《全等三角形》全章复习与巩固义2

学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型TCT授课日期及时段教学内容全等三角形全章复习与稳固【知识网络】【要点梳理】一般三角形直角三角形判定边角边〔SAS〕角边角〔ASA〕角角边〔AAS〕边边边〔SSS〕两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理〔HL〕性质对应边相等，对应角相等〔其他对应元素也相等，如对应边上的高相等〕备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点一、全等三角形的判定与性质

要点二、全等三角形的证明思路要点三、角平分线的性质

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的根底，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角〔等角〕的余角〔补角〕相等.(5)对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系〔平行、垂直〕的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:〔1〕直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.〔2〕如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，那么应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.〔3〕如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、全等三角形的性质和判定 1、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明〔说明：结论中不得含有未标识的字母〕；

(2)证明：DC⊥BE.

【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.【答案与解析】解：〔1〕△ABE≌△ACD

证明：∠BAC＝∠EAD＝90°

∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE

即∠BAE＝∠CAD

又AB＝AC，AE＝AD，

△ABE≌△ACD〔SAS〕

〔2〕由〔1〕得∠BEA＝∠CDA,

又∠COE＝∠AOD

∠BEA＋∠COE＝∠CDA＋∠AOD＝90°

那么有∠DCE＝180°－90°＝90°，

所以DC⊥BE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待△ABE与△ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90°得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90°，即DC⊥BE.举一反三：【变式】如图，：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.【答案】证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，∴△DAB≌△EAC〔ASA〕∴BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：2、如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.【思路点拨】∠B与∠D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC与△CDA中∴△ABC≌△CDA〔ASA〕∴∠B＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，那么连接对角线BD.举一反三：【变式】在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C【答案】证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：3、己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜【答案与解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，∵AD为中线，∴BD＝CD在△ADC与△EDB中∴△ADC≌△EDB〔SAS〕∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.举一反三：【变式】假设三角形的两边长分别为5和7,那么第三边的中线长的取值范围是()A.1＜＜6B.5＜＜7C.2＜【答案】A；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以选A选项.1、，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BE＋CF＞EF；证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG∵D是BC中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF〔SAS〕∴EG＝EF在△FDC与△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法〔或倍长过中点的线段〕.举一反三：【变式】：如下图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，∴△AEC≌△BEF〔SAS〕．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．〔全等三角形对应边、角相等〕又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，∴△FCB≌△DCB〔SAS〕．∴CF＝CD．即CD＝2CE．(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：4、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C【答案与解析】证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.在△ADC与△ADE中∴△ADC≌△ADE〔SAS〕∴∠AED＝∠C∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.2、：如下图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．【答案与解析】证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED与△ACD中，∴△AED≌△ACD〔SAS〕．∴ED＝CD．∴∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵∠C＝2∠B∴∠AED＝2∠B．由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB，∴2∠B＝∠B＋∠EDB．∴∠B＝∠EDB．∴BE＝ED．即BE＝CD．∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)．【总结升华】此题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题．举一反三：【变式】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)假设∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：〔1〕在AB上取一点M,使得AM＝AH,连接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,∴∠AHD＋∠B＝180.即∠B与∠AHD互补.〔2〕由〔1〕∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：5、如下图，△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这说明只要证明ME＝MC，那么结论成立．【答案与解析】证明：∵AB＞AC，那么在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE〔三角形两边之差小于第三边〕．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME〔SAS〕．∴MC＝ME〔全等三角形的对应边相等〕．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.3、如下图，△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这说明只要证明ME＝MC，那么结论成立．【答案与解析】证明：因为AB＞AC，那么在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE〔三角形两边之差小于第三边〕．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME〔SAS〕．∴MC＝ME〔全等三角形的对应边相等〕．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC【答案】证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD在△AED与△ACD中∴△AED≌△ADC〔SAS〕∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC〔5〕.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如下图，E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．【思路点拨】四边形ABCD为正方形，那么∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．【答案与解析】证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF与Rt△ECF中，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代换)．【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.5、如下图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，，求证：BD是∠ABC的平分线．【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC〔对顶角相等〕，

∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA〕．

那么AF=BD〔全等三角形对应边相等〕．

∵AE=BD，∴AE=AF，

即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中，

那么Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS〕．

所以∠ABE=∠FBE〔全等三角形对应角相等〕，

即BD是∠ABC的平分线．【总结升华】如果由题目无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法类型三、全等三角形动态型问题6、如图〔1〕，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点．且BC＝DE，CD＝AB．〔1〕试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；〔2〕如图〔2〕，假设把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第〔1〕问中AC与BE的位置关系还成立吗？〔注意字母的变化〕【答案与解析】证明：〔1〕AC⊥CE．理由如下：在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE〔SAS〕．∴∠ACB＝∠E．又∵∠E＋∠ECD＝90°，∴∠ACB＋∠ECD＝90°．∴AC⊥CE．〔2〕∵△ABC各顶点的位置没动，在△CDE平移过程中，一直还有，BC＝DE，∠ABC＝∠EDC＝90°，∴也一直有△ABC≌△(SAS)．∴∠ACB＝∠E．而∠E＋∠＝90°，∴∠ACB＋∠＝90°．故有AC⊥，即AC与BE的位置关系仍成立．【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件〔此题中的两三角形全等〕变还是没变．本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变．举一反三：【变式】如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．假设将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?

【答案】证明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，即∠BCE＝∠ACD在△ADC与△BEC中∴△ADC≌△BEC(SAS)∴BE＝AD．假设将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等，因为还是可以通过SAS证明△ADC≌△BEC.6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线经过顶点C，过A，B两点分别作的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.〔1〕如图1当直线不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.〔2〕将直线绕点C顺时针旋转，使与底边AB相交于点D，请你探究直线在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案与解析】证明：〔1〕∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF〔AAS〕∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。〔2〕①EF＝AE－BF，理由如下：∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3。∵在△ACE和△CBF中∴△ACE≌△CBF〔AAS〕∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE证明同①.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：【变式】：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．〔1〕当点D在线段BC上时〔与点B不重合〕，如图1，求证：CF＝BD〔2〕当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第〔1〕问中的结论是否仍然成立，并说明理由.【答案】证明：〔1〕∵正方形ADEF∴AD＝AF，∠DAF＝90°∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF〔SAS〕∴BD＝CF〔2〕当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BD＝CF此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAF在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF〔SAS〕∴BD＝CF【稳固练习一】1.如下图，假设△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，那么EC的长为〔B〕A.2B.3C.5D.【解析】根据全等三角形对应边相等，EC＝AC－AE＝5－2＝3在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是〔A〕

A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°3.如图，△ABC≌△AEF，假设∠ABC和∠AEF是对应角，那么∠EAC等于〔C〕A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC【解析】∠EAF＝∠BAC，∠EAC＝∠EAF－∠CAF＝∠BAC－∠CAF＝∠BAF4.在以下结论中,正确的选项是(D) C.一角对应相等的两个直角三角形全等 【解析】A项应为全等三角形对应边上的高相等；B项如果腰不相等不能证明全等；C项直角三角形至少要有一边相等5.如图，点C、D分别在∠AOB的边OA、OB上，假设在线段CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，那么P点是〔D〕．A.线段CD的中点B.OA与OB的中垂线的交点C.OA与CD的中垂线的交点D.CD与∠AOB的平分线的交点【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等6．在△ABC与△DEF中，给出以下四组条件：〔1〕AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；〔2〕AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；〔3〕∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；〔4〕AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有〔C〕组．A．1组B．2组C．3组D．4组【解析】〔1〕〔2〕〔3〕能使两个三角形全等7.如果两个锐角三角形有两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是〔A〕【解析】高线可以看成为直角三角形的一条直角边，进而用HL定理判定全等△ABC中，∠BAC＝90°AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝2∠C，∠DAE的度数是(D)

A.45°B.20°C.、30°D.15°【解析】由题意可得∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，所以∠DAE＝60°－45°＝15°9.，假设△ABC的面积为10，那么的面积为_____10___，假设的周长为16，那么△ABC的周长为____16____．【解析】全等三角形面积相等，周长相等10.△ABC和△ADC中，以下三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：___①②③_______．11.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，假设AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，那么的面积为_8___．

【解析】，h＝4，以下说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS〞来判定全等，那么一定也可以依据“ASA〞来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的选项是___①③__.【解析】②不正确是因为存在两个全等的三角形与某一个三角形不全等的情况13.如右图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．假设AB＝，CD＝，那么△ADB的面积为______________．【解析】由角平分线的性质，D点到AB的距离等于CD＝，所以△ADB的面积为.14．如图，AB⊥BD,AB∥ED，AB＝ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，假设以“SAS〞为依据，还要添加的条件为______BC＝DC________；假设添加条件AC＝EC，那么可以用____HL___公理〔或定理〕判定全等.15.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，那么∠ABC＝__45°______.【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.假设AB＝20cm，那么△DBE的周长为___20cm__.【解析】BC＝AC＝AE，△DBE的周长等于AB17.：如图，CB＝DE，∠B＝∠E，∠BAE＝∠CAD．求证：∠ACD＝∠ADC．【解析】证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE∠CAE＝∠CAD∠CAE，即∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED．〔AAS〕∴AC＝AD．∴∠ACD＝∠ADC．18．：△ABC中，AC⊥BC，CE⊥AB于E，AF平分∠CAB交CE于F，过F作FD∥BC交AB于D．求证：AC＝AD【解析】证明：∵AC⊥BC，CE⊥AB∴∠CAB＋∠1＝∠CAB＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3又∵FD∥BC∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2在△CAF与△DAF中∴△CAF与△DAF〔AAS〕∴AC＝AD.19.：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD．求证：BE=CF．【解析】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，〔〕∴DE=DF〔角平分线上的点到角两边距离相等〕又∵BD=CD∴△BDE≌△CDF〔HL〕∴BE=CF如下图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB．

【解析】证明：如下图，过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，

垂足分别为E、F．

∵∠2＋∠1＝180°，

又∵∠2＋∠PBO＝180°，

∴∠1＝∠PBO．

在△AEP和△BFP中，

∴△AEP≌△BFP〔AAS〕．

∴PE＝PF〔全等三角形对应边相等〕．

∴OP平分∠AOB〔到角两边距离相等的点在这个角的平分线上〕．【稳固练习二】1.以下命题中,错误的命题是(B)【解析】B项如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，那么虽然有两边和第三边上的高对应相等，但是不全等2.如图,在∠AOB的两边上截取AO＝BO,CO＝DO,连结AD、BC交于点P.那么以下结论正确的选项是(D)①△AOD≌△BOC；②△APC≌△BPD；③点P在∠AOB的平分线上A.只有① B.只有② C.只有①② D.①②③【解析】可由SAS证①，由①和AAS证②，SSS证③3.如图,AB∥CD,AC∥BD,AD与BC交于O,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,那么图中全等的三角形有(C)A.5对 B.6对 C.7对 D.8对4．如图，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，∠1＝∠2，D为AC上一点，AD＝AB，那么〔B〕．A．∠1＝∠EFDB．FD∥BCC．BF＝DF＝CDD．BE＝EC【解析】证△ADF≌△ABF，那么∠ABF＝∠ADF＝∠ACB，所以FD∥BC5.如图，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，那么∠B等于〔B〕A.20°B.30°C.40°D.150°【解析】∠C＝∠E，∠B＝∠FDE＝180°－110°－40°＝30°6.根据以下条件能画出唯一确定的△ABC的是〔C〕A.AB＝3，BC＝4，AC＝8B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D.∠C＝90°，AB＝AC＝6【解析】A项构不成三角形，B项是SSA，D项斜边和直角边一样长，是不可能的7.如图，AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有〔D〕A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是〔A〕A．50B．62C．65D．68【解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，故S=〔6+4〕×16-3×4-6×3=509.在平面直角坐标系中，点A〔1，2〕，B〔5，5〕，C〔5，2〕，存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标〔1，5〕或〔1，－1〕或〔5，－1〕．10.如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，那么∠ABC＝___45°_____.【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC，BD＝AD在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.假设AB＝20cm，那么△DBE的周长为__20cm_.【解析】BC＝AC＝AE，△DBE的周长等于AB，那么点D到AB边的距离是_______.【解析】AD是∠BAC的平分线，点D到AB的距离等于DC13.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，假设点O到三角形三边的距离相等，那么∠AOC＝___135°______.【解析】点O为角平分线的交点，∠AOC＝180°－〔∠BAC＋∠BCA〕＝135°14.如图，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE.假设AB＝2，CD＝6，那么AE＝____4___.【解析】证△ABC≌△CED△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC平分线，交BC于点D，且DC：DB＝3:5，那么点D到BA的距离是__15_____.【解析】作DE⊥AB于E，那么DE＝CD16.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4，CE＝2，那么BD＝___6cm____.【解析】∠CAE＝∠ABD，△ABD≌△CAE17．如下图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线