习题课1-“函数与导数”问题常用的解题技能

所以lgx<1，解得0<x<10.所以原不等式的解集为(0,10)．[答案]

(0,10)[方法技巧]当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．[例2]设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________．[解析]借助导数的运算法则，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．[答案]

(－∞，－3)∪(0,3)[方法技巧]当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．[针对训练]1．设定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋f(x)＝3x2e－x，且f(0)＝0，则下列结论正确的是

(

)A．f(x)在R上单调递减B．f(x)在R上单调递增C．f(x)在R上有最大值D．f(x)在R上有最小值2．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．方法二复合型函数问题——同构法解决同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．同构式的应用(1)在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a，b可视为方程f(x)＝0的两个根．(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式同构法构造函数的策略(1)指对各一边，参数是关键；(2)常用“母函数”：f(x)＝xex，f(x)＝ex±x；寻找“亲戚函数”是关键；(3)信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；(4)复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围[针对训练]若0<x1<x2<1，则

(

)A．ex2－ex1>lnx2－lnx1B．ex1－ex2>lnx2－lnx1C．x2ex1>x1ex2D．x2ex1<x1e

x2方法三含参不等式问题——分离参数法解决[典例]已知函数f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，当x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求实数k的取值范围．[解]由已知得不等式x2＋4x＋2≤k·2ex(x＋1)对x≥－2恒成立．①当x＝－1时，k∈R.当－2≤x＜－1时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(－2)＝e2，故k≤e2.③当x＞－1时，k≥g(x)恒成立．因为g(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(0)＝1，故k≥1.综上，1≤k≤e2.即实数k的取值范围是[1，e2]．[方法技巧]用直接法解决含参不等式求参数范围问题，时常需要分类讨论，计算量较大．而用分离参数法解决含参不等式问题时，比较直接，这也是学生首选的方法．

[针对训练]1．已知函数f(x)＝xlnx，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．[典例2]已知函数f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．[解]

(1)由f(x)＝ex－xlnx，知f′(x)＝e－lnx－1，则f′(1)＝e－1，而f(1)＝e，故所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋1.当x∈(1，＋∞)时，G(x)>0，即当x∈(0,1)时，F′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0，∴F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x