2022线性代数期末复习题库

第一章行列式

1.逆序数的计算，奇排列与偶排列

例：求排列35412的逆序数

2.行列式与其转置行列式相等：D=。

3.行列式的性质

（1）交换两行（列），行列式反符号；

（2）行列式拆分：一个行列式如何拆分成两个行列式相加；

（3）某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式的值不变。

4.元素与.余子式叫〃和代数余子式&•的计算

5.求解行列式方程

1x11X11x

4+4

x—1l-x0x-\l-x0x-1l-x=0

l-x1-x2002-x-x200—(x+2)(x—1)

得,x=-2或x=l

6.计算行列式

1111

111

322-1

例1：计算行列式。2x(-1)-32-1

-1335

-135

4421

1

CrC\-1-4

2x311120

46

-1

1578

1I1I

例2：计算行列式。=

2036

1234

023

-423-4-2

111cz+q3+]-2—5

=1X(—1)2+223625=(-1)(-1严=-5

036510

-112-10

012

第二章矩阵

1.矩阵运算(+,数乘，乘法，转置，方阵的方暴)

(1)A+B.同型矩阵，对应元素进行加减；

(2)乘遍矩阵A中的每一个元素；

(3)AB：A取某行与B取某列，对应相乘并相加，A为mxs,B为sxn,则结果AB

为mxn矩阵。

(4)(W=5rAr：转置是将行元素换到相应的列元素位置上去。

(5)矩阵运算满足的运算律。

(6)伴随矩阵A*：1)A*的计算,

2)AA*=A*A=IAIE,

由此两端取行列式得：IA||A*|=|A\n|A*HAI-1

(7)对称矩阵：AT=A

例1:^^5x4,夕4x3,C%x3,贝【JAB±C、BC-Z2x3可以进行运算。

例2：已知1，求人叫

I。V

_2n2、3n3、LF)0(\IOOA

(oi；(oijlo1J

例3：已知及阶对称阵A,6,证明：AB是对称阵的充分必要条件是A,3可交换

证：A,8对称，则=4,5’=5

必要性：因为AB对称，则(4?尸=43,所以有(AB)?=877=84=48,

即A,B可以交换。

充分性：已知A,B可以交换，即AB=BA,

而=A8,即(AB)7"=43,所以A3是对称阵。

2.矩阵乘法一般不能交换：AB^BA

例1：若A,B为方阵，(A-B)2=A1-AB-BA+B2,(A-8)2"-245+#

例2：A=AE=EA

3.方阵的行列式(方阵才能计算行列式)

例:设4为三阶方阵|方|=2,求|-3A*+(-2A)T|

解：-3A*+(-2A)-'=

nA(-3A*-(-2A)T)=-3AA*+1/1A-1=-3\A\E+^E

=-3x2E+1E=-^E

4A(-3A*-(-2A)-')目A|•|(—3A*-(―24尸)|

斗得Eb(-*

4.矩阵的秩

(1)A为mxn矩阵，求R(A)：最高阶非0子式的阶数(定义)；行阶梯矩阵中非。行

的行数。R(A)<min(m,n)

R(A)<〃，当|A=0

(2)若A为n阶方阵，则R(A)W/=>

〔R(A)=n,当|A隹0

R(A)=n,则A为满秩矩阵

(3)若R(A)=r,则A中至少有一个r阶子式不为0,而所有r+1阶子式都为0.

，k-23、

例：设4=-12k-3问々为何值时，(1)R(A)=1,(2)R(A)=2,(3)R(A)=3

、1—23a

解：因为A为方阵，所以有两种方法：1.初等变换，2.行列式(略)

'k-23、(1-23公(\-23k、

A=-12k-3--12k-3^02k-23k-3

J-23k,-23JI。2k-2-3k2+\

(\-2

*3k

T02(1)3(1)

、00—3(攵一1)(2+2),

q-23、

(1)当k=1时，A-000,所以，R(A)=1

、00

‘1-2-6、

(2)当左=一2时，Af0-4-6,所以，H(4)=2

、000,

[I-23k、

(3)当攵工一2且Awl时，Af02()1-1)3(/:-1)所以，H(A)=3

、00-^-1)^+2),

5.逆矩阵(方阵才可能有逆矩阵)

(1)定义：A,B为方阵，AB=E,则Ai=5,5T=A,互逆，BA=E

（2）矩阵方程求逆

例：已知n阶方阵A满足A2+2A-2E=0,证明A及A+E可逆，并求及(A+^

证：由42+24—2E=0得，A(A+2£)=2£=A(A+2£)=E,|4卜0,所以A可逆,

且川=；5+2£)

又由4+2A—2E=0得，A2+2A+E=3E=(A+E)2=3E=(A+E)[^(A+E)]=E

|A+E|wO,所以A+E可逆，且(A+E)T=；(A+E)

6.初等变换

(1)初等变换(行变换和列变换)

（2）初等矩阵（单位矩阵进行一次初等变换）

左乘初等矩阵=进行一次相应初等行变换

右乘初等矩阵=进行一次相应初等列变换

00)(100、

例：［=o01,£=110，则

10J10

、00L

耳舄A表示先A进行P2对应的初等行变换后，再进行P1对应的初等行变换。

64A正好相反；伍6则为列变换

7.解矩阵方程（注意左乘和右乘）：AX=B;AXB=C；AX+B=C等

‘210、

例：设4=-130,AB=A+2B,求矩阵B

、004,

解：法一：由AB=A+25,得A3—28=An（A-2E）B=A

0

14=2HO,可逆，所以，B=(A-2E)-'A

又|A-2E=-1

o目

0

’010210、-110-130、(一100-320、

4c弓

(A—2E,A)=-110-130■010210-010210

<002004；、002004J1002004,

(\003-20、

4x(-1)

-010210

厅2

(001002,

‘3-20、

所以，B=(A-2E)-'A=210

202,

(oior1‘1-10、

法二：(A—2石尸=-110100

、002,、001/2,

U-10Y210、'3-20、

所以8=(4-2与-%=100-130=210

1/2X00

、004;、002>

第三章向量

1.向量组的线性运算

例1:已知向量/二^七二将夕用名,心线性表示。

解：显然有力=3-%

例2：已知。］=(123,4)&2=(2地3),且3al-%3=。2，求

2.向量组等价

向量组4：一,。2,与向量组5：4也，…,2等价=相互线性表示;

向量组4：%,生，…4与向量组B：4也，…,乙等价nR(A)=R(B),反之不成立。

反之为：若R(A)=R(B),且其中一组能由另一组线性表示=>两组等价

3.线性相关与线性无关的判断

(1)增加向量个数，不改变向量组的线性相关；减少向量个数，不改变向量组线性无

关。

如：若巧,。2，的线性相关，则的的。3，%也线性相关；

若如。2，。3，。4线性无关，则劭%,03也线性无关。

(2)增加向量维数，不改变向量组的线性无关；减少向量维数，不改变向量组线性相

关。

如：/=(*，线性无关，则用="，外=。|也线性无关

2

线性相关，则注=A也相关

(3)线性无关0处人)=向量个数(满秩)；线性相关OR(A)(向量个数

若向量组可以构成方阵A,则有：线性无关0|川H0；线性相关O|A|=0

(4)含0向量的向量组一定线性相关

T’0、<2)

011

例：已知向量组四,%=-线性相关,求t的值。

05£+2

a<4J

’102、q02、’102、

0110i14-5弓011

解：A=(%W，%)=->

05t+205t+200t-3

304，、o00;、00o>

由于线性相关，则R(A)<3,所以"3=0,得，=3

4.矩阵和向量组之间的一一对应关系

向量组可以构成矩阵，矩阵也可以构成向量组；

向量组的秩=极大无关组中所含向量个数=R(A)

5.求极大无关组

例：求向量组%=(2,4,2),4=(1,1,0),%=(2,3,1),%=(3,5,2)的秩和它们的一个极大无关

组，并将其它向量用极大无关组线性表示。

解：方法：列向量构成矩阵f行变换化成行阶梯矩阵一行最简形

(2123、"2123、20i2、

4-%彳+4

A=(a：,a；，M，a：)=4I35->0-1-1-1->0-1-i-1

GF

、()

(2012,10-1-10o07

01/2r

o111

(-1*4

、o000,

所以向量组的秩R(A)=2,最大无关组中有两个向量，为一个极大无关组

且%=1+%，%=%+。2

6.线性相关性证明

例：设向量组线性无关，令用=必-物,乩=«2-"3,月=%-%1，

证明向量组笈，夕2，氏也线性无关。

证：法一：设有一组数勺,%,质，使勺川+句%+占网=。

即：KQ-%2)+&-加3)+右(％-加1)=0=(勺-2&)a]+(-"]+&)«2+(-％+/介=0

因为线性无关，所以有

人―％=010-2

<—2&+历=0=>—210=一770

—2k+%=00-21

即该齐次线性方程组只有0解，即勺=0,&=0,&=0是唯一解,

所以向量组队员,03也线性无关

T0—2、

法二：因为⑻,为四)=3,。20)一210

,0-21,

10-2|(10-2、

而-210=一7力0,即—210可逆，贝1|/?3，£2,4)=《(％七，。3)

1I。-21>

0-2

而向量组线性无关，即RQ,%%)=3，从而R(片22,月)=3

所以向量组自,内，氏也线性无关

第四章线性方程组

Lm个n元线性方程组AX=b有解无解的判断

(1)R(A)wR(Ab)。AX=/;无解

睢一解H(A)=H(A3=〃

⑵R(A)=R(Ab)oAX=人有解

.无穷解R(A)=R(Ab)<n

问题：若R(A)=m,方程组AX=b有解无解呢？

2.m个n元线齐次性方程组AX=0有解无解的判断

⑴一定有解

只有廨R(A)=R(Ab)=〃

⑵

有非0解(无穷解)R即R(Ab)<n

—X]—4X2+鼻=1

例1：・无々-3/=3，确定k为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷解，并

M+3X2+(4+l)x3=0

在无穷解时求出其通解。

-41r

解：法一：0-1k+21

11k-33,

-1］、-1-411)

01=0-1k+21

女+3,、°o6+3)伏-1)k+3)

所以，(1)当心-3且Awl时,R(A)=R(Ab)=3,方程组有唯一解;

(2)当k=1时，R(A)=2<R(A份=3,方程组无解

(3)当左=-3时，R(A)=2=R(A份，方程组有无穷解，此时,

-411)<150

%+5々=-2玉二-5xj—2

(AZ?)->0-1-11->011

&+电=-1.对=一电一1

、0000；1000

(-5、

取自由未知变量々=1,得导出方程组Ax=0的基础解系为4=1

上2、

非齐次方程组的特解炉==0,原方程的通解为x=c4+〃*

法二：方程组的系数构成三阶方阵,因此可以用行列式讨论

-1

1昨0口=«+〃_3)

1

(1)若|AH0，即无。-3且左。1,则方程组有唯一解;

’-1-411、r-i-41n'-1-411、

(2)当左=1时，(A)=01-33-01-33T01-33

10

320,-13、0004,

R(A)=2<R(Ab)=3，方程组无解

(3)当上=一3时，R(A)=2=R(AZi),方程组有无穷解，此时,

’-1-41f、’150-2、

%+5%2=—2

(A份fo-1-11011-1<=>

、々+西=T

、00007,0000,

例2：求方程组＜2再-4*2+3*3-9匕=13的通解

3X1-6X2+x3+4X4=9

解：增广矩阵

q-21-25、-21-25、’1-2032、

4-2

A2-43-913o0-53001-53

『3弓

3-6149,、°