专题07 函数的应用（二）【解析版】

专题07函数的应用（二）专题07函数的应用（二）(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点二、函数零点的判定定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)＜0三、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．四、判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．五、有关函数零点的三个结论(1)若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．六、指数函数模型的应用f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)对数函数模型的应用f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)函数模型的应用题型01：求函数的零点【典例1】（2023上·浙江温州·高一浙江省平阳中学校联考期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，则，解得，故函数，则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.故选：D.【典例2】（2023上·吉林长春·高一汽车区第三中学校考期中）已知的零点为1和3，则．【答案】【分析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】因为的零点为1和3，即的两根为1和3，所以，解得，所以，故答案为：【规律方法】函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．题型02：根据函数零点求解析式中的参数【典例3】（2023下·湖南株洲·高一统考期中）已知函数的零点是2，则【答案】3【分析】由列式求解．【详解】由题意得，解得，故答案为：3【典例4】（2022上·广东佛山·高一校联考期中）已知二次函数有两个零点和1，且有最小值.则的解析式为.【答案】【分析】根据待定系数法可求出结果.【详解】因为二次函数有两个零点和1，所以可设，又因为有最小值，所以，因为，所以，所以，.故答案为：题型03：根据函数零点判断函数值的符号【典例5】（2021上·河南濮阳·高一统考期末）已知是函数的零点，若，则（

）A． B．C． D．的符号不确定【答案】B【解析】根据题意判断得函数的定义域，分析函数的单调性，由函数零点的定义可得，利用单调性即可判断出.【详解】函数的定义域为，已知函数，，在上是减函数，所以可判断函数在上是减函数，又因为是函数的零点，即，根据单调性可得，当，.故选：B.【典例6】（2018上·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知是函数的一个零点，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得出，分析出函数的单调性，进而可判断出、的符号.【详解】由于函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，因为，，，.故选：B.题型04：零点存在性定理的应用【典例7】（2023上·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y以下说法中错误的是（

）A． B．当时，C．函数有且仅有一个零点 D．函数可能无零点【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确；对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确；对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确；对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误，故选：D.【典例8】（2023上·山东日照·高一统考期中）已知函数的图象在区间上连续不断，则“”是“在上存在零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据“”和“在上存在零点”的互相推出关系进行判断属于何种条件.【详解】当在上存在零点时，不一定能得到，例如，此时的零点为，但，所以必要性不满足；当时，若三个值中存在，则在上显然存在零点，若三个值均不为，不妨假设，因为，所以，取等号时不满足条件，所以，则，根据零点的存在性定理可知在上存在零点，所以充分性满足；所以“”是“在上存在零点”的充分不必要条件，故选：A.题型05：根据零点所在区间求参数【典例9】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可.【详解】若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选：A.【典例10】（2022上·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）函数在上存在零点，则的取值范围是．【答案】【分析】首先判断函数的单调性，在根据零点情况，结合端点值的正负，列式求实数的取值范围.【详解】为增函数减函数=增函数，若函数在上存在零点，则且，解得：.故答案为：【规律方法】利用零点存在性定理，结合给定区间建立不等式．题型06：根据零点个数求参数范围【典例11】（2023下·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据的范围，又即可将问题转化为，共有四个零点，结合函数的图像即可求解.【详解】当时，则，此时，则或，当时，则，此时，则，故问题转为，共有四个零点，画出函数图像如下可知：则，故答案为：【典例12】（2022上·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）已知点的坐标分别为，，若二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】结合零点存在定理以及判别式，分成两种情况进行讨论：①当二次函数与轴有两个交点时；②当二次函数与轴仅有一个交点时.【详解】①当二次函数与轴有两个交点时，如图1，因为二次函数的图像与线段有且只有一个公共点，的坐标分别为，，所以，解得.由，得，此时，符合题意.由，得，此时，不符合题意.所以.②当二次函数与轴仅有一个交点时，如图2，令，由得，当时，，不合题意；当时，，符合题意.综上，的取值范围是或.故答案为：或.【规律方法】已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．题型07：根据一次函数零点分布求参数范围【典例13】（2020·高一课时练习）已知函数在区间上存在零点，则（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判断函数在上单调，利用零点存在性定理即可求解.【详解】∵在区间上单调且存在零点，∴，∴或．故选：C【典例14】（2020上·高一课时练习）若方程的根在内，则的取值范围是．【答案】【分析】设，利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设，则，解得：，即的取值范围为.故答案为：.【总结提升】利用零点存在定理构造不等式.题型08：根据二次函数零点分布求参数范围【典例15】（2023上·北京石景山·高一校考期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.【详解】设，根据已知结合二次函数性质，作图则有，解得.故选：C.【典例16】【多选题】（2023上·山东德州·高一统考期中）已知函数在有两个不同的零点，则可以为（

）A． B．3 C． D．4【答案】BD【分析】根据将原函数零点问题，转化为在只有一解，利用幂函数性质求解范围即可判断.【详解】因为，所以为函数的零点，所以函数在只有一个零点，且，则即在只有一解，因为，所以，对照选项，，，故只有选项BD符合题意.故选：BD【总结提升】结合二次函数的开口方向、对称轴、单调性等，利用零点存在定理构造不等式.题型09：根据幂、指数、对数函数零点分布求参数（范围）【典例17】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案.【详解】因为函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数的一个零点在区间内得，解得，故选：A【典例18】（2020上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则.【答案】2【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数在区间内存在零点即可得出结果.【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增，易知，而，所以,根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，所以可得.故答案为：【总结提升】注意结合幂函数、指数函数、对数函数的单调性及图像，依据函数零点存在性定理建立不等式.题型10：函数与方程的综合问题【典例19】（2022下·湖南长沙·高一长郡中学校考开学考试）设函数，若关于x的方程有三个不相等的实数解，则实数t的取值范围是．【答案】【分析】根据函数新定义求出函数解析式，画出函数的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出的范围.【详解】由题意得：，得：，，由，得：，作出函数的图像如图所示，由方程有个不等的根，得函数的图像与直线有个不同交点，所以的取值范围为：.【典例20】（2023上·北京大兴·高一校考期中）已知函数，对于任意正数k，关于x的方程都恰有两个不相等的实数根．（1）请判断是否符合题意：（填“是”或者“否”）；（2）写出a的所有可能取值：．【答案】否1【分析】（1）将有两个不相等的实数根转化为的图象与的图象有两个交点，然后结合图象判断即可；（2）分和两种情况讨论即可.【详解】（1）当时，，图象如下所示：由图可知，当时，有两个不相等的实数根不成立，所以不符合题意；（2）当时，，图象如下所示：所以在单调递减，，单调递增，所以，解得，当时，，图象如下所示：所以在，上单调递减，上单调递增，所以，无解，综上所述，.故答案为：否；1.题型11：求函数零点或方程根的个数【典例21】（2023上·北京·高一北京十四中校考期中）函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令求出方程的解，即可判断.【详解】令，即，解得，所以函数有且仅有一个零点.故选：B【典例22】（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数，当时，方程的根的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.【详解】

设，则，即，故，因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.【规律方法】判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．题型12：判断函数零点所在区间【典例23】（2022上·吉林·高一校考期末）函数的零点一定位于下列哪个区间（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.【详解】在上为单调递增函数，又，故，所以的零点一定在内.故选：B.【典例24】（2023上·北京西城·高一北师大二附中校考期中）函数的零点所在的区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】函数和函数在同一直角坐标系内图象如下图所示：一方面，另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，故选：B题型13：比较函数零点的大小【典例25】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数、、的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解．【详解】解：函数，，的零点，即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，如图所示：由图可得.故选：B【典例26】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的两个零点分别为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据零点的性质，将问题转化为两函数求交点问题，利用指数函数单调性以及对数运算以及单调性，可得答案.【详解】函数的两个零点即函数与的图象的两个交点的横坐标，作出两个函数的图象，如下图：则，，即，，故D错误；由图可知，且，，则，由，，则，即，可得，即，故A、C正确，B错误.故选：AC.题型14：求函数零点的和【典例27】（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（

）A．10 B．18C．22 D．26【答案】B【分析】由题意可知函数关于成轴对称且又关于成中心对称，分别画出函数与函数在同一坐标系下的图象，利用交点坐标关于对称即可求得所有根之和为.【详解】根据题意由可知，函数关于成轴对称，由可知函数关于成中心对称，由可得；分别画出函数与函数的图象如下图所示：显然两函数图象都过，且都关于成中心对称，易知当时，，所以两函数图象在两侧各有4个交点，关于对称的两根之和为4，所以可得所有的根之和为.故选：B【典例28】（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可.【详解】因为为奇函数，所以关于对称，则关于对称，即，当时，，当时，，则，所以，则，因为，则或，解得或，所以.故选：A【总结提升】注意应用函数的奇偶性、单调性、周期性，结合函数的图像判断零点的特征.题型15：嵌套函数零点问题【典例29】（2023上·四川凉山·高一统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.【详解】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.【典例30】（2023上·辽宁大连·高一校联考期中）已知函数，若函数，且函数有5个零点，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】作出函数的图象，函数有5个零点等价于与有两个交点，所以与有三个交点，结合图象求解即可.【详解】解：作出函数的图象如下：，且函数有5个零点等价于有5个解，等价于或共有5个解等价于函数与，共有5个交点，由图可得与有两个交点，所以与有三个交点则直线应位于，之间，或与重合，所以或或故答案为：【总结提升】函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元．(2)充分利用函数的图象与性质．题型16：二分法及其应用【典例31】（2023上·辽宁沈阳·高一辽宁实验中学校考期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（

）次函数值的计算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小，直到符合要求为止．【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：，，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点，即为零点的近似值，即函数的零点，所以至少需进行3次函数值的计算.故选：B.【典例32】（2023上·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点.【答案】【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.【详解】设，则，，∴第一次取区间的中点，，∴，∴的零点所在的区间为，∴第二次取区间的中点，，∴，∴的零点所在的区间为，∴第三次取区间的中点.故答案为：.题型17：指数函数模型的应用【典例33】（2023上·四川成都·高一校考期中）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A时，放电时间为30h；当放电电流为50A时，放电时间为7.5h，则该蓄电池的Peukert常数约为（

）（参考数据：，）【答案】B【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得，两式相除可得，所以，可得.故选：B.【典例34】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为（

）A．16小时 B．24小时 C．36小时 D．72小时【答案】D【分析】根据给定条件求出解析式，再将代入求值即可.【详解】由题设，，所以时，，此时小时.故选：D【总结提升】在函数应用问题考查中，对指数函数、对数函数模型的考查已成为高频热点，既能与现代科技活动、科技成果结合，又能较好的考察学生的运算能力，也能激发学生学习的浓厚兴趣.题型18：对数函数模型的应用【典例35】和小数记录法的数据满足关系式.已知某学生视力用五分记录法记录的数据为4.8，则其视力用小数记录法记录的数据约为（

）（参考数据：）【答案】B【分析】根据表达式，代入，结合指数式与对数式的互化，即可求解.【详解】由题意知：，当时，可得，解得，即，所以其视力的小数记录法的数据约为.故选：B.【典例36】（2023上·上海徐汇·高一统考期末）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据新定义结合对数运算求解即可【详解】由题意可知，故选：C.题型19：函数模型的增长差异【典例37】（2023上·高一课时练习）下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合对数函数，一次函数和指数函数的增长率的快慢，分析可得答案．【详解】函数，函数值随x的增大而减小，当函数值随x的增大而增大时，在对数函数，一次函数和指数函数中，指数函数的增长速度最快，如图所示，即四个函数中，随x的增大而增大且速度最快的是是.故选：A【典例38】（2023上·广东惠州·高一惠州一中校考期中）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：建立平台第年1234会员个数（千人）14202943(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；（2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，进而得到的取值范围，从而得到结果.【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，函数增长的速度越来越快，选择③（且）代入表格中的三个点可得：，解得：，.（2）由（1）可知：，故不等式对恒成立，对恒成立，令，则，，，在单调递增，则，.【总结提升】函数模型的增长规律：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.一、选择题：1．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式可求a的范围.【详解】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得．故选：B.2．（2015·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）设x0是函数的零点，若，则的值满足（

）A． B．C． D．的符号不确定【答案】C【分析】先判断函数是单调减函数，进而可得当时．【详解】∵x0是函数的零点，∴，因为是单调递减函数，是单调递增函数，所以函数是单调减函数，故当时，则，故选：C．3.（2023上·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 C．倍 【答案】A【分析】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值.【详解】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则，上述两个等式作差可得，则，故.故选：A.4.（2023上·内蒙古鄂尔多斯·高一校考期中）研究发现，X射线放射仪在使用时，其发射器发出的射线强度、接收器探测的射线强度与射线穿透的介质厚度（单位：毫米）满足关系式，其中正实数为该种介质的吸收常数．工作人员在测试某X射线放射仪时，向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了90%．现想让接收器探测到的射线强度会比插入金属板前下降%．则需要向发射器与接收器之间插入金属板的厚度至少为（

）A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】D【分析】先根据题意得到，求出，从而得到比插入金属板前下降%时，，得到答案.【详解】向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了%，则，有，接收器探测到的射线强度会比插入金属板前下降%时，，解得.则需要向发射器与接收器之间插入金属板的厚度至少为毫米.故选：D5．（2023上·山东滨州·高一统考期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答.【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，因此函数在上都单调递减，在上最多一个零点，，即有，，则，而，即，所以.故选：A6．（2023上·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考阶段练习）对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据代数式和之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数的解析式，画出函数的图像，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由可得，由可得，所以根据题意得，即，做出函数的图像如图，当时，开口向下，对称轴为，所以当时，函数的最大值