第二节　空间点、直线、平面的位置关系

第二节空间点、直线、平面的位置关系1.借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1．基本事实1～32.三个推论利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”可得以下推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条

直线，有且只有一个平面推论3经过两条

直线，有且只有一个平面相交平行3.空间中两条直线的位置关系(1)位置关系分类共面直线①相交直线：在同一平面内，有且只有

；②平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线不同在

内，没有公共点(2)基本事实4和定理基本事实4平行于同一条直线的两条直线_____定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________一个公共点任何一个平面平行相等或互补4.异面直线所成的角5.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有

、

、

三种情况．(2)平面与平面的位置关系有

、

两种情况．相交平行在平面内平行相交(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．(2)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．(3)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．1．(人教A版必修第二册P128·T2改编)

下列命题是真命题的是

(

)A．空间不共线的三个点确定一个平面B．一个点和一条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定三个平面答案：A2．(人教A版必修第二册P131·T1改编)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是

(

)A．垂直

B．相交

C．异面

D．平行答案：D3．(苏教版必修第二册P167·T2改编)直线l与平面α不平行，则

(

)A．l与α相交

B．l⊂αC．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对答案：C4．(人教A版必修第二册P132·T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成_______部分．答案：8

4层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)平面的性质及应用

[题点全训]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是

(

)解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四

点不共面．答案：D

2．给出以下说法，其中正确的是

(

)A．不共面的四点中，其中任意三点可以共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面解析：在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A不正确；在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，B不正确；选项C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，D正确．答案：D

3.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设FG与HE交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明：(1)在△ABD中，∵E，F为AD，AB中点，∴EF∥BD.在△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．(2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直线AC.∴P，A，C三点共线．[一“点”就过]共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．基础点(二)空间两直线的位置关系

[题点全训]1．已知a，b，c为三条不重合的直线，给出下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为

(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．答案：B

2．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是

(

)A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定解析：构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取AD为l1，AA1为l2，A1B1为l3，当取B1C1为l4时，l1∥l4；当取BB1为l4时，l1⊥l4；当取A1D为l4时，l1与l4既不垂直也不平行．故l1与l4的位置关系不确定．答案：D

3．如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆的直径，AS⊥BS，M是线段AS上的点(不与端点A，S重合)，N是底面圆周上的动点，则直线BS与MN不能

(

)A．异面

B．相交C．平行

D．垂直解析：当N不与A或B重合时，SB是平面SAB内的一条直线，MN是平面SAB外的一条直线，且M不在SB上，可知BS与MN异面；当N与B重合时，可知MN与BS相交；当N与A重合时，可知SB与MN垂直．∴直线BS与MN不能平行．故选C.答案：C

4．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中GH与MN异面．答案：②④[一“点”就过]截面问题无法作出图形及找到基本量在截面问题中，通常出现的痛点：一是无法作出截面的图形，二是在涉及截面的运算时，找不到基本量，无法进行计算．在解决此类问题时，利用平面的性质确定截面是解决问题的关键．——————————————————————————————————[典例]

(1)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，若AC1⊥平面α，则关于平面α截此正方体所得截面有以下结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状可能为正六边形；④截面形状可能为五边形．其中正确的结论为

(

)A．①②

B．①③

C．②④

D．③④(2)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，棱长为4，BB1的中点为M，过D，M，C1三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为

(

)确定截面的主要依据(1)关于平面的基本事实及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．

[针对训练]1．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是(

)解析：考虑过球心的平面在转动过程中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D.答案：D

层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视定理的特殊要求)已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝

(

)A．30° B．150°C．30°或150° D．60°或120°解析：∵角α与角β的两边分别平行，∴α与β相等或互补，又α＝30°，∴β＝30°或150°.答案：C

2．(性质使用不当而致误)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是

(

)A．相交

B．异面C．平行

D．垂直解析：如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意，易得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，∴EF∥BD1，又A1B∩BD1＝B且A1，B，E，F共面，则直线A1B与直线EF相交．答案：A

3．(忽略异面直线所成角的范围)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB