几类非局部椭圆型方程解的存在性

几类非局部椭圆型方程解的存在性

椭圆型方程在数学中扮演着重要的角色，它们涉及到许多领域的问题，如物理学中的传热、流体力学中的流动方程和弹性力学中的材料特性等。而非局部椭圆型方程则是椭圆型方程的一种扩展，它们的解的存在性问题更加复杂。本文将研究，并通过一些具体例子进行讨论。

首先，我们考虑非局部椭圆型方程的一种形式：

$$(-\Delta)^su(x)=f(x)$$

其中，$(-\Delta)^s$表示Riesz分数阶导数算子，$0<s<1$，$u$是未知函数，$f$是已知函数。

我们先来讨论s=1/2的情况。这时，方程可以简化为：

$$(-\Delta)^{1/2}u(x)=f(x)$$

为了证明方程存在解，我们可以利用傅里叶变换。将$u(x)$和$f(x)$同时做傅里叶变换，得到：

$$\hat{u}(\xi)=\frac{\hat{f}(\xi)}{|\xi|^s}$$

其中，$\hat{u}(\xi)$和$\hat{f}(\xi)$分别是$u(x)$和$f(x)$的傅里叶变换，$|\xi|$表示$\xi$的绝对值。通过反演傅里叶变换，我们可以得到方程的解：

$$u(x)=c\cdot(-\Delta)^{-1/2}f(x)$$

其中，$c$是一个常数。

接下来，我们讨论s不等于1/2的情况。此时，方程变为：

$$(I-(-\Delta)^s)u(x)=f(x)$$

其中，$I$是单位矩阵。我们需要寻找函数$v(x)$，使得$(-\Delta)^sv(x)=f(x)$。然后，我们可以通过求解以下方程来得到$u(x)$的表达式：

$$(I-(-\Delta)^s)u(x)=(-\Delta)^sv(x)$$

这是一个关于$u(x)$的抽象方程，通常需要借助一些分析工具来研究解的存在性。

我们可以通过一个具体例子来说明上述方法的应用。考虑如下方程：

$$(-\Delta)^su(x)=|u(x)|^{p-2}u(x)$$

其中，$p>1$。我们先找到方程的零解$u(x)=0$。然后，我们寻找一个特定的函数$v(x)$，使得$(-\Delta)^sv(x)=|v(x)|^{p-2}v(x)$。假设$v(x)$形式为：

$$v(x)=|x|^{-(n+2s)}$$

其中，$n$是空间维度。我们可以通过验证得出，对于$p=(n+2s)/(n-2s)$，函数$v(x)$满足上述方程。然后，我们可以通过求解以下方程来得到$u(x)$的表达式：

$$(I-(-\Delta)^s)u(x)=(-\Delta)^sv(x)$$

这是一个关于$u(x)$的抽象方程，我们可以利用柯西-黎曼算子的性质和分部积分等技巧，将方程转化为一个更易求解的形式，并得到$u(x)$的具体表达式。

通过上述例子，我们可以看出，对于非局部椭圆型方程的解存在性问题，我们可以利用傅里叶变换和抽象方程的方法进行分析。具体而言，对于s=1/2的情况，我们可以直接得到解的表达式；对于s不等于1/2的情况，我们可以通过求解抽象方程来获得解的表达式。当然，这只是非局部椭圆型方程解存在性问题中的一小部分内容，更多深入的研究仍然需要进一步的努力综上所述，通过傅里叶变换和抽象方程的方法，我们可以对非局部椭圆型方程的解存在性问题进行分析。对于s=1/2的情况，我们可以直接得到解的表达式；对于s不等于1/2的情况，我们可以通过求解