新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第22讲 轨迹方程（解析版）

第22讲轨迹方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．过点SKIPIF1<0斜率为正的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上相异的两点，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接圆半径的最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：如图，先固定直线SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为定值，故点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在一个阿波罗尼斯圆上，且SKIPIF1<0外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为SKIPIF1<0，阿波罗尼斯圆会把点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其一包含进去，这取决于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0谁更大，不妨先考虑SKIPIF1<0的阿波罗尼斯圆的情况，SKIPIF1<0的延长线与圆交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即为该圆的直径，接下来寻求半径的表达式，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理，当SKIPIF1<0时有，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0无斜率时，与椭圆交点纵坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，与椭圆方程联立可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由根与系数的关系有，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异号，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．2．方程SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【解答】解：方程SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0，表示点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0与定直线的距离相等的点的轨迹，由抛物线的定义可知：点SKIPIF1<0的轨迹是抛物线．故选：SKIPIF1<0．3．若动圆过定点SKIPIF1<0且和定圆SKIPIF1<0外切，则动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线一支【解答】解：设动圆的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0动圆圆心为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在动圆上，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0定圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为2，定圆与动圆SKIPIF1<0相外切SKIPIF1<0圆心距SKIPIF1<0由此可得SKIPIF1<0（常数），SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的双曲线的左支故选：SKIPIF1<0．4．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0同时与圆SKIPIF1<0及圆SKIPIF1<0相外切，则动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：设动圆圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相减可得SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的双曲线的左支，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．5．已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是该抛物线上的动点，则线段SKIPIF1<0中点轨迹方程是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：由SKIPIF1<0，得其焦点坐标为SKIPIF1<0，设线段SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由中点坐标公式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线上的点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．二．填空题（共7小题）6．两定点的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点满足条件SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．．【解答】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，它们是直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的倾角还是倾角的补角，与点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的上方还是下方有关；以下讨论：①若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的上方，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时，直线SKIPIF1<0的倾角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的倾角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，此时点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，它满足上述方程．②当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的下方时，SKIPIF1<0，同理可得点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，③当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，也满足SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．综上所求点的轨迹方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．7．设圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆内一定点，SKIPIF1<0为圆周上任一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0的连线交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0【解答】解：如图，连接SKIPIF1<0，根据垂直平分线的性质，SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0的运动轨迹为椭圆，设其方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．8．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆上一动点，SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．【解答】解：因为SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆，这里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．9．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．【解答】解：由圆SKIPIF1<0，可知圆心SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径3．设动圆的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并与圆SKIPIF1<0内切，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知：动点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，4为长轴长的椭圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（去掉点SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0．10．方程SKIPIF1<0所表示的曲线是双曲线．【解答】解：方程SKIPIF1<0化为：SKIPIF1<0．表达式的几何意义是：平面内动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0，与到定直线SKIPIF1<0的距离的比为SKIPIF1<0的点的轨迹，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0轨迹是双曲线．故答案为：双曲线．11．若动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离是它到直线SKIPIF1<0的距离的SKIPIF1<0倍，则动点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0．【解答】解：SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简为SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．12．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆的左、右顶点，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点所在的曲线方程为SKIPIF1<0．【解答】解：由题意，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，两式左右分别相乘得SKIPIF1<0①SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入①可得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0三．解答题（共28小题）13．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程，并说明SKIPIF1<0是什么曲线．【解答】解：点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0是一个椭圆，除去左右顶点．14．已知坐标平面上点SKIPIF1<0与两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比等于5．（1）求点SKIPIF1<0的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点SKIPIF1<0与两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比等于5，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0，所求轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，以5为半径的圆．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题意有SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．15．设圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不重合，SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（5分）由题设得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆定义可得点SKIPIF1<0的轨迹方程为：SKIPIF1<0（10分）16．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0被曲线SKIPIF1<0截得的弦的中点坐标．【解答】解：（1）由已知得圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0．设动圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知，曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为左、右焦点的椭圆（左定点除外），得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0公共弦所在直线为SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，设交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，代入直线SKIPIF1<0，得中点的纵坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求中点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．17．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，求SKIPIF1<0的值．【解答】解：（1）圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，设动圆SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0动圆只能在SKIPIF1<0内与SKIPIF1<0内切，不能是SKIPIF1<0在动圆内，即：SKIPIF1<0动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离之和为定值．SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的椭圆．SKIPIF1<0的中点为原点，故椭圆中心在原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0相切，则△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．18．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切并且与圆SKIPIF1<0内切，圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的方程．【解答】解：圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，设动圆SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，SKIPIF1<0动圆只能在SKIPIF1<0内与SKIPIF1<0内切，不能是SKIPIF1<0在动圆内，即：SKIPIF1<0动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离之和为定值．SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为焦点的椭圆．SKIPIF1<0的中点为原点，故椭圆中心在原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．19．已知圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，定点SKIPIF1<0，求过定点SKIPIF1<0且和圆SKIPIF1<0外切的动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，如图，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由双曲线的定义，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故所求轨方程为SKIPIF1<0．20．已知两圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．动圆SKIPIF1<0与两圆都相切，求动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与两圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都相切，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0点在线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分线上又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0SKIPIF1<0其垂直平分线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0；②若一内切一外切，不妨令与圆SKIPIF1<0内切，与圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离减去SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离的差是SKIPIF1<0，由双曲线的定义知，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为焦点，以SKIPIF1<0为实半轴长的双曲线左支，故可得SKIPIF1<0，故此双曲线的方程为SKIPIF1<0．同理与圆SKIPIF1<0外切，与圆SKIPIF1<0内切，此双曲线的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0此双曲线的方程为SKIPIF1<0．综①②知，动圆SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．21．在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内切圆与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求顶点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：如图，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为圆与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的两个切点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的双曲线的右支SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轨迹方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．22．直角三角形SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0为动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当动点SKIPIF1<0运动时，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，（1）求曲线SKIPIF1<0的轨迹方程；（2）求曲线SKIPIF1<0的轨迹方程；（3）设直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，坐标原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解答】解：（1）直角三角形SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0的轨迹为圆：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入曲线SKIPIF1<0的轨迹方程可得SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0．（3）当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0坐标原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．综上可得：SKIPIF1<0的最大值为2．23．动点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离与它到直线SKIPIF1<0的距离相等，求动点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义知点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点的抛物线，其开口方向向右，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以其方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．24．若动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，又与直线SKIPIF1<0相切，求动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定圆圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两圆外切，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0动圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即动点SKIPIF1<0到定点SKIPIF1<0的距离等于它到直线SKIPIF1<0的距离，由抛物线的定义可得，点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，SKIPIF1<0为准线的抛物线，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故动圆圆心的轨迹方程为SKIPIF1<0．25．设SKIPIF1<0为坐标原点，动点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．求点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入椭圆方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有点SKIPIF1<0的轨迹方程为圆SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．26．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点．已知△SKIPIF1<0为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率SKIPIF1<0；（Ⅱ）设直线SKIPIF1<0与椭圆相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的点，满足SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得椭圆方程为SKIPIF1<0，直线方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标满足方程组SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得方程组的解为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．将①代入化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入①化简得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，因此点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．27．设SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0满足，SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直的直线交抛物线于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点在同一条垂直于SKIPIF1<0轴的直线上，故可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①再设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0将①代入②式得SKIPIF1<0又点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0将③代入得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故所求的点SKIPIF1<0的轨迹方程：SKIPIF1<028．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，平行于SKIPIF1<0轴的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，交SKIPIF1<0的准线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（Ⅰ）若SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，证明SKIPIF1<0；（Ⅱ）若SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的两倍，求SKIPIF1<0中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的两倍，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0中点轨迹方程为SKIPIF1<0．29．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项．（1）求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点的椭圆上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆的方程是SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0适合上式，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．30．已知点SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点．求SKIPIF1<0的轨迹方程．【解答】解：圆SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，半径为4．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题设知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6分）故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由于点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部，所以SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）31．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，曲线SKI