第三节　导数与函数的极值、最值

1．函数的极值与导数2．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的

；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中

的一个是最大值，

的一个是最小值．连续不断极值最大最小3．函数极值与最值的区别与联系

极值最值区别(1)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得；(2)在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有(1)最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；(2)最值最多有一个联系(1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得，必定是极值；(2)在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值，则这个极值就是最值(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)．(2)极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大．(3)有极值的函数一定不是单调函数．(4)f′(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．1．如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断不正确的是

(

)A．在区间(－3，－2)内单调递减B．在区间(2,3)内单调递增C．x＝－3是极小值点D．x＝4是极大值点答案：C答案：B3．已知函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为

(

)4．(苏教版选择性必修第二册P202·T4改编)已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.答案：325．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.答案：(2,6)层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)已知图象判断函数的极值、最值[题点全训]1．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中不正确的是

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)A．f(x)在[－2，－1]上是减函数B．当x＝3时，f(x)取得最小值C．当x＝－1时，f(x)取得极小值D．f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数解析：根据图象知当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故A、D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，C正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，B错误．答案：B

2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是

(

)A．f(x)有极大值f(－2)B．f(x)有极小值f(－2)C．f(x)有极大值f(1)D．f(x)有极小值f(1)解析：由图象知，当x>1时，f′(x)<0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0.∴函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减．∴f(x)有极大值f(－2)．答案：A

[一“点”就过]导函数图象的应用策略(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值．基础点(二)求简单的函数极值、最值问题

[题点全训]4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________．解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.答案：－37[一“点”就过]1．函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．2．求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或递减)，则f(a)为最小(大)值，f(b)为最大(小)值．(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在(a，b)内的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)已知函数的解析式求函数的极值[典例]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．求解函数极值点问题的注意点(1)导数为零的点不一定是极值点．在求得导函数的零点后，要利用导函数零点左右的导函数符号来确定极值点．(2)对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f′(x)＝0的根的情况进行讨论，分两个层次讨论．第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小．(3)对于涉及极值点的不等式证明问题，一般要进一步构造函数并借助导数研究函数的单调性，进而借助不等式去解决．

所以f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)．所以f(x)的极小值点是x＝k，f(x)的极小值为f(k)＝lnk，无极大值点．综上，当k≤0时，f(x)无极值；当k>0时，f(x)的极小值为lnk，无极大值．(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[针对训练]1．(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．2．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线l与直线3x－y＝0平行，求切线l的方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0，又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，则切点坐标为(1,1)，斜率为3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简得3x－y－2＝0.重难点(三)已知函数的极值(最值)求参数

[典例]已知f(x)＝ax－lnx，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使得f(x)在区间(0，e]上的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[方法技巧]已知函数极值点或极值求参数的策略列式根据极值点处导数为0或极值列方程(组)，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证[提醒]

若函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在极值点，则函数y＝f′(x)在区间(a，b)内存在变号零点2．设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1.(混淆极值与最值)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是

(

)A．f(b)>f(a)>f(c)B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值D．函数f(x)的最小值为f(d)a解析：由题图可知，当x≤c时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在(－∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f(a)<f(b)<f(c)，故A不正确．因为f′(c)＝0，f′(e)＝0，且当x<c时，f′(x)>0；当c<x<e时，f′(x)<0；当x>e时，f′(x)>0.所以函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当d≤x≤e时，f′(x)≤0，所以函数f(x)在[d，e]上单调递减，从而f(d)>f(e)，所以D不正确．故选C.答案：C

2．(由函数的极值求参数忽略验证)已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝

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)A．4 B．11C．4或11 D．3或93．(忽略函数的定义域)若函数f(x)＝x2－aln(2x－1)＋b(a∈R)在(1,2)内不存在极值点，则a的取值范围是________．二、融会贯通应用创新题4．(创新解题思维·数形结合)已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是

(

)解析：函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)