2023-2024学年人教A版必修第一册 　简单的三角恒等变换(1) 学案VIP

简单的三角恒等变换(一)学习目标抬头望星光1.能通过倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.(逻辑推理)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想方法.(逻辑推理)3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式,并能进行一些简单的应用.(逻辑推理、数学运算)【情境导学】已知sinθ的值,能否求出θ2的正弦、余弦及正切值?已知两个三角函数的积能不能转化为三角函数和的形式?已知两个三角函数的和能不能转化为三角函数积的形式一、半角公式倍角公式的变形sin2α2=1-cos2α2=1+cosαtan2α2=1-一般地,①②③式可以变形为半角公式:sinα2=±1-cosα2=±1+cosαtanα2=±1-思考如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号?提示:(1)如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正、负两个符号.(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时,则先求角α2所在范围,再根据角α2二、积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-βcosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-βcosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-βsinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)](2)和差化积公式sinx+siny=2sinx+y2sinx-siny=2cosx+y2cosx+cosy=2cosx+y2cosx-cosy=-2sinx+y2点睛积化和差、和差化积公式的理解(1)公式中的“和差”与“积”都是指三角函数间的关系,而不是指角的关系,只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式;(2)积化和差公式左边是同名或异名函数的“积”形式,右边是同名函数的“和差”形式,和差化积公式记忆口诀:“正和正在前,正差正后迁;余和一色余,余差翻了天.”(正代表sinα,余代表cosα).【教材深化】常用的三角恒等变换思想方法(1)常值代换用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数,使之代换后能运用相关公式,化简得以顺利进行.我们把这种代换称为常值代换.(2)切化弦当待化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切时,利用同角的基本三角函数关系式tanα=sinαcosα,将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法(3)降幂与升幂由C2α变形后得到公式:sin2α=12(1-cos2α),cos2α=12(1+cos2α),运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,(4)角的变换角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系,使公式顺利运用,解题过程被简化.常见的角的变换有α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=12[(α+β)+(α-β)],α=12[(α+β)-(β-α+β=(2α+β)-α等.【自我小测】1.辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)cosα2=1+cosα提示:只有当-π2+2kπ≤α2≤π2+2kπ(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cosα(2)存在α∈R,使得cosα2=12cos提示:当cosα=-3+1时,上式成立,但一般情况下不成立.(3)对于任意α∈R,sinα2=12sinα都不成立提示:当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.(4)若α是第一象限角,则tanα2=1-提示:若α是第一象限角,则α2是第一、三象限角,此时tanα2=12.(教材改编·例1)已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则tanα2= (A.13 C.-3或13 D.3或-【解析】选A.由三角函数的定义可得sinα=342+32=35,cosα=442+32=45,所以tan3.cos15°sin105°= ()A.34+12 B.3C.32+1 D.3【解析】选A.cos15°sin105°=12=12[sin120°-sin(-90°)]=12×32+12×1=类型一利用半角公式求值问题(数学运算)[例1](1)(2023·菏泽高一检测)已知sinα=55,cosα=255,则tanα2A.2-5 B.2+5C.5-2 D.±(5-2)【解析】选C.方法一:因为sinα=55,cosα=2所以tanα2=sinα1+cosα方法二:因为sinα=55>0,cosα=2所以α的终边落在第一象限,α2的终边落在第一或第三象限,即tanα所以tanα2=1-cosα1+cosα(2)若sin(π-α)=-53且α∈π,3π2,则sinπA.-63 B.-66 C.66 【解析】选B.由题意知sinα=-53,α∈π所以cosα=-23.因为α2∈所以sinπ2+α2=cosα2【总结升华】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2α(4)下结论:结合(2)求值.【即学即练】1.(2023·潍坊高一检测)若cos(π-α)=23,α∈π,2π,则cosα2A.-66 B.C.-306 D.【解析】选A.由cos(π-α)=-cosα=23,得cosα=-2又α∈π,2π,则α2∈π则cosα2=-1+cosα2=-12.求值:1sinπ12=2tanπ8=.【解析】(1)sinπ12=1-cosπ6(2)tanπ8=1-cosπ41+cos答案:(1)2-323.已知cosα=13,α为第四象限角,求sinα2,cosα2【解析】因为α为第四象限角,所以α2为第二、四象限角当α2为第二象限角时,sinα2=1-cosα2=-1+cosα2tanα2=-1-cos当α2为第四象限角时,sinα2=-1-cosα2=-33tanα2=-1-cos类型二利用半角公式进行三角函数式的化简(逻辑推理、数学运算)[例2](2023·沈阳高一检测)化简:cos(32π-α【解析】因为0<α<π,所以0<α2<π所以tanα2=1-cosα1+cos所以(1+cosα)tanα2=sin又因为cos(3π2-α)=-sinα且1-cosα=2sin2α2所以cos(32π-α)-因为0<α2<π2,所以sinα所以cos(32π-α答案:-22cosα【备选例题】已知π<α<3π2,化简:1+sinα1+cos【解题思维】解答本题可先用二倍角公式“升幂”,再根据α2的范围开方化简【解析】原式=sinα2+cos因为π<α<3π2,所以π2<α2所以cosα2<0,sinα所以原式=sinα2=-sinα2=-2cosα2【总结升华】化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.【即学即练】已知3π2<θ<2π,试化简:1+sinθ-【解析】因为3π2<θ<2π,所以3π4<所以0<sinθ2<22,-1<cosθ2从而sinθ2+cosθ2<0,sinθ2-cos所以原式=(sinθ2=sinθ2=-(sinθ2+cosθ2)-(sinθ2=-2sinθ2【补偿训练】(2023·大连高一检测)已知π3是函数f(x)=2asinxcosx-2cos2x-1的一个零点(1)求实数a的值;(2)求f(x)的单调递减区间.【解析】(1)f(x)=2asinxcosx-2cos2x-1=asin2x-2·1+cos2x2-1=asin2x-cos2由题意可得f(π3)=0,即32a+解得a=3;(2)由(1)得f(x)=3sin2x-cos2x-2=2sin(2x-π6)令π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ,得π3+kπ≤x≤5π6+k所以f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k∈类型三三角恒等式的证明(逻辑推理)[例3]求证:(1)1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ+1+sin2θ+cos2θ1+sin2【证明】因为cos2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ,sin2θ=2sinθcosθ,则1+sin2θ-cos2θ=2sinθcosθ+2sin2θ=2sinθ(sinθ+cosθ),1+sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+2cos2θ=2cosθ(sinθ+cosθ).故左边=2sinθ(sinθ+cosθ=sin2θ+cos2θ(2)2sinxcosx【证明】左边=2sin=2sinxcos=cosx2=1+cosxsinx所以原等式成立.【总结升华】三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法:证明的形式一般化繁为简;(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”;(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.【即学即练】已知0<α<π4,0<β<π4,且3sinβ=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,求证:α+【证明】因为3