第六节　空间向量与空间角、距离问题

第六节空间向量与空间角、距离问题1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的作用.1．空间向量与空间角2.空间向量与距离(1)最小角定理cosθ＝cosθ1cosθ2如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.(2)线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.(3)平面与平面所成的角和二面角的概念不同．3．(人教A版选择性必修第一册P44·T15改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为________.重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)直线与平面所成的角

[典例]

(2021·深圳二模)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，DC＝2，AA1＝3，AB＝BC＝AD＝1，点E和F分别在侧棱AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1.(1)求证：BC∥平面D1EF；(2)求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值．[方法技巧]利用空间向量求线面角的解题模型[针对训练](2021·南平二模)如图，已知四边形ACDE为菱形，∠CDE＝60°，AC⊥BC，F是DE的中点，平面ABC∩平面BDE＝l.(1)证明：l⊥平面BCF；(2)若平面ABC⊥平面ACDE，AC＝BC＝2，求AE与平面BDE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为四边形ACDE为菱形，∠CDE＝60°，所以△CDE是等边三角形，因为F是DE的中点，所以AC⊥CF，又AC⊥BC，CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，所以AC⊥平面BCF.又菱形ACDE中，ED∥AC，AC⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，所以AC∥平面BDE.而AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面BDE＝l，得l∥AC.因此l⊥平面BCF.[方法技巧]1．利用向量法解二面角问题的策略找法向量法分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小找与棱垂直的方向向量法分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小2.两个平面夹角的向量求法设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角，用坐标法解题的步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2；[针对训练]1.如图所示，AB为圆锥S-ABC底面圆的直径，点C为底面半圆弧AB上不与A，B重合的一点，设点D为劣弧BC的中点．(1)求证：BC⊥SD；(2)设AB＝2，且圆锥的高为3，当∠BAC＝60°时，求二面角A-SC-B的余弦值．解：(1)证明：取AB的中点O，连接SO，OD，则SO⊥平面ABC，且OD垂直平分BC，所以SO⊥BC，BC⊥OD，又因为SO∩OD＝O，SO⊂平面SOD，OD⊂平面SOD，所以BC⊥平面SOD，因为SD⊂平面SOD，所以BC⊥SD.2．(2022·滨州一模)如图1所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形．过点A的平面与棱BB1，CC1，DD1分别相交于E，F，G三点，且CF＝3，DG＝2.(1)求BE的长；(2)若平行六面体ABCD-A1B1C1D1是侧棱长为6的直四棱柱(如图2)，求平面ABCD与平面AED1所成锐二面角的余弦值．解：(1)如图，过点G作GH平行于DC，与棱CC1相交于点H，则四边形GHCD为平行四边形，所以CH＝2，GH＝DC，GH∥DC，又AB＝DC，AB∥DC，所以GH＝AB，GH∥AB，则四边形ABHG为平行四边形，所以AG∥BH.又因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面AEFG∩平面BCC1B1＝EF，平面AEFG∩平面ADD1A1＝AG，所以AG∥EF，所以BH∥EF，又BE∥HF，所以四边形BEFH为平行四边形，则BE＝HF＝1.[解]

(1)取AB的中点M，连接DM，作EF∥BC交PB于点F，连接MF，则四边形DMFE即为所求．如图所示．[方法技巧]点面距的求解步骤(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．

[针对训练]如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．给出空间角求其他空间角时无法利用条件在一些题目中，经常出现给出线面角(或平面与平面的夹角)，然后求其他空间角的情形，但在解题过程中，不会使用给出的角求题目中的未知量．——————————————————————————————————[解]

(1)证明：因为平面MAB⊥平面ABCD，平面MAB∩平面ABCD＝AB，DA⊥AB，所以DA⊥平面MAB，又MB⊂平面MAB，所以DA⊥MB.由题可知MB⊥MA，因为MA∩DA＝A，所以MB⊥平面MAD.在给出的条件中，若含有线面角(或平面与平面的夹角)，可以采取几何法或者向量法建立题干中量与量之间的关系，然后利用向量法求空间角．

细微点——优化完善(扫盲点)1．(忽略异面直线所成角与向量夹角的关系)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为

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)3．(创新考查角度)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为27π，△A1DB与△A1DC1的重心分别为E，F.球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截得的弦长为

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)4．(忽略二面角的取值范围)已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则二面角B-PC-D的余弦值为__