新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第6讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化（解析版）

第6讲破解离心率问题之建立齐次式和几何化参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设右焦点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入椭圆方程可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，化简为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．2．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上一点（在SKIPIF1<0轴上方），连结SKIPIF1<0并延长交椭圆于另一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入椭圆方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点．圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：可设SKIPIF1<0为第一象限的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，①由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，②由勾股定理可得SKIPIF1<0，③联立①②③消去SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．4．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0是双曲线与圆SKIPIF1<0在第二象限的一个交点，点SKIPIF1<0在双曲线上，且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0是双曲线与圆SKIPIF1<0在第二象限的一个交点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边同时平方可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．5．设圆锥曲线SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若曲线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0的离心率等于SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．2或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解答】解：由题意可设：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当圆锥曲线SKIPIF1<0为椭圆时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0；当圆锥曲线SKIPIF1<0为双曲线时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0．综上可知，圆锥曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．6．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0轴，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，由椭圆定义可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率SKIPIF1<0；故选：SKIPIF1<0．7．如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0是双曲线与圆SKIPIF1<0在第二象限的一个交点，点SKIPIF1<0在双曲线上，且SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第二象限，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．8．如图，已知双曲线SKIPIF1<0上有一点SKIPIF1<0，它关于原点的对称点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线的右焦点，且满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该双曲线离心率SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取左焦点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．9．已知在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，且经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的椭圆，其离心率为SKIPIF1<0；曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，渐近线分别和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行的双曲线，其离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，且经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点渐近线分别和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平行的双曲线，则双曲线中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．二．多选题（共1小题）10．已知椭圆SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0．若双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线与椭圆SKIPIF1<0的四个交点及椭圆SKIPIF1<0的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．椭圆的离心率SKIPIF1<0 B．双曲线的离心率SKIPIF1<0 C．椭圆上不存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0 D．双曲线上存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0【解答】解：椭圆SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0，若双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线与椭圆SKIPIF1<0的四个交点及椭圆SKIPIF1<0的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆的右焦点坐标SKIPIF1<0，则正六边形的一个顶点SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入椭圆方程，得：SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0代入双曲线的渐近线方程SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则双曲线的离心率SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0点是短轴的端点时，SKIPIF1<0最大，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0点在实轴的端点时，向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；故选：SKIPIF1<0．三．填空题（共9小题）11．已知椭圆SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0．若双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线与椭圆SKIPIF1<0的四个交点及椭圆SKIPIF1<0的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的离心率之积为SKIPIF1<0．【解答】解：不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可设椭圆的焦点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正六边形的一个顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得椭圆的SKIPIF1<0；双曲线的渐近线的斜率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得双曲线的离心率为SKIPIF1<0．即有椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的离心率之积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．12．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的四个顶点，SKIPIF1<0为其右焦点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与椭圆的交点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则该椭圆的离心率为SKIPIF1<0．【解答】解：直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入椭圆方程得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．故答案为：SKIPIF1<0．13．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的右、下、上顶点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点．若SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率是SKIPIF1<0．【解答】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．14．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的上、下顶点，直线SKIPIF1<0与椭圆的另一个交点为SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为SKIPIF1<0．【解答】解：由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0代入椭圆方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0位椭圆SKIPIF1<0的左顶点，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在椭圆上，若四边形SKIPIF1<0为平行四边形，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率等于SKIPIF1<0．【解答】解：SKIPIF1<0是与SKIPIF1<0轴重合的，且四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的纵坐标相等，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的横坐标互为相反数，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点是关于SKIPIF1<0轴对称的．由题知：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入椭圆方程解得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为椭圆的右顶点，由于SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0点：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．16．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则该双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．【解答】解：法1（代数法）：因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，所以直线斜率SKIPIF1<0，由对称性不妨考虑SKIPIF1<0情形．又双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0垂直其中一条渐近线，故SKIPIF1<0与一渐近线的交点SKIPIF1<0，即为该渐近线与SKIPIF1<0在第二象限的交点，可得SKIPIF1<0，如图，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三等分SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在另一渐近线SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故离心率SKIPIF1<0．法2（几何法）：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故离心率SKIPIF1<0．法3（参数方程法）：直线SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0为参数），代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0对应的参数SKIPIF1<0又SKIPIF1<0对应的参数SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，故离心率SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．17．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0