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文档简介
专题01线段的中点模型模型分析模型分析【理论基础】如图,已知点M是线段AB的中点【模型变式1】双中点求和型如图已知点M是线段AB上任意一点,点C是AM的中点,点D是BM的中点【证明】点C是AM的中点,点D是BM的中点【模型变式2】双中点求差型如图点M是线段AB延长线上任意一点,点C是线段AM的中点,点D是线段BM的中点【证明】点C是线段AM的中点,点D是线段BM的中点【模型总结】两中点之间的线段,等于原线段的一半。典例分析典例分析【例1】已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点,BC=4cm,若M是AC的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度是(
)A.7cm B.3cm C.7cm或3cm D.5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形,再利用线段的中点定义求解即可.【解析】解:根据题意画图如下:∵,M是AC的中点,N是BC的中点,∴;∵,M是AC的中点,N是BC的中点,∴.故选:D.【例2】如图,点C是线段AB上一点,AC<CB,M、N分别是AB和CB的中点,,,则线段__________.【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC的长,根据线段的和差可得AB的长,根据中点的性质可得BM的长,再根据线段的和差可得MN的长.【解析】由N是CB的中点,NB=5,得:BC=2NB=10.由线段的和差,得:AB=AC+BC=8+10=18.∵M是AB的中点,∴,由线段的和差,得:MN=MB-NB=9-5=4,故答案为:4.【例3】如图,已知点在同一直线上,分别是的中点.(1)若,求的长;(2)若,求的长;(3)若,求的长;(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么结论?【答案】(1);(2);(3);(4)线段的长度等于线段的一半,与点的位置无关.【分析】(1)先求解再利用中点的含义求解再利用线段的差可得答案;(2)先利用含的代数式再利用中点的含义,用含的代数式再利用线段的差可得答案;(3)先利用含的代数式再利用中点的含义,用含的代数式再利用线段的差可得答案;(4)由(1)(2)(3)总结出结论即可.【解析】解:(1),分别是的中点,(2),分别是的中点,(3),分别是的中点,(4)由(1)(2)(3)的结果中可得:线段的长度等于线段的一半,与点的位置无关.模型演练模型演练一、单选题1.已知线段,在直线AB上作线段BC,使得.若D是线段AC的中点,则线段AD的长为(
)A.1 B.3 C.1或3 D.2或3【答案】C【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况,分别画出图形,然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可.【解析】解:如图:当C在AB上时,AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1如图:当C在AB的延长线上时,AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故选C.2.点C在线段上,下列条件中不能确定点C是线段中点的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据线段中点的定义,结合选项一一分析,排除答案.显然A、C、D都可以确定点C是线段AB中点.【解析】解:A、AC=BC,则点C是线段AB中点;B、AC+BC=AB,则C可以是线段AB上任意一点;C、AB=2AC,则点C是线段AB中点;D、BC=AB,则点C是线段AB中点.故选:B.3.如图,C、D是线段AB上的两点,且D是线段AC的中点.若AB=10cm,BC=4cm,则BD的长为(
)A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可.【解析】∵AB=AC+BC,且AB=10,BC=4,∴AC=6,∵D是线段AC的中点,∴AD=DC=AC=3,∴BD=BC+CD=4+3=7,故选B.4.如图,C,D是线段AB上的两点,E是AC的中点,F是BD的中点,若EF=8,CD=4,则AB的长为(
)A.10 B.12 C.16 D.18【答案】B【分析】由已知条件可知,EC+FD=EF-CD=8-4=4,又因为E是AC的中点,F是BD的中点,则AE+FB=EC+FD,故AB=AE+FB+EF可求.【解析】解:由题意得,EC+FD=EF-CD=8-4=4,∵E是AC的中点,F是BD的中点,∴AE=EC,BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4,∴AB=AE+FB+EF=4+8=12.故选:B.二、填空题5.如图,点D是线段AB的中点,C是线段AD的中点,若AB=8cm,则CD=___cm.【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点,C是线段AD的中点,可得,即可求得答案.【解析】解:∵点D是线段AB的中点,∴,∵C是线段AD的中点,∴,∴,故答案为:2.6.在直线上取A,B,C三点,使得AB=9cm,BC=4cm,如果O是线段AC的中点,则线段OA的长为_____.【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况:①当点C在线段AB上时,②当点C在线段AB的延长线上时,线求出AC,根据线段中点的定义求出OA.【解析】解:分两种情况:①当点C在线段AB上时,∵AB=9cm,BC=4cm,∴AC=AB-BC=9-4=5cm,∵O是线段AC的中点,∴;②当点C在线段AB的延长线上时,∵AB=9cm,BC=4cm,∴AC=AB+BC=9+4=13cm,∵O是线段AC的中点,∴;故答案为:2.5cm或6.5cm.7.如图所示,B、C是线段AD上任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=7cm,BC=3cm,则AD的长为_____cm.【答案】【分析】由已知条件可知,MN=MB+CN+BC,又因为M是AB的中点,N是CD中点,则AB+CD=2(MB+CN),故AD=AB+CD+BC可求.【解析】解:∵MN=MB+BC+CN,MN=7cm,BC=3cm,∴MB+CN=7﹣3=4cm,∵M是AB的中点,N是CD的中点,∴AB=2MB,CD=2CN,∴AD=AB+BC+CD=2(MB+CN)+BC=2×4+3=11cm.故答案为:11.8.如图,C,D两点将线段AB分为三部分,AC∶CD∶DB=3∶4∶5,且AC=6.M是线段AB的中点,N是线段DB的中点.则线段MN的长为____________.【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD,DB的长,再根据中点的定义求出BM,BN的长,进而可求出MN的长.【解析】解:∵AC∶CD∶DB=3∶4∶5,且AC=6,∴CD=6÷3×4=8,∴DB=6÷3×5=10,∴AB=6+8+10=24,∵M是线段AB的中点,∴MB=AB=×24=12,∵N是线段BD的中点,∴NB=DB=×10=5,∵MN=MB-NB,∴MN=12-5=7.故答案为:7.三、解答题9.(2022·安徽·宣城市第六中学一模)如图所示,已知C,D是线段AB上的两个点,点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm,CD=6cm,求AC+BD的长和M,N的距离;(2)如果AB=m,CD=n,用含m,n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm;11cm;(2).【分析】(1)根据AC+BD=AB-CD列式进行计算即可求解,根据中点定义求出AM+BN的长度,再根据MN=AB-(AM+BN)代入数据进行计算即可求解;(2)根据(1)的求解,把AB、CD的长度换成m、n即可【解析】(1)∵AB=16cm,CD=6cm,∴AC+BD=AB-CD=10cm,∴MN=AB-(AM+BN)=AB-(AC+BD)=16-5=11(cm);(2)∵AB=m,CD=n,∴AC+BD=AB-CD=m-n,∴MN=AB-(AM+BN)=AB-(AC+BD)=m-(m-n)=.10.已知线段AB如图所示,延长AB至C,使BC=AB,反向延长AB至D,使AD=BC.点M是CD的中点,点N是AD的中点.(1)依题意补全图形;(2)若AB长为10,求线段MN的长度.【答案】(1)见解析(2)线段MN的长度为10.【分析】(1)根据题意画出图形;(2)由图,根据线段中点的意义,根据线段的和与差进一步解决问题.【解析】(1)解:补全图形如图所示:;(2)解:由题意知可知AD=AB=BC,且AB=10,∴AD=AB=BC=10,即CD=30,∵点M是CD的中点,点N是AD的中点,∴DM=CD=15,DN=AD=5,∴MN=DM-DN=10,∴线段MN的长度为10.11.已知点、在线段上,(1)如图,若,,点为线段的中点,求线段的长度;(2)如图,若,,,求线段的长度.【答案】(1)2;(2)16.【分析】(1)由,点为线段的中点,求得AD=DC=,由,可求BD=AD-AB=2;(2)由,推出,由,可用BD表示,表示EC==13,求出,再求AE=可求,AC=AE+EC=16.【解析】(1)∵,点为线段的中点,∴AD=DC=,∵,∴BD=AD-AB=10-8=2;(2)∵,∴,∵,∴,∵EC==13,∴,∴AE=,∴AC=AE+EC=3+13=16.12.如图,点C为线段AB上一点,AB=30,且AC-BC=10.(1)求线段AC、BC的长.(2)点P从A点出发,以1个单位/秒的速度在线段AB上向B点运动,设运动时间为t秒(),点D为线段PB的中点,点E为线段PC的中点,若CD=DE,试求点P运动时间t的值.(3)若点D为直线AB上的一点,线段AD的中点为E,且,求线段AD的长.【答案】(1);(2)或;(3)的长为:或【分析】(1)由,再两式相加,即可得到再求解即可;(2)以为原点画数轴,再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示对应的数,由CD=DE,利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程,解方程可得答案;(3)以为原点画数轴,分三种情况讨论,当在的左侧,当在线段上,当在的右侧,利用数轴与数轴上线段的中点知识,结合数轴上两点之间的距离分别表示再利用建立方程,解方程即可得到答案.【解析】解:(1)AB=30,①又ACBC=10②,①+②得:(2)如图,以为原点画数轴,则对应的数分别为:,点D为线段PB的中点,对应的数为:点E为线段PC的中点,对应的数为:,CD=DE,或解得:或.由,经检验:或都符合题意.(3)如图,以为原点画数轴,设对应的数为,当在的左侧时,<舍去,当在上时,线段AD的中点为E,对应的数为:此时在上,当在的右侧时,如图,同理:或解得:(舍去),综上:的长为:或13.如图,线段AB=20,BC=15,点M是AC的中点.(1)求线段AM的长度;(2)在CB上取一点N,使得CN:NB=2:3.求MN的长.【答案】(1);(2)【分析】(1)根据图示知AM=AC,AC=AB﹣BC;(2)根据已知条件求得CN=6,然后根据图示知MN=MC+NC.【解析】解:(1)线段AB=20,BC=15,∴AC=AB﹣BC=20﹣15=5.又∵点M是AC的中点.∴AM=AC=×5=,即线段AM的长度是.(2)∵BC=15,CN:NB=2:3,∴CN=BC=×15=6.又∵点M是AC的中点,AC=5,∴MC=AC=,∴MN=MC+NC=,即MN的长度是.14.如图,点在线段AB上,,点分别是的中点.求线段的长;若为线段上任一点,满足,其它条件不变,猜想的长度,并说明理由;若在线段的延长线上,
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