专题简单的线性规划含答案

高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。考察主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数〔或者可行域〕中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。典例精析线性规划是高考热点之一,考察内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。考点1：求给定可行域的最优解例1.〔2021广东文〕变量、满足约束条件,则的最小值为 〔〕A．3 B．1 C．D．解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点,解得,所以的最小值为.例2.〔2021天津〕设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为〔A〕6〔B〕7〔C〕8〔D〕23解析：画出不等式表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，应选择B.发散思维：假设将目标函数改为求的取值范围；或者改为求的取值范围；或者改为求的最大值；或者或者改为求的最大值。方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数到达最值时可行域的顶点〔或边界上的点〕，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。练习1.〔2021天津〕设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为 〔〕A．B．C．D．3【解析】做出不等式对应的可行域如图,由得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.练习2．在约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤2，,2y－x≥1，))下，eq\r(x－12＋y2)的最小值为________．解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到eq\r(x－12＋y2)可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即为eq\f(|－1－1|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案eq\f(2\r(5),5)练习3、〔2021广东文、理数〕平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．假设M〔x，y〕为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为〔〕 A、3 B、4C、3 D、4解答：解：首先做出可行域，如下图：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为A〔，2〕，所以z的最大值为4应选B练习4.〔2021福建〕O是坐标原点，点A(－1,1)，假设点M(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【分析】由于eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，实际上就是在线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))下，求线性目标函数z＝－x＋y的最大值和最小值．【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图)，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线．当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.∴z的取值范围是[0,2]，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范围是[0,2]，应选C.考点2：求给定可行域的面积例3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为〔〕A．B．C．D．答案c考点3：给出最优解求目标函数〔或者可行域〕中参数例4．(2021广州一模文数)在平面直角坐标系中，假设不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数的值为A．1B．2C．3D．答案B练习5.〔2021福建卷文〕在平面直角坐标系中，假设不等式组〔为常数〕所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为A.-5B.1C.2D.3解析解析如图可得黄色即为满足的直线恒过〔0，1〕，故看作直线绕点〔0，1〕旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，应选D.练习6.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是c〔A〕[1,3](B)[2,](C)[2,9](D)[,9]练习7．设z＝x＋y，其中x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0,x－y≤0,0≤y≤k))，假设z的最大值为6，则z的最小值为A．－3B．3C．2D．－2解析如下图，作出不等式组所确定的可行域△OAB，目标函数的几何意义是直线x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＝k，))解得A(k，k)，故最大值为z＝k＋k＝2k，由题意，得2k＝6，故kB时，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,y＝3，))解得B(－6,3)，故最小值为z＝－6＋3＝－3.应选A.答案A练习8.〔2021课标文〕正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,假设点(x,y)在△ABC内部,则的取值范围是 〔〕A．(1-eq\r(3),2) B．(0,2) C．(eq\r(3)-1,2) D．(0,1+eq\r(3))【命题意图】此题主要考察简单线性规划解法,是简单题.【解析】有题设知C(1+,2),作出直线:,平移直线,有图像知,直线过B点时,=2,过C时,=,∴取值范围为(1-eq\r(3),2),应选A.练习9.〔2021福建文〕假设直线上存在点满足约束条件,则实数的最大值为〔〕A．-1 B．1 C．D．2 【答案】B【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确.【考点定位】此题主要考察一元二次不等式表示平面区域,考察分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.练习10.〔2021福建理〕假设函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为〔〕A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确.【考点定位】此题主要考察一元一次不等式组表示平面区域,考察分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力考点四：实际应用与大题例5〔2021四川卷理〕某企业生产甲、乙两种产品，生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，则该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元解析：设甲、乙种两种产品各需生产、吨，可使利润最大，故此题即约束条件，求目标函数的最大值，可求出最优解为，故，应选择D。练习11.〔2021四川理〕原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的方案中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产方案,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 〔〕A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元[答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得利润为Z元/天,则由,得Z=300X+400Y且画可行域如下图,目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=这是随Z变化的一族平行直线解方程组即A(4,4)[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).练习12.(2021广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及本钱如下表所示：食物类型甲乙丙维生素〔单位/〕300500300维生素〔单位/〕700100300本钱〔元/〕543某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为〔1〕试以表示混合食物的本钱;〔2〕假设混合食物至少需含35000单位维生素及40000单位维生素，问取什么值时，混合食物的本钱最少？(本小题主要考察线性规划等知识,考察数据处理能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解：依题意得……………2分由，得，代入，得.……………3分解:依题意知、、要满足的条件为………6分把代入方程组得……9分如图可行域〔阴影局部〕的一个顶点为