广西柳州重点中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（含答案）

柳州重点中学2023—2024学年秋季学期高一年级入学考试数学试题（满分120分考试用时90分钟。）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.如图中六棱柱的左视图是（）A. B. C. D.2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，欲知长短.引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（）A. B.C. D.3.估计的值应在（）A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间4.为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（）A. B. C. D.5.经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（）A.10 B.12 C.13 D.156.定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”：②若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；④若点是点的“倍增点”，则的最小值是.其中，正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在正方形中，为对角线的中点，为正方形内一点，连接，，连接并延长，与的平分线交于点，连接，若，则的长度为（）A.2 B. C.1 D.8.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是（）A.5 B.4 C.3 D.2二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.）9.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并1给出了另外一个证明，下面四幅图中，能证明勾股定理的是（）A. B. C. D.10.下列说法正确的是（）A方程的解是B.方程的两个实数根之积为1C.以、2两数为根的一元二次方程可记为：D.一元二次方程的两实数根的平方和为7，则11.如图，若直线：与坐标轴交于，两点，与直线：交于点，直线交轴于点，交轴于点.则下列结论正确的是（）A.， B.的解是C.的面积是3 D.当时，12.如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，，连接，下列结论正确的是（）.A. B.C. D四边形是菱形三、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______.14.若，是一元二次方程的两个实根，则的值为______.15.如图，直线与抛物线相交于，两点，点在轴上，当时，的取值范围是______.16.如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得弧、连结、，则图中阴影部分的面积为______.四、解答题（本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.先化简再求值：，其中.18.如图，在中，，平分交于点，点在上，，是的外接圆，交于点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为10，，求.19.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？20.如图（1），抛物线交轴于点，交轴于点.（1）求和的值；（2）已知点，是抛物线上的两个点，且，，求此抛物线的顶点到的距离；（3）如图（2），连接，点是抛物线在线段上方部分上的一个动点，连接，交线段于点，设，求的取值范围.图1 图22023-2024学年秋季学期高一年级入学考试数学答案1.A【详解】根据三视图的概念，可知选项A中的图形是左视图，选项C中的图形是主视图，选项D中的图形是俯视图，故选A.2.A【详解】解：设木长尺，根据题意得，，故选：A3.A【详解】解：，∵，∴，即，∴，故选：A.4.B【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是，故选：B.5.B【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线∵抛物线经过，两点，∴，即，∴∵抛物线与轴有交点，∴，即，即，即，∴，，∴，，∴，故选：B.6.C【详解】解：①∵，，∴，∴，则是点的“倍增点”；∵，，∴，，∴，则是点的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点，∵点是点的“倍增点”，∴，解得：，∴，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点是点的“倍增点”，∴，整理得：，∵，∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点，∵点是点的“倍增点”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值为，∴的最小值是，故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个.故选：C.7.D【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，在与，∴，∴，∴∵为对角线的中点，∴，故选：D.8.C【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，∴，，，∴；故①错误；由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，∵抛物线关于直线对称，∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：，∴方程必有一个根大于2且小于3；故②正确；∵，∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，∵，是抛物线上的两点，且，∴；故③错误；∵，，∴由图象知：，∴；故④正确；∵，对称轴为直线，∴当时，函数值最小为：，∴对于任意实数，都有，即：，∴；故⑤正确：综上：正确的有3个；故选C.9.ABC【详解】A、大正方形的面积为：：也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，故A选项能证明勾股定理；B、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，∴，故B选项能证明勾股定理；C、大正方形的面积为：；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴D选项不能证明勾股定理.故选：ABC.10.CD【详解】解：A.∵，∴，即，解得：，∴方程的解是，，不符合题意；B.∵，∴方程没有实数根，不符合题意；C.∵，∴当时，，，∴以、2两数为根的一元二次方程可记为，符合题意；D.设一元二次方程的两实数根分别为，，∴，，∵，∴，即，，符合题意.故选：CD.11.ABC【详解】解：把点代入：，得，∴，∴，把，代入直线：，得，解得，∴：，把代入：得，∴，故A正确，符合题意，∵直线：与直线：交于点，∴方程组的解是，故B正确，符合题意；∵直线交轴于点，∴当时，，∴，∴，∴，故C正确，符合题意；由图可知，当时，，故D错误，不符合题意；综上所述：结论正确的是ABC，故选：ABC.12.ABD【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，，∴，根据折叠的性质可得，，，故A选项正确，符合题意；根据折叠的性质可得，，，，∴，∵，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，设，则，∴，∴，∴，在中，，故B选项正确，符合题意；由折叠的性质可得，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形为菱形，故D选项正确，符合题意；∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故C选项错误，不符合题意.故选：ABD.13.【详解】解：由题意得：，∴；故答案为.14.5【详解】解：∵，∴，，，∴.15.【详解】解：因为直线与抛物线分别交于，两点，令，则，∴点坐标为，则，解得，∴直线的解析式为，解方程，得，∴，两点的横坐标分别为，0，∴当时，，故答案为：.16.【详解】解：∵正六边形的边长为2，∴，，∵∴，过作于，∴，在中，，∴，同理可证，，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为，故答案为：.17.，4【详解】解：，当时，原式.18.【详解】（1）解：连接，∵，∴，∴为直径，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴.19.（1）每件售价应定为50元（2）每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大销售利润450元【详解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）.答：每件售价应定为50元；（2）设每天的销售利润为元.依题意，得：整理，得：，化成顶点式，得，∴当时.每天的销售利润最大，最大利润是450元.20.（1）；（2）顶点到的距离16；（3）；【详解】（1）解：将，代入二次函数中得，，解得：，∴此二次函数的解析式为；（2）由（1