中考数学几何模型重点突破讲练：专题01 线段的中点模型（教师版）

专题01线段的中点模型模型分析模型分析【理论基础】如图，已知点M是线段AB的中点【模型变式1】双中点求和型如图已知点M是线段AB上任意一点，点C是AM的中点，点D是BM的中点【证明】点C是AM的中点，点D是BM的中点【模型变式2】双中点求差型如图点M是线段AB延长线上任意一点，点C是线段AM的中点，点D是线段BM的中点【证明】点C是线段AM的中点，点D是线段BM的中点【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。典例分析典例分析【例1】已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵，M是AC的中点，N是BC的中点，∴；∵，M是AC的中点，N是BC的中点，∴．故选：D．【例2】如图，点C是线段AB上一点，AC<CB，M、N分别是AB和CB的中点，，，则线段__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC的长，根据线段的和差可得AB的长，根据中点的性质可得BM的长，再根据线段的和差可得MN的长．【解析】由N是CB的中点，NB=5，得：BC=2NB=10．由线段的和差，得：AB=AC+BC=8+10=18．∵M是AB的中点，∴，由线段的和差，得：MN=MB-NB=9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点在同一直线上，分别是的中点．（1）若，求的长；（2）若，求的长；（3）若，求的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.【分析】（1）先求解再利用中点的含义求解再利用线段的差可得答案；（2）先利用含的代数式再利用中点的含义，用含的代数式再利用线段的差可得答案；（3）先利用含的代数式再利用中点的含义，用含的代数式再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1），分别是的中点，（2），分别是的中点，（3），分别是的中点，（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段的长度等于线段的一半，与点的位置无关.模型演练模型演练一、单选题1．已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（

）A．1 B．3 C．1或3 D．2或3【答案】C【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故选C．2．点C在线段上，下列条件中不能确定点C是线段中点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、C、D都可以确定点C是线段AB中点．【解析】解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；B、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；C、AB=2AC，则点C是线段AB中点；D、BC=AB，则点C是线段AB中点．故选：B．3．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则BD的长为（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（

）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴，∵C是线段AD的中点，∴，∴，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=AB=×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=DB=×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm；11cm；(2)．【分析】（1）根据AC+BD=AB-CD列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM+BN的长度，再根据MN=AB-（AM+BN）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB、CD的长度换成m、n即可【解析】(1)∵AB=16cm，CD=6cm，∴AC+BD=AB-CD=10cm，∴MN=AB-（AM+BN）=AB-（AC+BD）=16-5=11（cm）；(2)∵AB=m，CD=n，∴AC+BD=AB-CD=m-n，∴MN=AB-（AM+BN）=AB-（AC+BD）=m-（m-n）=．10．已知线段AB如图所示，延长AB至C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝BC．点M是CD的中点，点N是AD的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB长为10，求线段MN的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD=AB=BC，且AB=10，∴AD=AB=BC=10，即CD=30，∵点M是CD的中点，点N是AD的中点，∴DM=CD=15，DN=AD=5，∴MN=DM-DN=10，∴线段MN的长度为10．11．已知点、在线段上，（1）如图，若，，点为线段的中点，求线段的长度；（2）如图，若，，，求线段的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由，点为线段的中点，求得AD=DC=，由，可求BD=AD-AB=2；（2）由，推出，由，可用BD表示，表示EC==13，求出，再求AE=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵，点为线段的中点，∴AD=DC=，∵，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵，∴，∵，∴，∵EC==13，∴，∴AE=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C为线段AB上一点，AB=30，且AC-BC=10．（1）求线段AC、BC的长．（2）点P从A点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB上向B点运动，设运动时间为t秒（），点D为线段PB的中点，点E为线段PC的中点，若CD=DE，试求点P运动时间t的值．（3）若点D为直线AB上的一点，线段AD的中点为E，且，求线段AD的长．【答案】（1）；（2）或；（3）的长为：或【分析】（1）由，再两式相加，即可得到再求解即可；（2）以为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示对应的数，由CD=DE，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以为原点画数轴，分三种情况讨论，当在的左侧，当在线段上，当在的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示再利用建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB=30，①又ACBC=10②，①+②得：（2）如图，以为原点画数轴，则对应的数分别为：，点D为线段PB的中点，对应的数为：点E为线段PC的中点，对应的数为：，CD=DE，或解得：或．由，经检验：或都符合题意．（3）如图，以为原点画数轴，设对应的数为，当在的左侧时，＜舍去，当在上时，线段AD的中点为E，对应的数为：此时在上，当在的右侧时，如图，同理：或解得：（舍去），综上：的长为：或13．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据图示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．【解析】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是．14．如图，点在线段AB上，，点分别是的中点．求线段的长;若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由;若在线段的延长线上，