专题14 平方根与立方根之十大考点（解析版）

专题14平方根与立方根之十大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一平方根概念理解】 1【考点二求一个数的算术平方根、平方根】 2【考点三已知一个数的平方根，求这个数】 3【考点四利用算术平方根的非负性解题】 5【考点五求算术平方根的整数部分和小数部分】 6【考点六求代数式的平方根】 7【考点七立方根概念理解】 9【考点八求一个数的立方根】 10【考点九已知一个数的立方根，求这个数】 11【考点十利用平方根、立方根求方程的解】 12【过关检测】 14【典型例题】【考点一平方根概念理解】例题：（2023秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．正数的平方根是它本身 B．是100的一个平方根C．100的平方根是10 D．的平方根是【答案】B【分析】根据平方根的定义逐项分析即可．【详解】解：A、正数的平方根有2个，它们是互为相反数，原说法错误，本选项不符合题意；B、∵，∴是100的一个平方根，正确，本选项符合题意；C、100的平方根是，原说法错误，本选项不符合题意；D、没有平方根，原说法错误，本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．【变式训练】1．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）“25的平方根是”用符号表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平方根的定义进行求解即可得到答案．【详解】解：“25的平方根是”用符号表示为：，故选：A．【点睛】本题主要考查了平方根的定义，一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，表示为，熟练掌握此定义是解题的关键．2．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．的平方根是 B．是16的平方根C．4是16的平方根 D．7是的平方根【答案】D【分析】根据平方根的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A、的平方根是，故A正确，不符合题意；B、是16的平方根，故B正确，不符合题意；C、4是16的平方根，故C正确，不符合题意；D、没有平方根，故D不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；若，则a是b的平方根．【考点二求一个数的算术平方根、平方根】例题：（2023·江苏南京·统考二模）4的平方根是___________；4的算术平方根是______________．【答案】2【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：4的平方根是；4的算术平方根是2，故答案为：；2．【点睛】本题主要考查平方根、算术平方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根的定义，是解题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）13的平方根是______；9的算术平方根是______．【答案】3【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得．【详解】解：13的平方根是，9的算术平方根是3，故答案为：，3．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握定义是解题关键．2．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）81的算术平方根是_____________；的平方根是_____________．【答案】9【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答．【详解】解：∵，∴81的算术平方根是9；∵，，∴的平方根是，故答案为：9，．【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法是解决本题的关键．【考点三已知一个数的平方根，求这个数】例题：（2023·浙江·七年级假期作业）若与是同一个数的两个不同的平方根，则这个数是_________．【答案】4【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，即可求出m的值，进而求出这个数．【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根，∴，∴，∴，∴这个数为，故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．【变式训练】1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）若一个正数的平方根分别为和，则的值为________.【答案】【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得出并求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查的是平方根的性质，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决此题的关键．2．（2023春·广东湛江·七年级校考期中）若一正数的两个平方根分别是和，则这个正数是___________．【答案】25【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到的值，即可确定出这个正数．【详解】解：根据题意得：，解得：，则这个正数为．故答案为：25．【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．【考点四利用算术平方根的非负性解题】例题：（2023·江苏·八年级假期作业）若，则=__________．【答案】【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求得的值，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，满足，则式子的值是______．【答案】【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出x，y，代入求值即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确利用算术平方根和平方的非负性是解题的关键．2．（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）已知，则的算术平方根是_____．【答案】4【分析】由非负数的性质得出a和b的值，代入再求算术平方根即可．【详解】解：∵，∴，解得：，则，∴的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a和b的值是解答本题的关键．【考点五求算术平方根的整数部分和小数部分】例题：（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则_________，_________．【答案】【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．【详解】解：，，则．故答案是：3，．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）的整数部分是______．小数部分是_______．【答案】3【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴的整数部分为3，∴的小数部分为；故答案为3，．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______．【答案】．【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可.【详解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案为．【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.【考点六求代数式的平方根】例题：（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）已知的算术平方根是5，的平方根是是的整数部分，求的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由无理数的估算确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可．【详解】解：的算术平方根是5，，解得．又的平方根是，，解得．是的整数部分，而，，，的平方根为．【点睛】题目主要考查算术平方根及平方根，无理数的估算，求代数式的值，熟练掌握这些基本运算是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广东潮州·七年级校考阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；（2）根据平方根定义，求解即可．【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．（2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，而25的平方根为，即ab+5的平方根是．【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义．2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．(1)求的值；(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d的平方跟．【答案】(1)2(2)和【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．【详解】（1）解：∵AB＝2，∴，∴，∴；（2）∵|2c＋6|与互为相反数，∴，∵，，∴2c＋6＝0，d−4＝0，∴c＝−3，d＝4，∴，∴的平方根是．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．【考点七立方根概念理解】例题：（2023春·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）下列说法正确的是（）A．8的立方根为 B．立方根等于它本身的只有1C．的平方根是 D．平方根等于立方根的数只有0【答案】D【分析】根据平方根和立方根的性质分别判断．【详解】解：A、8的立方根为2，故错误，不合题意；B、立方根等于它本身的只有0，和1，故错误，不合题意；C、，平方根是，故错误，不合题意；D、平方根等于立方根的数只有0，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了立方根：若一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，记作．也考查了平方根的定义．【变式训练】1．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）下列说法；（1）4的算术平方根是2；（2）是的立方根；（3）立方根等于它本身的数是0和1；（4）的平方根是1．其中正确的是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据算术平方根、立方根、平方根分别进行判断即可．【详解】解：4的算术平方根是2，故（1）正确；5是的立方根，故（2）错误；立方根等于它本身的数是0和，故（3）错误；的平方根是，故（4）错误，∴正确的是1个，故选：A【点睛】此题考查了算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．2．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法正确的是（）A．没有立方根B．是的立方根C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数D．的立方根是【答案】C【分析】根据立方根的定义逐个判断即可．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果，那么x叫做a的立方根．【详解】解：A、有立方根，故A不正确，不符合题意；B、是的立方根，故B不正确，不符合题意；C、一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数，故C正确，符合题意；D、的立方根是，故D不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果，那么x叫做a的立方根．【考点八求一个数的立方根】例题：（2023·江苏·八年级假期作业）64的相反数的立方根是_______．【答案】【分析】先求出64的相反数为，再根据立方根的定义求出的立方根即可得到答案．【详解】解：∵64的相反数是，的立方根是，∴64的相反数的立方根是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，相反数，熟知立方根的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北襄阳·七年级统考期中）的平方根是______的算术平方根是______的立方根是______．【答案】【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义即可得答案．【详解】解：，9的平方根是，16的算术平方根是，的立方根是．故答案为：；；．【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根和立方根的知识，熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的概念是解题的关键．2．（2023春·黑龙江鹤岗·七年级校考期中）0.16的平方根是_____，的算术平方根是_____，的立方根是_____．【答案】2/【分析】分别根据平方根的定义、算术平方根的定义、立方根的定义计算即可．【详解】解：解：∵，，，，∴0.16的平方根是，的算术平方根是2，的立方根是，故答案为：；2；．【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，理解平方根与算术平方根的区别与联系是解答的关键．【考点九已知一个数的立方根，求这个数】例题：（2023春·四川广安·八年级广安二中校考阶段练习）若一个数的立方根是4，则这个数为______．【答案】64【分析】根据立方根的定义：一个数的立方为，则叫做的立方根，进行求解即可．【详解】解：，∴这个数为：；故答案为：．【点睛】本题考查立方根．熟练掌握立方根的定义，是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）已知x的立方根是4，则x的平方根是_____．【答案】【分析】直接利用立方根的性质得出x的值，进而利用平方根的性质得出答案．【详解】解：∵x的立方根是4，∴x=64，则x的平方根是：．故答案为：±8．【点睛】此题主要考查了立方根、平方根，正确得出x的值是解题关键．2．（2023春·甘肃定西·七年级校考阶段练习）若的立方根是3，求的平方根________．【答案】【分析】根据题意得出，确定代入求解即可．【详解】解：∵的立方根是3，∴，∴，∴，∴的平方根为，故答案为：．【点睛】题目主要考查立方根及平方根的计算，熟练掌握计算方法是解题关键．【考点十利用平方根、立方根求方程的解】例题：（2023春·广东广州·七年级校考期中）求下列各式中x的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方根的定义求解；（2）根据立方根的定义求解．【详解】（1）变形为：，∴；（2）∴，∴,∴【点睛】本题考查了平方根，立方根，注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．【变式训练】1．（2023春·河南濮阳·七年级统考期中）求下列各式中x的值：(1)，(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）移项后，利用平方根的意义解方程即可；（2）移项后用立方根的意义解方程即可．【详解】（1）解：∴，∴（2）∴，∴，∴，∴【点睛】此题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）求下列各式中x的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)或【分析】（1）先把常数项移到等号的右边，将系数化为1，再根据立方根的定义求出x的值即可；（2）先把常数项移到等号的右边，再开方即可得出答案．【详解】（1）解：（2）或【点睛】此题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·甘肃天水·八年级校考阶段练习）下列说法中，正确的一项是（

）A．1的平方根是1 B．0的平方根是0C．平方根等于本身的数是 D．立方根等于本身的数是【答案】B【分析】根据平方根的意义和立方根的意义，可得答案．【详解】解：A、1的平方根是，故A错误；B、0的平方根是0，故B正确；C、平方根等于本身的数是0，故C错误；D、立方根等于它本身的数是0，，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，掌握各自的定义和求法是解题关键．2．（2023秋·山西临汾·八年级统考阶段练习）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．【详解】解：A、，故本选项不合题意；B、，故本选项不合题意；C、，故本选项不合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知与互为相反数，则的平方根是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出的值，再求出的值，由平方根的定义进行计算即可．【详解】解：由题意得，，而，，∴，，解得，，∴，∴的平方根是，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根、偶次方的非负性，根据算术平方根、偶次方的非负性列出一元一次方程是解答本题点的关键．4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对【答案】B【分析】根据平方的非负性求出x，y的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时，即可得出答案．【详解】解：根据题意得，解得，①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的周长问题，掌握平方的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系是解题的关键．5．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为，然后根据直角三角形的面积和正方形的面积可建立关于的等量关系式，求解即可．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为，∵每一个直角三角形的面积为：，从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，且大正方形面积为，∴，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查等积变换，求代数式的值，算术平方根的应用．根据题意建立等量关系式是解题的关键．二、填空题6．（2023秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）计算，，【答案】【分析】根据算术平方根，立方根的知识计算即可作答．【详解】，，，故答案为：，，．【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的知识，正确理解算术平方根，是解答本题的关键．7．（2023春·吉林延边·七年级统考期末）的平方根是，的立方根是，的绝对值是．【答案】/【分析】根据平方根，立方根，绝对值的意义进行计算即可得．【详解】解：∵，，∴的平方根是，故答案为：；∵，∴的立方根是，故答案为：；∵，∴，∴的绝对值是，故答案为：．【点睛】本题考查了平方根，立方根，绝对值，解题的关键是掌握平方根与立方根的意义．8．（2023春·新疆阿克苏·七年级校考期末）若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是．【答案】64【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，解方程求出a即可解答．【详解】解：根据题意可得：，解得：，∴这个正数是；故答案为：64．【点睛】本题考查了平方根的定义，明确一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．9．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是．【答案】或/或【分析】根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可．【详解】解：∵a的立方根是2，∴，∵，∴，∴，∵c是9的平方根，∴，当时，，算术平方根为；当时，，算术平方根为；综上分析可知，的算术平方根为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，考查分类讨论的思想，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．10．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若实数、满足，且、恰好是直角三角形的两直角边长，则该直角三角形的斜边上的高为.【答案】【分析】利用非负数的性质求出m，n，再根据勾股定理求得第三边的长度，结合等面积法求得答案．【详解】解：设该直角三角形的第三边的长度为c，该直角三角形的斜边上的高为h，∵实数、满足，∴且，∴，则，此时，则，∴该直角三角形的斜边上的高为，故答案为：．【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”，属于中考常考题型．三、解答题11．（2023秋·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）解方程：(1)；(2).【答案】(1)或(2)【分析】（1）先求出的值，再利用平方根的性质求解；（2）先求出的值，再利用立方根的性质求解．【详解】（1）∵，∴，∴，∴或．（2）∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平方根、立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．12．（2023秋·甘肃天水·八年级校考阶段练习）已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根．【答案】【分析】直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案．【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，∴，，，∴，5的平方根是，∴的平方根．【点睛】此题主要考查了实数运算，求一个数的平方根，正确得出已知代数式的值是解题的关键．13．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是.(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是-2，可以求得b的值，（2）根据（1）可以求得的值，从而得到算术平方根．【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，∴，，解得，；（2）∵，∴，∵16的算术平方根是4，∴的算术平方根是4【点睛】本题考查立方根、平方很，解答本题的关键是明确它们各自的含义．14．（2023春·广东广州·七年级校考期中）已知一个正数的平方根是与，(1)求的值；(2)求关于的方程的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，即可求出．（2）根据立方根的定义，即可求解．【详解】（1）解：一个正数的平方根是与，，解得，答：；（2）当时，原方程可变为，由立方根的定义可知，，即方程的解为．【点睛】本题考查了平方根与立方根的应用，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键．15．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）已知，，满足等式．(1)求、、的值；(2)判断以、、为边能否构成