2023年高考数学模拟卷（新高考专用）答案

【赢在高考・黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷(新高考

专用)

黄金卷06

考试时间：120分钟；满分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷(选择题)

一、单选题

1.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},5=3|/-4x+3=0},则华(/U8)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合民再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，B={x|x2-4x+3=0}={1,3},所以Zu8={-l,l,2,3},

所以。(ZuB)={-2,0}.

故选：D.

2.函数/(x)=J2x-1+lg(x-2)定义域为()

A.[0,2)B.(2,+8)C.J，?)D.—,+co^

【答案】B

【分析】利用根号下的数大于等于0,对数真数大于0,解得函数的定义域.

[2x-l>0

【详解】由题意可得：c八，解得x>2,

[x-2>0

故选：B.

2

3.设命题xo+l=O,则命题p的否定为()

A.VxgR,x2+1=0B.VxeR,x2+10

22

C.3xogR,xo+l=OD.3x0eR,xo+l^O

【答案】B

【分析】根据存在命题的否定为全称命题可得结果.

【详解】•••存在命题的否定为全称命题，

命题p的否定为“VxeR,f+ixO”，

故选：B

4.某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有

9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由题意可得党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，即可得结果

【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9

人是大学生，

所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为15+9-20=4.

故选：C

5.已知等差数列｛%｝,E,是数列｛”“｝的前〃项和，对任意的〃eN*，均有风4$.成立，则

.不可能的值为（）

%

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】由已知分析可得％<0,公差d>0,讨论当4=0时，当％<0，%>0,时，4与4

的关系，计算即求得久的取值范围，得出结果.

%

【详解】等差数列｛%｝,对任意的〃eN*,均有&《S,成立，即$6是等差数列｛对｝的前〃项

和中的最小值，必有《<0,公差d>0,

当q=0，此时S5=£,吴、S6是等差数列｛对｝的前n项和中的最小值，此时综=4+5d=0,

当〃6<0,。7>0，此时§6是等差数列｛%｝的前〃项和中的最小值，此时〃6=〃|+5d<0,

幺+9

%=q+6d>0,即-6<—<-5,则—="+河=d-----=1+---，则有一^>4,

d%q+6d色+6曳+6"7

dd

综合可得：包之4分析选项可得：BCD符合题意；

%

故选：A

6.记△/8C的内角4,B,6的对边分别为a,b,c,Ksin2B+sin2C-sinSsinC+cos2A=l

试卷第2页，共18页

则4=（）.

兀r5兀_71-2兀

A.-B.■-C.-D.—

6633

【答案】C

【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；

【详解】解:由题意得sin?3+si解C+cos2A-\=sin2B+sin2C-sin2A=sinfisinC，

由正弦定理可得从+c2-

所以cos/l="^t=:，又Ze（0/）,所以4=1

2bc2J

故选：c

7.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口

市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥

林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯’'（先

后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）

成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场"鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈

的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆

引切线AC,BD（如图），且两切线斜率之积等于-三，则椭圆的离心率为（）

【答案】B

【分析】分别设内外层椭圆方程为W+《=1（〃>b>0）、

----7-~r=1(加〉1),进而设

a~b(mby

切线/C、8。分别为歹=勺（工+加。）、y=k2x+mb,联立方程组整理并结合△=0求勺、右关

于a、b、加的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.

【详解】若内层椭圆方程为《+《=1（。>6>0），由离心率相同，可设外层椭圆方程为

ab

22

（ma）2（mb）2

/.A(-ma90),B(0,mb)f设切线/C为)=勺(x+加。)，切线BD为y=k2x+mb,

y=k1（x+ma）

22

：.xy,整理得伍干+从1+2maWx+,"%W-q2〃=0,由A=o知:

F+.=I

[a2b2

（2,w%：）2-4（/父+〃）（病a%_/〃）=0,整理得奸=匕.一二

a\-m

y=k2x+mb

同理,x2y2]，可得抬一1），

r+r=lQ~

故选：B.

【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程

结合△=()及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.

8.已知函数/(x)=e“，21nx-/+ax,若/(幻>0恒成立，则实数〃的取值范围为()

A.g+8)B.(l,+oo)C.信+8)D.(G+8)

【答案】C

【分析】依题意可得e次+依>/+21nx=e?般+21nx，进而可得——在工«0,收)上恒

x

成立，构造函数必》)=亚，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值

X

范围.

【详解】/（X）>o等价于铲+G>f+21nx=e2m*+2U1X.

令函数gtr)=e，+x,则g'(X)=e'+l>0,故g(x)是增函数.

em+ax>e2g'+21nx等价于6>21nx(x>0),g[Ja>.

X

八十皿7/、21nx、2-2Inx

令函数力(x)=----，贝()〃(%)=----；—•

XX

当X£(o,e)时，h\x)>0,%(x)单调递增：当X£(e,+oo)时，h\x)<0,力(x)单调递减.

2

AWmax=A(e)=".

e

故实数a的取值范围为(I，+8).

故选：C.

二、多选题

9.设〃?eR,i是虚数单位，复数z=(w+2)+("L2)i.则下列说法正确的是()

A.若z为实数，则,〃=2B.若z为纯虚数，则〃?=-2

试卷第4页，共18页

C.当"1=1时，在复平面内z对应的点为Z（3,l）D.目的最小值为2g

【答案】ABD

【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定

义分别判断即可.

【详解】若z为实数，则虚部为0,即〃?=2,故A正确；

若z为纯虚数，则实部为0,即"7=-2,故B正确；

当，”=1时，z=3-i,则在复平面内z对应的点为Z（3,-l）,故C错误；

|z|=J（〃?+2）2+（加一2）2+8220（当且仅当〃7=o时取等号），故D正确，

故选:ABD.

10.若甲组样本数据为，々，…，x,（数据各不相同）的平均数为2,方差为4,乙组样本

数据3占+。，3x2+a,3x.+a的平均数为4,则下列说法正确的是（）

A.a的值为-2B.乙组样本数据的方差为36

C.两组样本数据的样本中位数一定相同D.两组样本数据的样本极差不同

【答案】ABD

【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据

同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.

【详解】由题意可知：3x2+a=4,故。=一2,故A正确；

乙组样本数据方差为9x4=36,故B正确：

设甲组样本数据的中位数为百，则乙组样本数据的中位数为3%-2,所以两组样本数据的样

本中位数不一定相同，故C错误；

甲组数据的极差为Xg-x*,则甲组数据的极差为=

所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；

故选：ABD.

11.下列说法正确的有（）

A.若x<:，则2x+」二的最大值是-1

22x-l

41

B.若x,y,z都是正数，且x+j，+z=2,则--+——的最小值是3

x+1y+z

C.若x>0,y>0,x+2y+2号=8,则x+2y的最小值是2

D.若实数x,y满足肛>0,则一匚+二的最小值是4-2a

【答案】ABD

【分析】对于A,凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B,根据基本不等式，结合“1”

的妙用，可得答案；对于C,根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，

可得答案；对于D,采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.

【详解】对于A,因为x<；,所以2x-l<0,所以l-2x>0,所以

2、+e=（21）+£+-［2）+匕］+V2.J（心）占=1,当且仅

当1-2》=丁1，即x=0时等号成立，所%+不二的最大值为-1,故A正确；

l-2x2x-\

对于B,因为x,y>z都是正数，且x+»+z=2,所以x+l+y+z=3,x+l>0,y+z>0,

d41\（4、

所以

.对

4115।4（y+z）।x+115+2,^±£1=3,

所以"1+枳=3>-

x+1y+z一3\x+ly+z

，当且仅当4&+：）=五1,即x+l=2（y+z）,即［:时等号成立，所以工+」一

的最小值为3,故B正确；

对于C,因为x>0,y>0,所,即2孙4（龙+『一（当且仅当x=2y时等

号成立），因为x+2y+2n，=8,所以2孙=8-（x+2y）,所以8《+2小,所以

（x+2y）2+4（x+2y）-32>0,解得x+2y4-8（舍去）或x+2y24,当且仅当x=2y=2时

等号成立，所以x+2y的最小值为4,故C错误；

对于D,令x+y=f,x+2y=s,则x=2f-s,y=s-t,因为孙>0,所以x,y同号，则

s,f同号，所以上+二2二=4一三一义44-4号哥=4一班，当且仅当士=&，即s="

x+yx+2ytsvtsts

时取等号，所以‘一+3-的最大值是4-2或,当且仅当X=。时，等号成立，故D正

x+yx+2y

确.

故选：ABD.

12.已知尸为椭圆C:g：=l的左焦点，直线/:尸质（心0）与椭圆C交于Z、8两点，

4£_Lx轴，垂足为E,8E与椭圆C的另一个交点为P,则（）

14

A.由+国的最小值为2B.■的面积的最大值为y/2

C.直线BE的斜率为!

D.为直角

2

试卷第6页，共18页

【答案】BCD

【分析】根据给定条件设出点/、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项

分析计算作答.

【详解】设椭圆C的右焦点尸'，由椭圆对称性知线段尸尸'互相平分于点0,则四边形

ZF8F为平行四边形，如图，

则尸|+|"|=|/尸|+|/尸'|=4,有由+向用+1W)(舟而

9|SF|4|

=*鼾调“当且仅当画二百,即

Q

|8/|=2|/尸|=；时取"=”，A不正确;

设他M，"。，则］4+会2杼9•詈，当且仅当手若，即

|%|=&|%|=应时取心”,

即|与卜|外区后，因ZELx轴，垂足为E,则S/B£=2S“OE=|XO|・|K/血，B正确;

因4(%,%),有丛=左，由椭圆对称性可得8(-%,-为)，而E(%,0),则直线BE的斜率

x()

kBE=-=\k,c正确：

2玉)2

22222222„2_,2i

设尸(〃?,〃)，由至+区=1及上-+土=1得，生二%+匚区=0,即—2^.=-

424242病一X：2

2211

直线以，尸8的斜率有原/%内=土也.生也=仁吗=_彳，而kpB=kB£=gk,

nt-xQm+%om-x022

于是得Ka=-g，有3屋=%1-g)=T，所以/P/8为直角，D正确.

故选：BCD

【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.

第H卷(非选择题)

三、填空题

13.长方体/3CD—44GR中，AB=AD=2,DDt=4,则点8到平面的距离为

0

【答案】I

【分析】建立空间直角坐标系，求平面4G。的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.

【详解】解：在长方体44G4中，以A为坐标原点，AB,AD,44所在直线分

别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为48=4。=2,44=4,所以4(0,。,0),5(2,0,0),。(2,2,0),£>(0,2,0),40,0,4),G(2,2,4),

设平面4C。的法向量为：n=(x,y,z)

葩=(2,2,0),丽=(0,2,-4)

.1万.4G=02x+2y=0,,一

［历.丽=02y-4z=0,…1得：〃=(-2,2,1)

又8。=(-2,2,0)

BD-n\|4+4+0|8

点B到平面4G。的距离为：一口一-j

3,

故答案为：I

14.已知单位向量£3的夹角为60",心-5与£垂直，则％=

【答案】y##0.5

【分析】由与£的数量积为0可得％值.

—1

【详解】tz-6=1x1xcos60°=—,

2

试卷第8页，共18页

__—_2—―1|

筋与£垂直，则(左。一6)・。=左。-ba=k--=Q,A=-.

故答案为：y.

15.若函数"x)=[(；—?x+l：E：的值域为R,则实数〃的取值范围是

【答案】[2,+8)

【分析】分a=l,a<1和a>l三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数

在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.

【详解】解：当x>l时，/(x)=x2-2nx+6=(x-@2+6

当a=l时，x>\,/(X)=X2-2«X+6=(x-a)-+6-a2>5,

x<l,/(x)=(a-l)x+l=l,

则此时函数/(x)的值域不是R,

故a=1不符合题意；

当a<1时，x>l,/(x)=x2-2ax+6>-2a+7,

x<l,/(x)=(6r-l)x+l>a,

则此时函数/(x)的值域不是R,

故a<1不符合题意；

当a>l时，x>l,/(x)-%2-2ax+6=(x-af+6-a2>6-a2,

x<\,/(x)=(a-l)x+l<a,

因为函数/(X)"(:9A+y-1,的值域为R,

[x-2ax+6,x>\

[a>1

所以6-/<J解得422,

综上所述实数。的取值范围是[2,+8).

故答案为：[2,+8).

16.已知耳，乃是双曲线，一/=1(〃>0,6>0)的左、右焦点，尸为曲线上一点，”隼=60。,

△PF、网的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e,则e?=.

12

【答案】y

【分析】根据双曲线的定义，设尸片=叽尸❷=〃，结合4；年=60。利用余弦定理可得

nw=4b2,再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达

式，进而列式求解离心率即可

【详解】由题意，'设PF、=m,PF2=n,因为/£氏=60。，故(2。2=〃22+〃2-2加〃3$6()0,

即4c2=(加-〃)~+加〃，根据双曲线的定义有4,=4/+〃?〃，故加〃=4〃.所以△尸百工的面

积为S=5〃z〃sin60u=6〃.又(〃2+〃)2=(加一〃『+4加〃=4W+16〃，故加+〃=2+3〃.

1[\h~

故内切圆半径「满足s=：(机+〃+2c)r=，解得/•=/；一.又△「£鸟的外接圆半

2y/c+3b2+c

径出满足2R=-^G，故尺=也，由题意半=/4」〃：,即,百#=6〃_，，

sm60°33Vc2+3ft2+C

所以/卜2+3此=(6材-/)\故5c2=12〃，故5c2=12c2-⑵2,解得e2=£

_12

故答案为：—

四、解答题

17.已知数列｛/｝的前〃项和为S“，且S“=2a”+1.

(1)求数列｛%｝的通项公式％;

(2)若S“=-127,求〃.

【答案】(1)%=-2"\(2)〃=7.

【分析】(1)由/、S”的关系求q,可得%=2%_|,根据等比数列的定义，即可写出｛%｝的

通项公式；

(2)由等比数列前〃项和公式有S“=-2"+l,结合已知条件求”即可.

【详解】(1)当〃=1时，q=-l；

当”22,an=Sn-Sn_t=(2a„+1)-(2an_,+1)=2a„-2a„..,,即。“=21，

•••｛%｝是首项为T,公比为2的等比数列，所以勺=-2"-1

⑵s=g=g=-2”+i,

"1-41-2

由Sn=T27,得一2"+1=-127,解得〃=7.

18.如图，在四棱锥尸一48a)中，底面/8C。是4长为的正方形，侧面以。_1_底面/8C。,

M为口的中点，PA=PD=y/[o.

试卷第10页，共18页

(1)求证：尸C〃平面8A/。；

(2)求二面角M-BD-P的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)30°

【分析】⑴连接4c交8D于N,连接由三角形中位线知MV〃尸C即得证；

⑵取力。的中点O,连接OP,OM说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以。。、ON、

OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-盯z.利用向量法即可求出二面角的

大小.

【详解】(1)连接/C交8。于N,连接

在正方形/BCD中，ACcBD=N,

DC

是4C的中点.

又〃是N尸的中点，

...AW是的中位线，MN//PC,

:MNu面BMD,PC0面BMD,

二尸C〃平面BMD,

(2)取力。的中点O,连接。P,ON.

在中，PA=PD,。是ND的中点，

OPVAD,

又平面P/D_L平面N8CD,OPu平面以。，平面PNOc平面=，

OPJ■平面48CD

在正方形/BCD中，O,N分别是的中点，

?.ONLAD,

：.OP,OD,ON两两相互垂直，分别以8,ON,O尸所在直线为x轴，y轴，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系。-用z

.••丽=(-3,0,半)，PP=(-2,0,76),丽=(-4,4,0).

设平面MBD的一个法向量或=(x,y,z),

则怛黑,即卜'+冬=必

［n,1DB,

i［-4x+4y=0,

取x=l,得〃］=（1,1,指）,

/.1=（1,1,&）是平面MBD的一个法向量：

同理，元=（百，百，应）是平面尸8。的一个法向量，

/一一\_,n21x^3+lx-\/3+A/6X-^2-^3

•・'"斓同.同"+『+（病2*J诋2+肉+（伪22

设二面角M-BD-P的大小为0,

由图可知，cos6=cos<或，/j^>=—,且6为锐角，

0=30°,

故二面角M-BD-P的大小是30°.

19.某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩

共分成五组:第1组［75,80）,第2组［80,85）,第3组［85,90），第4组［90,95），第5组［95,100］,

得到的频率分布直方图如图所示.且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分

及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入

复试.

试卷第12页，共18页

(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；

(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人,再从这5人中选2人发言，

那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？

(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%

的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接

进入复试？

【答案］⑴82.5

⑵2

10

(3)93

【分析】(1)根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；

(2)先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再计算出事件“5人中选2人”有

10种可能，其中事件“至少有一人是“优秀有9种可能，最后根据古典概型的公式即可求解；

(3)由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6,列方程组求出a=0.04,

»=0.06,接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为

至少x分能进入面试，由此可得(95-x)x0.04+0.02x5=0.18,即可求解.

(1)

根据样本频率分布直方图估计样本的众数为:(80+85)=82.5；

(2)

“良好，，的学生频率为(0.01+0.07)x5=0.4,“优秀”学生频率为1-0.4=0.6；

由分层抽样可得“良好”的学生有5x04=2人，“优秀”的学生有3人，

将三名优秀学生分别记为小B,C,两名良好的学生分别记为a,b,

则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，

其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，

所以至少有一人是“优秀”的概率是P=\

⑶

由第三、四、五组的人数成等差数列得

(0.02+»)x5x40=2/Mx5x40=>0.02+n=2m,①

又由(2)知("+0.02+m)x5=0.6,(2)

由①②可得m=0.04,n-0.06

第五组人数频率为0.02x5=0.1=10%,

第四、五组人数的频率为(0.02+0.04)x5=0.3=30%,

故初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组,设至少得x分能进入面试,

贝IJ(95-x)x0.04+0.02x5=0.18nx=93,

即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试.

°八6rc兀-bsin/1/r^sin8+sinCa,,_

20.在①+。2-6~)sin8=——ac且8>:；(2)-------=V3<7；③二一-——:—7—这二

\>241-cososin/1-sinCb-c

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

问题：在“5C中，角4民。的对边分别为a,6,c,且.

⑴求8；

(2)若。为边NC的中点，且a=3,c=4,求中线8。长.

【答案】(1)8=?

⑵卑

2

【分析】(1)若选①：利用余弦定理和二倍角公式得到sin28=^,求出8=f；若选②：

利用正弦定理和夹角公式sin(3+?]=乎，求出8=。；若选③：由正弦定理和余弦定理

7T

求出8=工.

3

(2)利用余弦定理求出6=2若，利用数量积的运算即可求出8。长为叵.

2

【详解】(1)若选①：(a2+c2-/)sin8=*ac，a2+c2-b2=2accosB，

所以2accosBsinB=,所以sin2S=.

22

又工<8〈万，所以工<28<2万，所以28=生，所以8=工.

4233

若选②：由正弦定理得号1ngs=不sinA,因为siMxO,

1-cosfi

试卷第14页，共18页

_V3

所以sinB=V^—A/5COS8,即sin14+3

一2

由0<8<肛。<8+。<?,所以8+(=与，所以3=。.

1222

若选③：由正弦定理得上£=二，^a+c-b=ac，

a-cb-c

,>9,2ac_1

由余弦定理得

2ac2

TT

又0<8<乃，所以B=].

(2)在A/8C中，由余弦定理得b2=/+c2-2accos8=9+16-12=13，所以b=而,

------，2

又防衣=(而+羽.(而+反)=而?--—>

所以34cosg=诙2-U,所以中线8。长为也.

342

21.已知二项式(2》+白](〃eN*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,

按要求完成以下问题：

⑴求”的值；

(2)求展开式中4的系数；

⑶计算式子或2,+或2$+C⑵+CN+C：2?+C?+戊2。的值.

【答案】⑴6

(2)1

(3)729

【分析】(1)由二项式系数以及组合数公式可得出关于〃的等式，即可解得〃的值;

(2)写出展开式通项，令x的指数为-3,求出发的值，代入通项后即可得解；

(3)在二项式中令x=l可求得所求代数式的值.

(I)

解：由题意可得£=岛=高=|,解得〃=6.

⑵

解：的展开式通项为?；“=《.(2x)1.二C：”.x2

1

令6-彳=-3,可得4=6,因此，展开式中《的系数为C32°=l.

2x

（3）

解:令x=l可得（2+炉=729=媒26+域25+篌24+嫁23+或22+贬21+仁2°.

22.已知双曲线C：「-E=l（a＞。力＞。）的右焦点为尸（2，°），。为坐标原点，点/，B

ab-

分别在C的两条渐近线上，点尸在线段48上，且。/，月8,|。4|+|。邳=6|/用.

（1）求双曲线C的方程：

（2）过点尸作直线/交C于P,°两点，问；在x轴上是否存在定点〃，使|心「+阿0「一忸02

为定值？若存在，求出定点"的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.

【答案】（吟一必=1

（2）存在,Af你0）,~

【分析】（1）不妨设点A在第一象限N/OF=a,即可表示出|0H，”却，根据

\OA\+\OB\=^\AB\得到方程，即可求出tana,从而得到°=®,再根据c=2及/=/+/,

求出〃、b,即可得解；

⑵设点+|加才-归02=3分别求出直线与坐标轴垂直时力的值，根据

4为定值，得到方程，即可求出2及W的坐标，再对直线/不与坐标轴垂直时，设直线/的

方程为x="+2、P（XQJ,。（乙,%）,联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理,

表示出2从而计算可得；

【详解】（1）解：不妨设点A在第一象限4OP=a,则4O8=2a.

因为。则=81cos2a,\AB\=\OB\sm2a.

由已知,\OB\cos2a+\OB\=y/3\OB\sm2a,BPcos2a+1=sin2a,即

2cos2a=2^/3sinacosa.

因为cosa=0,贝Ucosa=Wsina,BPtana--j=.

因为a为渐近线04的倾斜角，则3=上，即a=&.又心+〃=2,则a=0，6=1.

2

所以双曲线C的方程是r工-/=[

3.

（2）解：解法一：

设点M（〃?,0）,|皿^+|叫2_户@2=九

试卷第16页，共18页

21

当/_Lx轴时，直线/的方程为X=2,代入y土得”土

-（3）=2m2-8w+y.

不妨设点P