2023年中考数学高频考点突破-实际问题与二次函数

2023年中考数学高频考点突破一一实际问题与二次函数

1.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件.如果每件商

品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件

商品的售价上在x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

⑵当x为何值时y的值为1920?

（3）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

2.某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与

当天的销售单价x（元）满足一次函数关系，并且当x=25时，y=55O；当x=3O时，

y=500.物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元.

（1）求出N关于x的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元；

（3）求出商家销售该商品每天获得的最大利润.

3.某公路有一个抛物线形状的隧道ABC,其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标

系中，抛物线的解析式为y=~x2+c且过顶点C（0,5）.（长度单位：m）

（1）直接写出c=；

（2）该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过

隧道?请说明理由；

（3）为了车辆安全快速通过隧道对该隧道加固维修，维修时需搭建的“脚手架”为矩

形EFGH.使【I、G点在抛物线上，E、F点在地面AB上，施工队最多需要筹备多少材料.（即

求出“脚手架”三根木杆HE、HG、GF的长度之和的最大值）

4.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y

（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四

组对应值如下表所示：

销售单价X（元/千克）55606570

销售量y（千克）70605040

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

5.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该

商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下

表记录的是某三周的有关数据：

X（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）;

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品

的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为

多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善

机构捐赠m元（1V,〃46）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的

增大而增大.请直接写出m的取值范围.

6.某商店试销一款进价为60元/件的新童装，并与供货商约定，试销期间售价不低于

进价，也不得高于进价的40%,同一周内售价不变.从试销记录看到，单价定为65元

这周，销售了275件；单价定为75元这周，销售了225件.每周销量）（件）与销售

单价x（元）符合一次函数关系.

（1）求每周销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系式.

（2）商店将童装售价定为多少时，这周内销售童装获得毛利最大，最大毛利W是多少

元？

（3）若商店规划一周内这项销售获得毛利不低于2500元，试确定售价x的范围.

7.数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

售价（元/件）X100110120130

…

月销量（件）y200180160140

已知该运动服的进价为每件60元.

（1）销售该运动服每件的利润是多少元；（用含*的式子表示）

（2）求月销量V与售价x的关系式；

（3）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润

是多少？

8.某水果批发商销售每箱进价为40元的柑橘，物价部门规定每箱售价不得高于55元；

市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，平均每天销售105箱；每箱以50元的价格

销售，平均每天销售90箱.假定每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间满足一

次函数关系式.

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

9.图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面0A宽4m,以0为原点，0A所在直

3

线为X轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3,y）.

（1）点P与水面的距离是叫

（2）求这条抛物线的表达式；

（3）当水面上升1m后，水面的宽变为多少？

10.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销

售单价不低于44元，且获利不高于30机试销售期间发现，当销售单价定为44元时,

每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销

售.设每天销售量为y本，销售单价为x元.

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？

最大利润是多少元？

11.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，

这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=一

x+60（30WxW60）.

设这种双肩包每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每

天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

12.康康发现超市里有一种长方体包装的果冻礼盒，四个果冻连续放置（如图2）.每

个果冻高为6cm,底面直径为4cm,其轴截面的轮廓可近似地看作一段抛物线，如图1

图3

（1）在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出左侧第一条抛物线的函数表达式.

（2）为了节省包装成本，康康设计了一种新的包装方案：将相邻的果冻上下颠倒放置（相

邻果冻紧贴于一点，但果冻之间无挤压），如图3所示.

①康康发现相邻两条紧贴于一点的抛物线成中心对称.请在你建立的坐标系中，求左侧

两条抛物线的对称中心的坐标.

②按照康康的方案，包装盒的长度节省了多少厘米？

13.黔东南州某超市购进一批商品，该商品的进价为每件30元，如果售价按每件40元

出售，每个月可卖300件；市场调查发现，这种商品的售价每上涨2元，每月少卖10

件；如果超市决定该商品每件的售价高于40元但不超过60元，设每件商品的售价为x

元，每月的销售量为y件.

（D写出y与x的函数关系式；

⑵设每月的销售利为W元，请写出M与X的函数关系式；

（3）该商品的销售单价定为多少时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？

14.黔东南州某超市购进一批商品，该商品的进价为每件30元，如果售价按每件40元

出售，每个月可卖出300件.市场调查发现：这种商品的售价每上涨2元，每月少卖

10件.如果超市决定该商品每件的售价高于40元但不超过60元，设每件商品的售价

为x元，每月的销售量为y件.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）设每月的销售利为w元，请写出w与x的函数关系式；

（3）该商品的销售单价定为多少时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？

15.某实验田计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本》（万元）

由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本，其中农机成本固定不变为10

万元，管理成本（万元）与x成正比例，其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生

产过程中，获得如下数据：

x（单位：亩）13

y（单位：万元）1634

（1）求y与*之间的函数关系式:

(2)已知每亩的平均成本为12万元，求种植新型农作物的亩数是多少？

(3)若每亩的收益为15万元，当x为何值时，实验田总利润最大，并求出最大利润.【注：

总利润=总收益一总成本】

16.如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图②是喷灌架为一

坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当

喷射出的水流与喷灌架的水平距离为12米时，达到最大高度7米，现将喷灌架置于坡

4

地底部点。处，草坡上距离0的水平距离为18米处有一棵高度为§米的小树A3,AB

垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米.

(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地;

⑵记水流的高度为M，斜坡的高度为K，求y-%的最大值;

(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B,那么喷射架应向后平移多少米？

17.红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，

规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%,试销售期间发现，

当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减

少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为N万件.

(1)请写出)与X之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？

最大利润是多少万元？

(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，请直接写出每月的售

价x的范围.

18.图1是一个倾斜角为a的斜坡的横截面.斜坡顶端B与地面的距离3c为3米.为

了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A,8c与喷头A的水平

距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水

珠的竖直高度为y(单位：米)(水珠的竖直高度是指水珠与水平地面的距离)，水珠与

喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x

与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度

4米.

B

I

力)a8C

图1

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷

出的水珠能否越过这棵树.

参考答案：

1.(1)y=-10x2+80x+1800(0<x<5,且x为整数)

⑵x=2

(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元

【分析】(1)根据商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件.如果

每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，列出

关系式求解即可；

(2)根据(1)所列关系式把y=1920代入求解即可；

(3)根据(1)所求利用二次函数的性质求解即可.

【解析】(1)解：y=(30—20+x)(180—10x)

=-10x2+80x+1800(0<x<5,且x为整数)

(2)解：1920=-10X2+80X+I800

x2—8x+12=0,(x_2)(x_6)=0,

解得x=2或x=6,

V0<x<5,

/.x=2f

.•.当x=2时，y的值为1920；

(3)解：由(1)知，y=-10x2+80x+1800.

V-10<0,

，开口向下

b80一

...当x=-五=-五不诃=4时，y取最大值，为大便=196°元：

每件商品的售价为34元，

答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大利润为1960元.

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的实际应用，解题的关键在于

能够根据题意求出y与x的函数关系式.

2.(1)y=-10x+800；(2)销售单价定为40元；(3)该商品每天获得的最大利润为8960

元.

【分析】(1)设y关于x的函数关系式为〉="+6,利用待定系数法即可得答案；

(2)根据利润=单件利润X销售量及(1)中解析式可得关于x的一元二次方程，解方程并

根据销售单价不能超过48元即可得答案；

(3)根据利润=单件利润X销售量可得w与x的关系式，根据二次函数的性质即可得答案.

【解析】(1)设y关于*的函数关系式为〉="+6,

•..当x=25时，y=550；当x=3O时，y=500,

.J25A+A=55O

…[30Z+b=500‘

仅=-10

解得:=800,

/.y=-10x+800.

(2)•••成本为20元，y=-10x+800,每天获得的利润是8000元，

A(x-20)(-1Ox+800)=8000,

解得：%,=40,々=60.

♦.•物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元，

...x=60不合题意，应舍去.

.••当销售单价定为40元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元.

(3)设商家销售该商品每天获得的利润为卬元，

贝w=(x-20)(-1Ox+800)=-10(x-50)2+9000,

V-10<0,

；.x这50时，w随x的增大而增大,

V20<x<48,

，当x=48时，w取最大值为-10X(48-50)2+9000=8960(元).

答：商家销售该商品每天获得的最大利润为8960元.

【点评】本题考查一次函数、一元二次方程及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次

函数解析式及二次函数的性质是解题关键.

3.(1)5；(2)能安全通过，理由见解析；(3)施工队最多需要筹备15米材料

【分析】(1)直接利用顶点C(0,5),进而求出c的值；

(2)利用x=3时，求出y的值，进而得出答案；

(3)利用HE=FG=-\X2+5,GH=EF=2X,即可得出HE+FG+GH与x的函数关系，进而求出最

值即可.

【解析】(1)：顶点C(0,5),.・.c=5,故答案为：5.

(2)把x=3代入得y=-*/+5=4.1>4,故能安全通过.

(3)设尸(x,0),则G[X,—记x-+5),//E=FG=—+5,GH=EF=2x,

HE+FG+GH=-1%2+2X+10=-1(X-5)2+15(0<%<572),；.x=5时有最大值为15.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据数形结合得出函数关系式是解题关键.

4.(1)y=-2x+180；(2)60元/千克或80元/千克；(3)70元/千克；800元

【分析】(1)利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

(2)依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；

(3)利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可.

【解析】解：(1)设y与x之间的函数表达式为丫=丘+人(女工0),将表中数据(55,70)、

(60,60)代入得：

J55A+〃=7O

]6(R+b=60'

k=-1

解得:

b=180

，y与x之间的函数表达式为y=-2x+180；

(2)由题意得：(》一50乂—2x+180)=600,

整理得：%2-140x4-4800=0,

解得看=60,9=80,

答:为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克;

(3)设当天的销售利润为w元，贝！|：

w=(x-50)(-2x+180)

=-2(X-70)2+800,

♦；-2<0,

...当x=70时，wa*ta=800.

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题

中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键.

5.(1)y=-500x+12000;(2)这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，

售价为12元；(3)3<m<6.

【分析】(1)设y与x的函数关系式为丫=1«+里代入表中的数据求解即可；

(2)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,根据总利润=单件利润X销售量列出函

数关系式求最大值，注意x的取值范围；

(3)写出w关于x的函数关系式，根据当x<15时，利润仍随售价的增大而增大，可得

500(m+27)

215,求解即可.

2x(-500)

【解析】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,

10000=4%+〃

代入(4,10000),(5,9500)可得:

9500=5)1+6

)1=-500

解得:

6=12000

即y与x的函数关系式为y=-5O()x+12(X)O；

(2)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,

34x415

根据题意可得:

-500%+12000>6000

解得：34x412,

w=y(x-3)

=(-500x+12000)(x-3)

=-500卜-引+55125

V3<x<12,

...当x=12时，w有最大值,w=54000,

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元.

(3)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,

当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

w=y(x-m-3)

=(-500x+12000)(x—机-3)

=-500/+500(加+27)x-500x24(3)

由题意，当xW15时，利润仍随售价的增大而增大，

一500黄保+鬲27)“*,解得：m2

可得:

Vl<zn<6

故m的取值范围为：3<m<6,

【点评】本题考查二次函数的实际应用一一最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数

关系式，通过配方法找到最大值.

6.(1)y=-5x+600；(2)当售价定为84元时，一周内获得毛利最大，最大毛利是4320

元；(3)范围应在70元到84元之间

【分析】(1)设销量>(件)与销售单价x(元)之间的关系式为，="+6,利用待定系数

法列方程组，即可得到结论；

(2)设商店将童装售价定为x时，获得毛利为肌根据题意得到

W=(%-60)(-5%+600)=-5(x-90)2+4500,求得当x<90时，W随x的增大而增大，根据

二次函数的性质即可得到结论；

(3)根据由W=-5(x-90『+4500=2500,得(x-90『=400,解方程即可得到结论.

【解析】解：(1)设y与X之间的关系式为、="+%

65左+6=275,快=-5,

则'解得I

75k+6=225.[6=600.

二所求关系式为y=-5x+600.

(2)由(1),W=(x-60)(-5x+600)=-5(x-60)(x-120)

=-51(x-90)2-902+7200]

=-5(x-90)2+4500.

当x<90时，W随x的增大而增大.

而最大售价为60X(1+40%)=84(元).

.,.当x=84时，W=-5x(84-90)2+4500=432()

即当售价定为84元时，一周内获得毛利最大，最大毛利是4320元.

(3)由W=-5(X-90)2+4500=2500,f#(x-9O)2=400.

解得再=70,—I。.

结合(2)知，704x484.

即商店一周内这项销售获得毛利不低于2500元，售价x的范围应在70元到84元之间.

【点评】本题主要考查二次函数和一次函数函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解

析式，并熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键.

7.(1)(x-60)元；(2)y=-2x+400；(3)售价为每件130元时，当月的利润最大为9800

元

【分析】(1)根据利润=售价-进价求出利润；

(2)运用待定系数法求出月销量y与售价x的一次函数关系式即可；

(3)根据月利润=每件的利润X月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利

润.

【解析】解：(1)每件的利润是(x-60)元；

f200=100A:+ft仅=-2

(2)设y=kx+b,则有「0八八，解得L“nn，

[180=1104+6[b=400

；.y=-2x+400；

(3)依题意可得：

s=(x-60)X(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,

当x=130时,s有最大值9800,

所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元.

【点评】本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用以及解一元二次方程，掌握待定系

数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关犍.

8.(1).\y=-3x+240;(2)w=-3x+360x-9600;(3)当每箱苹果的销售价为55元

时，可以获得最大利润，为1125元.

【分析】(1)利用每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系式，利用

待定系数法求出一次函数解析式即可：

(2)利用该批发商平均每天的销售利润w(元)=每箱的销售利润X每天的销售量得出即可；

(3)根据题中所给的自变量的取值得到二次的最值问题即可.

【解析】⑴设y=kx+b,

把已知(45,105),(50,90)代入得，

J45Z+Q105

150&+H0'

=

解得：〔\kQ2-430，

故平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式为：y=-3x+240；

(2)•••水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，销售价x元/箱，

...该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式为：

W=(x-40)(-3x+240)=-3X2+360X-9600.

(3)W=-3X2+360X-9600=-3(X-60)2+1200,

•••a=-3V0,...抛物线开口向下.

又•.•对称轴为x=60,...当x<60,W随x的增大而增大，

由于50WxW55,...当x=55时，W的最大值为1125元.

...当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元.

【点评】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常用函数的

增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函

数的最值不一定在x=-(时取得.

9.(1)|(2)y=-yx2+2x.(3)272

【分析】(1)根据点P的横纵坐标的实际意义即可得；

(2)利用待定系数法求解可得；

(3)在所求函数解析式中求出y=I时x的值即可得.

【解析】(1)由点P的坐标为(3,卞3，知点P与水面的距离为］3m，

故答案为7；

2

(2)设抛物线的解析式为y=奴2

3

将点A(4,0)、P(3q)代入，得：

16«+4/?=0

<3

9a+36=工

2

解得：\a=~2

b=2,

所以抛物线的解析式为>=2用

⑶当y=l时，一;d+2%=1,即-4X+2=0,

解得：x=2±5/2,

则水面的宽为2+点-(2-忘)=2夜(m).

【点评】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

10.(1)y=-Wx+740(44WxW52)；(2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天

获利2400元；(3)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w

元最大，最大利润是2640元.

【分析】(1)售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨(x-44)元，每

天销售量减少10(x-44)本，所以y=300-10(x-44),然后利用销售单价不低于44元，

且获利不高于3096确定x的范围；

(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x-40)(-10x+740)=2400,然后解方

程后利用x的范围确定销售单价；

(3)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到\尸(x-40)(-lOx+740),再把它变形为

顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即

可.

【解析】(1)y=300-10(x-44),

即y=-lOx+740(44WxW52)；

(2)根据题意得(x-40)(-10x+740)=2400,

解得Xi=50,X2=64(舍去),

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；

(3)w=(x-40)(-10x+740)

=-10X2+1140X-29600

=-10(x-57)2+2890,

当x<57时，w随x的增大而增大，

而44WxW52,

所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10(52-57)2+2890=2640,

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大

利润是2640元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关

键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二

次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

11.(1)W=-X2+90X-1800；

(2)当x=45时，w有最大值，最大值是225；

(3)该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元.

【分析】(D根据销售利润=单个利润X销售量，列出式子整理后即可得；

(2)由(1)中的函数解析式，利用二次函数的性质即可得；

(3)将w=200代入(1)中的函数解析式，解方程后进行讨论即可得.

【解析】(1)w=(x-30)y=(-x+60)(x-30)=-x2+30x+60x-1800=-x2+90x-1800,

w与x之间的函数解析式w=-X2+90X-1800；

(2)根据题意得：w=-x?+90x-1800=-(x-45)2+225,

V-KO,

...当X=45时，w有最大值,最大值是225；

即这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元.

(3)当w=200时，-X2+90X-1800=200,

解得Xi=40,X2=50,

V50>48,X2=50不符合题意，舍去，

即x=40.

答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元.

【点评】本题是一元二次方程与二次函数的综合，考查了二次函数的性质，解一元二次方程

等知识，由利润关系得出二次函数解析式是本题的关键.

3,

12.(1)y=-x2-6x+6

⑵①(2+衣3卜②(12-60cm

【分析】(1)建立如图所示的直角坐标系，得到A(0,6),B(4,6),C(2,0),设抛物线的解析式

y=ax1+hx+c,将点A,B,C坐标代入求解即可；

（2）①根据左侧两条抛物线成中心对称，得到对称中心的纵坐标为3,将）=3代入

6x+6=3,求出x值即可得到对称中心的坐标；②计算出原包装盒的长度，及相邻两

个果冻对称轴之间的距离，即可得到康康的方案中包装盒的长度，由此得到节省的长度.

【解析】（1）解：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得。4=6,A8=4,

:.A（0,6）,8（4,6）,C（2,0）,

设抛物线的解析式为y=ox2+bx+c,

c=6

.•.416。+4〃+c=6,

4。+2/?+c=0

[3

a--

2

解得匕=-6,

a

二左侧第一条抛物线的函数表达式为y=1%2-6x+6.

（2）①...左侧两条抛物线成中心对称，

对称中心的纵坐标为3,

3、

当y=3时，—X2-6x+6=3,

解得x=2+&或x=2-亚（舍去）,

二对称中心的坐标为（2+72,3）；

俨RE

OCDFx

②原包装盒的长度为4x4=16cm,

MN=2MQ=2（2+&-2）=2&,

，康康的方案中包装盒的长度为2OC+3MN=2x2+3x2血=(4+6^^m,

节省了16-(4+6&)=(12-60cm.

【点评】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意建立函数关系模型是解题的关键.

13.(1)y=­5x+500(40<x<60)

(2)w=-5x2+650x-15000

(3)该商品的售价定为60元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元

【分析】(1)根据商品售价每上涨2元，每月少卖10件列式求解即可；

(2)根据利润=(售价道价)X数量列出w关于x的关系即可：

(3)根据(2)所求关系利用二次函数的性质求解即可.

【解析】(D解：由题意得，y=300yNxio,即y=-5x+500；

•••商品每件的售价高于40元但不超过60元，

/.40<x<60；

(2)解：由题意得(无—30)♦y=(x-30)(—5x+500),

即w=-5x2+650x-15000；

(3)解：w=-5x2+650x-15000=-5(x-65)2+6125

根据题意，知40<x460

Va=-5<0,

，当40<xW60<65时，w随x的增大而增大.

.•.当x=60时，卬取得最大值为：/猷=—5*(60—65『+6125=6000(元).

答：该商品的售价定为60元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元.

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确理解题意，列出对应的

函数关系式是解题的关键.

14.(1)^=-5x+500(40<x<60)

(2)w=-5x2+650x-15000(40<x<60)

(3)该商品的销售单价定为60元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元

【分析】(1)根据商品售价每上涨2元，每月少卖10件列式求解即可；

(2)根据利润=(售价-进价)x数量列出w关于x的关系即可；

(3)根据(2)所求关系利用二次函数的性质求解即可.

r-40

【解析】(1)解：由题意得，y=300—1一xl0=—5x+500,

•・•该商品每件的售价高于40元但不超过60元，

/.40<x<60；

(2)解：由题意得，w=(x-30)y

=(x-30)(-5x+500)

=-5X2+650X-15(XX);

(3)解：由(2)得卬=—5x?+650x—15000=—5(x—65)2+6125,

V-5＜0,

上当40cxs60时,,w随x增大而增大，

...当x=60时，W最大，最大为6000,

.•.该商品的销售单价定为60元时，每月的销售利润最大，最大利润是6000元.

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确理解题意，列出对应的

函数关系式是解题的关键.

15.⑴y与x之间的函数关系式为y=x2+5x+10

(2)每亩的平均成本为12万元时，种植新型农作物的亩数是2亩或5亩

⑶当x=5时，总利润最大，最大利润为15万元

【分析】(1)根据题意，设N与x之间的函数关系式为y=o?+bx+10(aH0),再把x=l,

y=16和x=3,y=34代入关系式，得出二元一次方程组，解出即可得出＞与x之间的函数

关系式；

(2)根据题意，结合(1),可得12x=f+5x+10,解出即可得出答案；

(3)设总利润为w,每亩的收益为15万元，种植x亩，根据总利润=总收益一总成本，得

出w=-d+iox—io,再根据二次函数的性质，即可得出最大利润.

【解析】(1)解：根据题意，设＞与x之间的函数关系式为丁=62+法+10(。工0),

把x=l,y=16和犬=3,y=34代入关系式，

[{6=a+b+\O

可得：[34=9«+3^+10)

[a—\

解得：L,，

[8=5

・・.y与冗之间的函数关系式为y=f+5x+10；

(2)解：・・•每亩的平均成本为12万元，种植尢亩，

・••总成本为12x万元，

，可得：\2X=JC4-5x4-10,

解得：X=2,-^2=5,

.♦.每亩的平均成本为12万元时，种植新型农作物的亩数是2亩或5亩；

(3)解：设总利润为卬，每亩的收益为15万元，种植1亩，

w=15x-(%?+5x+10)=—x2+1Ox—10,

10

当x=一=5时，总利润w有最大值，最大利润为-25+50-10=15(万元).

2x(-1)

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的性

质，解本