第一节　空间几何体的结构特征及表面积与体积

第七章

|立体几何第一节空间几何体的结构特征及表面积与体积1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.3.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.1．多面体的结构特征2.正棱柱、正棱锥的结构特征正棱柱侧棱

底面的棱柱叫做直棱柱，底面是

的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是

，侧棱垂直于底面，侧面是矩形正棱锥底面是

，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫_________垂直于正多边形正多边形正多边形正四面体3.旋转体的结构特征4.平面图形的直观图的斜二测画法的规则建系原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为

，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．规则原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍

；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度

；平行于y轴的线段在直观图中___________________45°或135°平行于坐标轴不变长度变为原来的一半5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式6.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积1.(人教A版必修第二册P106·T8改编)如图，若长方体ABCD-A′B′C′D′中截去体积较小的一部分，其中EH∥B′C′∥FG，则剩下的几何体是

(

)A．棱台

B．四棱柱C．五棱柱

D．六棱柱答案：C2．(人教A版必修第二册P105·T4改编)下列几何体是棱台的是

(

)答案：D3．(苏教版必修第二册P147·T2改编)如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为

(

)A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案：B4．(湘教版必修第二册P187·例5改编)已知四面体ABCD的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为________．5．(北师大版必修第二册P244·T2改编)某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半径分别为1m和2m，高为1m，则需要________m3的土才能把花台填满．层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)空间几何体的结构特征

[题点全训]1．下列说法中，正确的个数是

(

)①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；④梯形的直观图可以是平行四边形．A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；对于②，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；对于③，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；对于④，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误．故选A.答案：A

2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；③圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形；④圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中，面积最大的一个；⑤有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体为棱锥．其中正确命题的个数是

(

)A．0 B．1C．2 D．3解析：①只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，故①不正确；②只有平行于圆锥底面的平面截圆锥时，才能得到一个圆锥和一个圆台，故②不正确；③正确；④因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式知，过圆锥顶点的截面中，两条母线的夹角的正弦值越大，截面面积就越大，所以当轴截面中两条母线的夹角为钝角时，轴截面的面积就不是最大的，故④不正确；如图几何体是由两个四棱锥组成的几何体，满足有一个面是多边形，其余各面是三角形，但不是棱锥，故⑤不正确．故选B.答案：B

[一“点”就过]空间几何体结构特征的判定方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可[一“点”就过]斜二测画法中的“三变”与“三不变”层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)空间几何体的表面积

[典例]

(1)“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，也是很多人儿时美好的童年记忆，陀螺一般为木制的圆锥和圆柱的组合体，上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图是一个陀螺的几何体，由图中所给数据，得该几何体的表面积为

(

)(2)(2022·大庆一模)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，点P在平面ABCD上的射影为AD的中点O.若AB＝2，AD＝6，PO＝4，则四棱锥P-ABCD的表面积等于

(

)[方法技巧]求空间几何体的表面积的方法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积2．在三棱锥A-BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时，AD＝________.[方法技巧]当所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时，可以直接利用公式进行求解．方法2割补法求体积[例2]如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为____．[方法技巧]把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．[针对训练]1.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为

(

)3．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．[方法技巧]通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：(1)求几何体的表面积或侧面积；(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．不能选取恰当的自变量求解最值、范围问题——————————————————————————————————解决立体几何中的表面积、体积的最值与范围问题，关键是找到变量，列出关系式，然后利用函数、基本不等式、导数等方法求出其最值或范围，有的几何体也可根据其结构特征，先确定表面积及体积的表达式中的常量与变量，然后利用几何知识判断变量什么情况下取得最值，从而确定表面积与体积的最值．2．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．2.(混淆几何体的表面积与侧面积)如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为

(

)3．(几何体形状不确定时，忽视分类讨论致误)圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．二、融会贯通应用创新题5.(跨学科综合命题)六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分