2023年人教版高考数学总复习规范答题系列-数列综合问题

规范答题系列一一数列综合问题

［典例］(12分)(2021•全国乙卷)设瓜｝是首项为1的等比数列，数列｛bj满足b0=等.已知

a”3a2,9a3成等差数列.

⑴求｛4｝和｛bj的通项公式；

S

(2)记出和T”分别为｛aj和｛bj的前n项和.证明：TW”.

♦导引助思•析考题

(1)看到设｛a、｝是首项为1的等比数列，想到设首项，表示其通项；然后根据已知a>3a2,

9a成等差数列，列方程即可求得a“进而得解；

(2)看到证明：T„<|,想到分别求出两个数列之和，进而证得不等式.

【标准答案】(1)因为a“3a2,9a3成等差数列,

所以6a2=ai+9a3,①1分

因为｛a“｝是首项为1的等比数列，设其公比为qf

则6ql+9q，所以q2,................②3分

_n—1

所以a”aQH,...............③4分

所以bn3—n*1g1..................®5分

(2)证明：由(1)知=,b,,=n•(上)1

—31nT

所以S0’22xQI,...................⑤6分

1-3

TklX©1+2x(32+…+为@n,①

所以,2+2X3)3+…+n*(I)n+1

,(2)...........(§)7分

①一②得,

3

所以T三⑦9分

31/1\n

S0X1

-----1-

244\37

s

所以T“〈W................................................⑨12分

♦满分点拨•悟考题

考查知识：主要是等差数列的概念，性质和通项公式等基础知识.

命题探源

核心素养：数学运算，逻辑推理

①准确利用等差数列性质转化条件，得1分；

②求出公比q,得2分.

③写出数列｛aj的通项公式，得1分；

④写出数列｛bj的通项公式，得1分.

⑤求出S”的表达式，得1分.

注意其形式也可以写为出=|(1—.

阅卷现场

⑥写出得1分.若末项写错，不得分.

0

9

⑦求出Tn，得2分；只写出两式之差可心，得1分.

O

⑧作差并准确判断，得2分；差准确，结果判错，只得1分.

⑨写出结论，得1分.不写结论不得分.

错位相减法

1.一般地，若数列｛4｝是等差数列，｛b„｝是等比数列，求数列｛a_bj的

前n项和，则可以采用错位相减法求和.一般是先将和式两边乘以等比数列

满分策略

｛bj的公比，然后作差求解；

2.在写出S.与qS”的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步

准确写出S“一qSn的表达式；

3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和

不等于1两种情况求解.

“跟踪训练

(2021•全国甲卷)已知数列｛aj的各项均为正数，记S.为｛aj的前n项和，从下面①②③中选

取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛aj是等差数列；②数歹U｛的｝是等差数列；

③a?=3a1.

【解析】①③"②

设等差数列｛3｝的公差为d,因为也=3a”所以小+d=3a”

则d=2a”所以Sn=nai+JL_LLL_J_2_d=nai+n(n-=

所以当n22时，y/sn—正二—(n—1)退=y[a],

所以数列h氏｝是首项为丘，公差为岐的等差数列.

②③今①

证明：因为a“〉0,a2=3a,,数列｛次｝是等差数列，

所以数歹U｛小｝的首项为低=«，

公差为小z—=^/ai+&2\/ai=>ai+3al=^/ai,

所以小=y[a[+(n—=n^/a^,S„=ain".

22

当n22时，a„=Sn—Sn-^ain—a,(n—l)=ai(2n—1)；

当n=1时，an=a,(2n—1)也成立.

所以数列｛aj的通项公式是a„=a|(2n-l),

公差为an+i—a„=ai(2n+l)—a,(2n—1)=2a]

所以数列｛%｝是公差为2a,的等差数列.

①②今③

证明：设数列｛aj的公差为d,因为｛aj的各项均为正.

n(口_])d

=

所以dN0,an=a1+(n-1)d,Srina]+,

因为数歹(J｛低｝是等差数列，所以小+低=2低.

此式两边平方得2，S|S3—4S2—S)—S3,

将Si=a”S2=2a,+d,S3=3a1+3d代入得

2、ai(3ai+3d)=4(2ai+