x,x)=2x2+3x2+tx2+2xx+2xx是正定的，则t的取1 2 3 1 2 3 12 13

值范围是二、单项选择〔每题2分，共10分〕1.假设a11a21a1.假设a11a21a,1212:6,则aa 2222 02a 0112a 0的值为〔21-2-1A、12B、-12C、18D、0TOC\o"1-5"\h\z2.设A、B都是n阶矩阵且AB=O,则以下一定成立的是〔 〕A、A=0或B=0 B、A、B都不可逆C、A、B中至少有一个不可逆 D、A+B=O3向量组a,a…,a线性相关的充分必要条件是〔 〕. 12sA、a,a…,a中含有零向量12 sB、a,a…,a中有两个向量的对应分量成比例12 sC、a,a…,a中每一个向量都可用其余s-1个向量线性表示12 sD、a,a…,a中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示12 s4.由R3的基^=a+2a+3a平=a平=a到基a,a,a的过渡矩阵为〔 〕3 123B、3 123B、它们具有相同的特征向量D、存在可逆矩阵C,使CtAC=BA、 B、C、 D、5.假设n阶矩阵A与B相似,则〔 〕A、它们的特征矩阵相似C、它们具有相同的特征矩阵三、计算题〔每题9分，共63分〕123…n-1n1-10…001.计算行列式02-2…00………………000…2-n0000…n-11一n2x+x一x+x=112 3 4x—x+x+x=22.线性方程组1102c34 当a、b为何值时有解，在有解的— 7x+2x一2x+4x=a12347x-x+x+5x=b123 4情况下，求其全部解(用其导出组的根底解系线性表示)。3.求向量组a=(2,1,1,1),a=(-1,1,7,10),a=(3,1,-1,-2),a=(8,5,9,11)的一个极12 3 4大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示。.设4X.设4X+B=X,其中A=一110一.矩阵A=110003010-11 1-10-1一00与B=03001-1,B=205-30一0,相似x(1)求至(2)求可逆矩阵P,使P-1AP=B6.给定R3的基a=(1,1,1)r,a=(-1,0,-1)r,a=(1,2,-3)r，将其化为R3的一组标准12 3正准交基，并求向量a=(3,2,1)r在所求的标准正交基之下的坐标。7.化二次型f(x,x,x)=x2+5x2-x2+4xx+2xx为标准形，写出相对应1 2 3 1 2 3 12 13的非奇异线性变换。并指出二次型的秩、正惯性指数及符号差。四、证明题(7分)'如果A是"阶矩阵(几>2),且r(A)=n-1,试证r(A*)=1一、填空题(每题2分，共20分)TOC\o"1-5"\h\z1.160 2.-2 3.27 4. 5. 6.-91 17.7 8.1,-, 9.1 10.-、3<X<v：32 3二、单项选择(每题2分，共12分).A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B三、计算题(每题9分，共63分)1.将第2列的倍，第3列的(-、)倍,…，第(n+1)列的倍统统加到第1列上去，得a2

bcbcbcbbba- -22…—nn…0aaa12n1C2na0…0原式=010a…0……2………000…an=aa…a(a_£^c>)12n0ai=1i特解Y=(0,1,0,0),特解Y=(0,1,0,0),T其导出的根底解系为0所以，1123一11231一13613024-22A=1510-15024-2a-31123110040024-22T012-110000a-50000a-500000_00000T当a=5时,方程组有解，n=(0,-2,1,0)T=(-4,1,0,1)T,原方程组的全部解为X=y+kn+kn,k,k为任1 0 11 22 12意常数。.由向量组a,a,a,a为列向量组作矩阵12 3 41201T001201T00001 30 1T1-10k-1420 4100 210 1010 1T01 -1001 -100k-14000k-141000131 2 1 312 1 3-1003 0 301 0 1TT-2705-2 700-2 20k0-2-4k-1200-4k-102156当k=14时，向量组线性相关。向量组的极大线性无关组是a,a,a,且1 2 3.由AX=2X+B得,(A-2E)X=B1所以有X二(A—2')7B=001所以有X二(A—2')7B=00-1 00一=0-2-10 1 1-3-1-3-4-15.由于网2=1,则囿=±1,因为，囿＜0,所以国=—+耳=A+AAt-A(E+At)|=|A||E+At|=-|A+E\,所以，+可=06.川=九〔九-2"，所以A的4特征值为〜=0,%=%=2。对应和特征于X=0的特征向量〔1,0-1〕7,标准正交化；对应于特征值九二九二2的特征向量1 2 3(1,01)7,(0,1,0)7，(1,01)7,(0,1,0)7，标准正交化〞(0,1,0)ro7272由此可得正交矩阵2=〔〃,«,«〕=1 2 3J2000使得020=A为对角矩阵。002TOC\o"1-5"\h\z2 0 29一Aio=QAwQ-i=02io029 0 297.二次型/=(x,x,x)=(x+x+X)2+X2+2xx123 1 2 3 2 23=(%+X+X)2+(%+X)2-X2

1 2 3 2 3 3令所作的可逆线性变换为可将原二次型化为标准型/=J2+J2-J21 2 3四、证明题(5分)证明：QU+B-i)B(A+B)-iA=A-iB(A+B)-M+B-iB(A+B)-M=A-iB(A+B)-1A+A-iA(A+B)-1A二A-i(B+A)-i(A+B)-iA-E或B(A+B)-iAJ=A-i(A+B)B-i=A-iAB-i+A-iBB-i=B-i+A-i=A-i+B-i试题二一、填空题n(n-i)i.(-i)2n! 2. 3. 4.r(A)=r(Ab)=n.、 35.6.AB7.0 8.AB=BA 9.i或-i i0.t>5二、单项选择题i.A2.C 3.D4.B5.A三、计算题n(n+1)23 …n-1n20-10…00i.原式二02-2…00……………000…2-n0000…n-11-n-10…002—2…00n(n+1)= …•………•…200…2-n000…n-11-n二(-i)n-i.n(n+i).(n-i)!=(-i)n-i.(n+i)!

2< 21

1 2-100 23-1 -3--1T01-1---3a-143000 0-2b-14—_000 0-3-91-1a—5b-8当a=5且b=8时线性方程组有解r二a‘-1,0.0))Tr二a‘-1,0.0))T…J"二(-2,1,0,3)t全部解为x=r+cn+cn3.A=2111-117101-369为任意常数。211-2-35-24643130013

了

2300是向量组a是向量组a,a,a,a的一个极大线性无关组14 1=—a——a313! 413 2=—a+—a4.由AX+B4.由AX+B二X,得(E-A)X=B，即X=(E-A)-1B23223231■3131313X=(E-A)-X=(E-A)-1B=232313131313-1