第57课　平面与平面垂直

6.4平面与平面的位置关系6.4.3平面与平面垂直第六单元

立体几何情境引入概念形成例题分析巩固练习小结作业情境引入

如图6-57,建筑工人在砌墙的时候,经常会悬挂一根铅垂线,这根铅垂线有什么用呢?为什么在砌墙的时候要沿着这根铅垂线的方向砌呢?

平面与平面垂直情境引入

悬挂的重物因为自身受重力影响而竖直向下,所以铅垂线的方向其实就是地球重力的方向,也就说铅垂线与地面垂直.因为铅垂线与地面垂直,所以沿着铅垂线方向砌墙可以保证墙体与地面垂直.

分

析

理

解概念形成

平面内的一条直线把一个平面分成了两部分,每一部分叫作一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.

平面与平面垂直概念形成

一般地,如果两个相交平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.

平面与平面垂直上述例子中墙面与地面相交,它们所成的二面角是直二面角,所以我们常说墙面直立于地面上.如图6-58,画两个相互垂直的平面时,通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.概念形成

工人砌墙的时候沿着铅垂线砌墙,这样就保证了墙面和地面垂直,这实际上用到了平面与平面垂直的判定定理.

平面与平面垂直

如图6-58,平面与平面垂直的判定定理可以用数学语言表示:

a⊥α,a⊂β⇒β⊥α.

定理如果一个平面经过另外一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.概念形成

如果两个平面垂直,一个平面内的哪些直线会垂直于另外一个平面呢?

平面与平面垂直

如图6-58,平面与平面垂直的性质定理可以用数学语言表示:

α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α

定理如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另外一个平面.一般地,我们有下面的平面与平面垂直的性质定理.例题分析例1如图6-59,AB是⊙O的直径,PA⊥平面ABC,C是⊙O上任一点,找出图中互相垂直的平面.【分析】先找到与平面垂直的直线,然后根据平面与平面垂直的判定定理来找出相互垂直的平面.解∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC.又∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.又∵BC⊂平面PBC,∴由平面与平面垂直的判定定理得平PBC⊥平面PAC.∵PA⊥平面ABC,PA⊂平面PAC,PA⊂平面PAB,∴平面PAC⊥平面ABC,平面PAB⊥平面ABC.∴相互垂直的平面有三对,平面PAC⊥平面ABC,平面PAB⊥平面ABC,平面PBC⊥平面PAC.例题分析例2

如图6-60,平面α⊥平β,α∩β=l,直线a⊄β,且a⊥α.求证:a∥β.【分析】要证明直线a与平面β平行,只需要在平面β内找到一条直线与直线a平行即可.证明：

在平面β内作直线b⊥l.∵平面α⊥平面β,α∩β=l,∴由平面与平面垂直的性质定理得b⊥α.又∵a⊥α,所以a∥b.又∵a⊄β,b⊂β,∴

a

∥

β.巩固练习1.下列说法正确的是().

A.经过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

B.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直

C.若两平面垂直,则一个平面内的所有直线与另外平面必垂直

D.若两平面垂直,过一个平面内任意点作交线的垂线与另外平面必2.如果两个平面都与第三个平面垂直,那么这两个平面的位置关系是().

A.相交B.平行C.垂直D.平行或相交巩固练习3.如果一个平面过一个平面的一条_________,那么这两个平面垂直.4.已知直二面角α-l-β内一点P到α,β的距离分别是3和4,则点P到棱l的距离是_______.5.已知正方形ABCD的边长为1,现沿着对角线AC将其折成一个直二面角,求此时BD的长.①理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的概念、面面垂直的判定定理和性质定理。②初步学会用定理证明垂直关系；熟悉线面垂直的转化。2.过程与方法3.情感、态度与价值观①通过引导学生在观察