新高考数学二轮复习圆锥曲线专题突破提升练习第2讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式（解析版）

第2讲圆锥曲线第二定义与焦半径公式参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为该双曲线的左右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即SKIPIF1<0在顶点处取得最大值，不妨取顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．2．已知双曲线SKIPIF1<0的右支上的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线的左右焦点），则SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的半焦距）的取值范围是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解答】解：由双曲线的第二定义可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0右支上的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在右支上，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．3．已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是其左、右焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，则此双曲线的离心率是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【解答】解：不妨设SKIPIF1<0为右支上的一点，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，取得最大值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：SKIPIF1<0．4．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则当SKIPIF1<0取得最小值时，四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．32 B．16 C．24 D．8【解答】解：因为SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最小，而SKIPIF1<0，由抛物线的对称性可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以可得直线SKIPIF1<0的斜率为1，又过抛物线的焦点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．5．过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0作两条相互垂直的直线分别交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【解答】解：由椭圆SKIPIF1<0，得椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立方程组SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题知，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0为定值．故选：SKIPIF1<0．二．填空题（共3小题）6．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是其左右焦点，SKIPIF1<0是坐标原点，则SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解答】解：设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得椭圆的准线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0作出椭圆的右准线，设SKIPIF1<0在右准线上的射影为SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，根据圆锥曲线的统一定义，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．【解答】解：根据题意可得，抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则分别将直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程与抛物线方程联立组成方程组可得，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由韦达定理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．8．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最小值为36．【解答】解：抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可将上式中的SKIPIF1<0换为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时，上式取得等号，则SKIPIF1<0的最小值为36．故答案为：36．三．解答题（共6小题）9．已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，并求该数列的公差．【解答】解：（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，两式相减可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在椭圆内，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．①（2）由题意得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）及题设得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．于是SKIPIF1<0．同理SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．设改数列的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②将SKIPIF1<0代入①得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0的方程，并整理得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入②解得SKIPIF1<0．所以该数列的公差为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．10．已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）证明：SKIPIF1<0；（Ⅱ）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0（2分）（1）SKIPIF1<0（2）得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（3分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）由题设可知点SKIPIF1<0在椭圆内，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（5分）（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在椭圆上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）又SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（8分）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（9分）由直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程联立，得SKIPIF1<0消SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（10分）从而得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（11分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．SKIPIF1<0（12分）11．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，且离心率SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上的一个动点，△SKIPIF1<0的内切圆面积的最大值为SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上不重合的四个点，满足向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△SKIPIF1<0的内切圆面积的最大值时，即，SKIPIF1<0取最大值，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由△SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0定值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆方程为SKIPIF1<0，（2）①当直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中有一条垂直SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0，②当直线SKIPIF1<0的斜率存在但不为0时，设SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入弦长公式得，SKIPIF1<0，同理由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，代入弦长公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由①②可知SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．12．已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且椭圆的离心率SKIPIF1<0，过椭圆的右焦点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：SKIPIF1<0为定值；（Ⅲ）求SKIPIF1<0的最小值．【解答】解：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1），SKIPIF1<0（1分）由椭圆过点SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0（2分）联立（1）、（2）式解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（3分）故椭圆的方程是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0（5分）证明：椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，分两种情况．SKIPIF1<0当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（6分）SKIPIF1<0当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立方程组SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）由题知，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0（9分）所以SKIPIF1<0为定值．SKIPIF1<0（10分）（Ⅲ）解：由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（11分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（12分）当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号SKIPIF1<0（13分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）13．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为4，离心率为SKIPIF1<0，一动圆SKIPIF1<0过椭圆SKIPIF1<0右焦点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程及动圆圆心轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）过SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线，分别交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值．【解答】解：（1）由已知可得SKIPIF1<0，则所求椭圆方程SKIPIF1<0．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，则动圆圆心轨迹方程为SKIPIF1<0．（2）当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的长即为椭圆长轴长，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，S