专题11.10角平分线模型经典问题特色训练（重难点培优）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（解析版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题11.10角平分线模型经典问题特色训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（）A．50° B．45° C．65° D．70°【答案】A【分析】先利用角平分线的性质在△DCB中求出∠EBC+∠FCB、∠ABC+∠ACB，再在△ABC中求出∠A．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠EBC=12∠ABC，∠BCF=1∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，∴∠EBC+∠FCB＝65°．∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠A＝50°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的性质是解决本题的关键．2．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°．3．如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】首先利用平行线的性质求出∠ABD的度数，接着利用角平分线的性质求出∠ABC，最后利用三角形的内角和求出∠A的度数．【解答】解：∵DE∥AB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，而BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，同时也利用了角平分线的性质，比较简单．4．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ACB．其中结论正确的序号为（）A．③④ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本题首先根据角平分线的定义，以及BC⊥BD可得∠CBE＝∠ABC．再根据角平分线和AF∥CD，可得∠ABC＝∠BCE＝∠ACB．再根据外角等于不相邻的两个内角的和可得所有结论．【解答】解：∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ACB＝∠BCE，∠EBD＝∠FBD，又∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠BCE∴∠ABC＝∠BCE＝∠ACB，∵BC⊥BD，∴∠CBE+∠EBD＝90°，∠FBD+∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠ABC，∴CB平分∠ABE，故①正确．又∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CBE，∴AC∥BE，故②正确．∵BC⊥BD在Rt△BCD中，∠BCD+∠D＝90°，故③正确．∵∠DEB是△BCE的外角，∴∠DEB＝∠BCE+∠CBE＝2∠ACB，故④正确．故选：D．【点评】解题的关键是注意平行线的性质，角平分线的定义以及外角的定理的综合应用．5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（）A．116° B．100° C．128° D．120°【答案】C【分析】根据折叠可知，∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，再利用平角为180°，三角形内角和180°，推出∠1+∠2＝2∠A，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出∠A，再求出结果即可．【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠，∴△AED≌△A′ED，∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED）＝2∠A，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=1∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°，∴∠A＝180°﹣116°＝64°，∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质，折叠变换等知识，关键在于能够正确添加辅助线，灵活运用所学知识．6．如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A'处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，则∠A'FC为（）A．125° B．130° C．135° D．140°【答案】D【分析】根据角平分线的定义，三角形外角的性质得到∠P=12∠A，求出∠A，则∠A′FC＝∠1+∠A＝∠A′+∠A′EB+∠【解答】解：如图，∵BP、CP分别是∠ABD、∠ACD的平分线，∴∠PBD=12∠ABD，∠BCP=1∴∠P＝∠PBD﹣∠BCP=12（∠ABD﹣∠BCA）=1∴∠A＝2∠P＝60°，∴∠A′＝∠A＝60°，∴∠AGF＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠AGF＝60°+80°＝140°．故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质以及角平分线的定义，灵活运用三角形的外角性质是解题关键．7．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M、N的运动过程中，∠F的度数（）A．变大 B．变小 C．等于45° D．等于30°【答案】D【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分线，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，从而得到∠F=12∠【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵ME平分∠AMN，FN平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理的综合运用．属于常考题．8．如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（）A．22° B．27° C．30° D．37°【答案】B【分析】先依据三角形外角与内角的关系求出∠ACB，再有角平分线性质求出∠ACD，再由垂直、对顶角关系、三角形内角和定理即可求出∠N的度数．【解答】解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB=12∠∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD=12∠ACB=12（96°﹣∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA与∠COM互为对顶角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角与内角的关系，角平分线的性质，对顶角，做题的关键是掌握三角形的内角和定理、三角形外角与内角的关系、角平分线的性质、对顶角的定义．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B＝40°，∠ACE＝72，则∠E的度数为（）A．68° B．56° C．34° D．32°【答案】C【分析】由∠B＝40°，∠ACE＝72°，根据三角形外角的性质得出∠BAC，再根据AD平分∠BAC得出∠DAC的度数，再根据三角形外角的性质求出∠ADC的度数，最后在Rt△DEF中求出∠E的度数．【解答】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE＝∠B+∠BAC，∵∠B＝40°，∠ACE＝72°，∴∠BAC＝32°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC＝∵∠ACE是△ADC的外角，∴∠ACE＝∠ADC+∠DCA，∴∠ADC＝∠ACE﹣∠DCA＝72°﹣16°＝56°，∵EF⊥AD，∴∠EFD＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝34°．故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的概念与性质是解题的关键．10．如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（）A．30° B．35° C．20° D．25°【答案】A【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通过角平分线的定义得结论．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分别是∠CBA、∠BCA的平分线，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．二．填空题（共6小题）11．在如图所示的△ABC纸片中，点E是边AB的中点，点F是边BC上任意一点，现将△BEF沿EF折叠，得到△B′EF，折痕EF与△ABC的角平分线BD相交于点O，连接CB′，当线段EB′与CB′的长度和最小时，∠EOB＝100°，则此时∠B′CB＝20°．【答案】20．【分析】当E、B'、C三点共线时，线段EB′与CB′的长度和最小，设CE、BD交于点P，设∠ABD＝∠CBD＝α，则∠BEO＝∠B'EO＝80°﹣α，利用翻折及外角可得∠BPC160°﹣α，再利用三角形的内角和即可得出结果．【解答】解：当E、B'、C三点共线时，线段EB′与CB′的长度和最小，设CE、BD交于点P，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，设∠ABD＝∠CBD＝α，∵∠EOB＝100°，∴∠BEO＝∠B'EO＝80°﹣α，∴∠EBB'＝2（80°﹣α）＝160°﹣2α，∴∠BPC＝∠BEB'+∠EBP＝160°﹣2α+α＝160°﹣α，∴∠B'CB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBD＝180°﹣（160°﹣α）﹣α＝20°，故答案为：20．【点评】本题主要考查了三角形的内角和以及外角性质，找到∠BPC是△EBP的外角是解决本题的关键．12．如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°，则∠BOC＝120°．【答案】120°．【分析】由三角形的内角和可求得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义可得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，则可求得∠CBO+∠BCO＝60°，再利用三角形的内角和可得∠【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵△ABC的角平分线BD、CE交于点O，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=1∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°，∴∠BOC＝120°．故答案为：120°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．13．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB，若∠BGE＝98°，则∠ADE的度数为16°．【答案】16°．【分析】根据平行线的性质得出∠B＝180°﹣∠BGE，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，然后由等边对等角以及三角形内角和定理求出∠A，∠CEG，再根据角平分线定义以及等量代换得出∠ADE．【解答】解：∵EG∥AB，∠BGE＝98°，∴∠B＝180°﹣∠BGE＝82°，∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝82°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝16°，∴∠CEG＝∠A＝16°，∵EG平分∠CED，∴∠GED＝∠CEG＝16°，∴∠ADE＝∠GED＝16°，故答案为：16°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，属于基础题，掌握各定义与性质是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，∠BDC的平分线交BC于点E，点F在边AB上，BE＝BF，连接EF，则12∠AFE+∠BDE＝90°【答案】90°．【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC＝∴∠BDC＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵ED平分∠BDC，∴∠BDE=12∠BDC＝∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF=180°-30°2∴∠AFE＝180°﹣75°＝105°，∴12∠AFE+∠BDE＝52.5°+37.5°＝90故答案为：90°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，若∠B＝70°，∠C＝40°，则∠DAE的度数为15°．【答案】15°．【分析】由三角形内角和定理，结合题干信息，运用合理的逻辑推理即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝70°，∵AD是BC边上的高，∴∠CAD＝50°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE=12∠BAC＝∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线定义，熟知三角形内角和为180°是解题关键．16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝α2．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝α2【答案】见试题解答内容【分析】根据三角形的外角定理可知∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线定义得∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，代入∠ACD＝∠A+∠ABC中，与∠A1CD＝∠A1+∠A1BC比较，可得∠A1=∠A【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD=12∠A+∠A1∴∠A1=∠A由此可得∠A2010=α2故答案为：α2，α【点评】本题考查了三角形外角和定理的运用．关键是根据外角和定理，角平分线的定义，列方程变形，得出一般规律．三．解答题（共7小题）17．【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P=12∠【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．【答案】（1）说明见解析；（2）∠P的大小不变，仍为45°，理由见解析；（3）22.5°或67.5°．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠A，再根据角平分线的定义∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC进行等量代换即可；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠O，再根据角平分线的定义∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO进行等量代换即可；（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠AOB，再根据角平分线的定义∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO进行等量代换即可；【解答】解：（1）如图1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP=12∠ACD，∠2=∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴12∠ABC+∠180°-∠∴∠P=（2）∠P的大小不变，理由如下：如图2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=（3）∠P＝22.5°或67.5°，分两种情况：①如图3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=②如图4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的相互关系．18．如图，已知∠AOB＝n，P，Q两点分别是OA、OB上的两动点，QD，PE分别平分∠PQO和∠APQ，射线PE的反向延长线与射线QD相交于点D．​（1）如图1，若n＝60°，求∠EDQ的度数；（2）如图2，作∠PQB的角平分线QE交射线PE于点E，求∠PEQ的度数；（3）如图3，M、N为线段PE和EQ上的两定点，若将△MNE沿MN翻折，点E对应点E'在△PEQ的内部，且满足∠E'PQ=-13∠EPQ，∠E'QP=13∠EQP，请求出∠PE'Q【答案】（1）当n＝60°时，∠EDQ＝30°；（2）∠PEQ＝90°-12（3）6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°．【分析】（1）设∠APE＝x，∠PQD＝y，根据∠APQ是△POQ的外角得∠APQ＝∠AOB+∠PQO；又因为∠APE是△PQD的外角得到∠APE＝∠PQD+∠EDQ，进而推出结论；（2）根据）∠APQ、∠PQB均为△POQ的外角，可得∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n，再由PE平分∠APQ，∠PQB的角平分线QE，所以∠PEQ＝180°-12∠APQ-1（3）设∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β，由内角和定理∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，则α+β＝180°﹣∠PE′Q；同理∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，得到∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β），从而∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°；根据三角形内角和定理和折叠的性质以及邻补角的定义可得∠PEQ=12（∠1+∠2），由内角和定理∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝【解答】解：（1）设∠APE＝x，∠PQD＝y，∵PE、DQ分别平分∠APQ、∠PQD，∴∠APE＝∠EPQ＝x，∠PQD＝∠OQD＝y，∵∠APQ是△POQ的外角，∴∠APQ＝∠AOB+∠PQO，∵∠AOB＝n，即2y＝n+2x，∴y﹣x=12又∵∠APE是△PQD的外角，∴∠APE＝∠PQD+∠EDQ，即y﹣x＝∠EDQ，∴∠EDQ=12当n＝60°时，∠EDQ＝30°；（2）∵∠APQ、∠PQB均为△POQ的外角，∴∠APQ＝∠AOB+∠POQ，∠PQB＝∠AOB+∠QPO，∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+∠POQ+∠AOB+∠QPO，∵∠POQ+∠AOB+∠QPO＝180°，∴∠PQB+∠APQ＝∠AOB+180°＝180°+n，∵PE平分∠APQ，∠PQB的角平分线QE，∴∠EPQ=12∠∠EQP=12∠∵∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP，∴∠PEQ＝180°-12∠APQ-＝180°-12（180°+即∠PEQ＝90°-12（3）设∠E′PQ＝α，∠E′QP＝β，∵∠E'PQ=13∠EPQ，∠E'QP=1∴3α＝∠EPQ，3β＝∠EQP，∵∠E′PQ+∠E′QP+∠PE′Q＝180°，∴∠PE′Q＝180°﹣α﹣β，∴α+β＝180°﹣∠PE′Q，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴∠PEQ＝180°﹣3α﹣3β＝3（α+β）．∴∠PEQ＝180°﹣3（180°﹣∠PE′Q）＝3∠PE′Q﹣360°，由折叠可得∠EME′＝2∠EMN，∠ENE′＝2∠ENM，∵∠1＝180°﹣∠EME′，∠2＝180°﹣∠ENE′，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠EMN+∠ENM），∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠PEQ，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠PEQ）＝2∠PEQ，∴∠PEQ=12（∠1+∠∴3∠PE′Q﹣360°=12（∠1+∠∴6∠PE′Q﹣∠1﹣∠2＝720°．【点评】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的定义，理解题意，灵活运用相关知识是解决问题的关键．19．在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝50°；②若∠A＝90°，求∠EGC的度数；（2）若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．【答案】（1）①50°；②45°；（2）∠EGC=12∠A或∠EGC＝90°+1【分析】（1）根据平行线的性质，易得∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，根据角平分线的定义，得∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠DEF=12∠B，根据三角形外角的性质，得∠EGC＝∠DFE+∠FEG=12∠ACB+12∠B．①将∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC=12∠ACB+12∠B，即可求解；②∠EGC=12∠ACB+12∠B=12（∠ACB（2）点E在射线DB上运动时，分两种情况讨论：①当点E在线段DB上时，根据平行线的性质，得∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，根据角平分线的定义，得∠HEF=12∠BEF=12（180°﹣∠B）＝90°-12∠B，∠BCF=12∠ACB，根据外角的性质，得∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°-12∠B-12∠ACB＝90°-12（∠ACB+∠B）＝90°-12（180°﹣∠A）＝90°﹣90°+12∠A=12∠A；②当点E在线段DB延长线上时，根据平行线的性质，易得∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，根据角平分线的定义，得∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠BEF=12∠ABC，根据三角形内角和定理，得∠EGC＝180°﹣（∠FEG+【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠B＝∠DEF，∠BCD＝∠DFE，∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，∴∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠DEF∵∠EGC是△EFG的外角，∴∠EGC＝∠DFE+∠FEG=12∠ACB+1①将∠B＝60°，∠ACB＝40°代入∠EGC=12∠ACB+1得∠EGC=12×40°+1故答案为：50°；②∠EGC=12∠ACB+12∠B=12（∠ACB+∠B）=12（180°﹣∠将∠A＝90°代入，得∠EGC＝90°-12×90（2）①如图2，当点E在线段DB上时，∵EF∥BC，∴∠BEF＝180°﹣∠B，∠EFG＝∠BCF，∵CD平分∠ACB，EH平分∠BEF，∴∠HEF=12∠BEF=12（180°﹣∠B）＝90°-12∠B∵∠HEF是△EFG的外角，∴∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝90°-12∠B-12∠ACB＝90°-12（∠ACB+∠B）＝90°-12（180°﹣∠A）＝90°﹣90②如图3，当点E在线段DB延长线上时，∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠BEF，∠BCD＝∠F，∵CD平分∠ACB，EG平分∠BEF，∴∠BCD=12∠ACB，∠FEG=12∠BEF∴∠EGC＝180°﹣（∠FEG+∠F）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝90综上所述，点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC=12∠A或∠EGC＝90°+1【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，及三角形内角和定理，三角形外角的性质，利用角平分线定义，平行线的性质结合转化思想，理清∠EGC与∠ABC和∠ACB之间的关系是解题的关键．20．如图，△ABC中，∠C＝40°，∠B＝70°，AE平分∠CAB，AD⊥BC于D，DF⊥AE于F．（1）求∠CAE的度数；（2）求∠ADF的度数．【答案】（1）35°；（2）75°．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，根据角平分线定义得出∠CAE=12∠（2）根据垂直定义得出∠ADC＝90°，∠AFD＝90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠DAC＝90°﹣∠C＝50°，求出∠DAE，再根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠C＝40°，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠BAC=12（2）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，由（1）得∠CAE＝35°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝50°﹣35°＝15°，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF＝90°﹣∠DAE＝90°﹣15°＝75°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和直角三角形的性质，能熟记三角形内角和是180°和直角三角形的两锐角互余是解题的关键．21．问题情境：如图1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD．（1）探索发现：若∠A＝60°，则∠O的度数为30°；若∠A＝130°，则∠O的度数为65°．（2）猜想证明：试判断∠A与∠O的关系，并说明理由．（3）结论应用：如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC，且与四边形MNCB的外角∠NCE的平分线CD交于点D．若∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，则∠D的度数为25°．【答案】（1）30°，65°；（2）∠O=12∠（3）25°．【分析】（1）根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠O+∠OBC，根据角平分线定义，得∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD，进而得∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+∠OBC（2）根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠OCD＝∠O+∠OBC，根据角平分线定义，得∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD，进而得∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A+（3）延长BM，CN交于点A，先根据补角定义求出∠AMN和∠ANM的值，再根据三角形内角和定理求出∠A的值，由（2）中的结论，即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=1∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠OCD是△OBC的外角，∴∠OCD＝∠O+∠OBC，∴∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A∴∠O=12∠若∠A＝60°，则∠O的度数为30°，若∠A＝130°，则∠O的度数为65°．故答案为：30°，65°；（2）猜想：∠O=12∠理由：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=1∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠OCD是△OBC的外角，∴∠OCD＝∠O+∠OBC，∴∠O+∠OBC=12（∠A+∠ABC）=12∠A∴∠O=12∠（3）如图2，延长BM，CN交于点A，∵∠BMN＝130°，∠CNM＝100°，∴∠AMN＝180°﹣∠BMN＝180°﹣130°＝50°，∠ANM＝180°﹣∠CNM＝180°﹣100°＝80°，∴∠A＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝180°﹣50°﹣80°＝50°，由（2）得∠D=12∠∴∠D＝25°．故答案为：25°．【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，理解（2）中的结论是解题的关键．22．如图，在四边形ABCD中，BD，CA分别平分∠ABC和∠DCB，BD与AC相交于点O，延长BA，CD交于点P．（1）已知∠OAD+∠ODA＝60°，求∠P的度数；（2）若∠BAC＝α，∠CDB＝β，∠BOC＝γ，试探究α，β，γ三者之间的等量关系．【答案】（1）60°；（2）α+β+180°＝3γ．【分析】（1）结合已知条件，根据三角形内角和可求得∠OBC+∠OCB的度数，然后根据角平分线的定义可求得∠ABC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和即可求得答案；（2）结合已知条件，利用三角形的外角性质分别利用含α，β的式子表示出∠BOC，然后将两个式子相加后再利用三角形的内角和进行变形即可求得答案．【解答】解：（1）∵∠OAD+∠ODA＝60°，∴∠BOC＝∠AOD＝180°﹣（∠OAD+∠ODA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠OBC