2022年全国中考数学提优集锦

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一.选择题（共4小题）

1.把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器

使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处

C.（8,\/3"—）cn?D.（16^/3_—Tt）cm2

33

2.如图，已知菱形A8C。的边长为4,E是BC的中点，AF平分NEAO交C。于点凡FG

〃A。交AE于点G.若cosB=上，则FG的长是（）/

…B-t4/A-^4

C.2^^D.5/\/

32BEC

3.在多项式》-），-2-〃?-〃中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算

顺序重新运算，称此为“加算操作例如：（x-y）-（z-/«-n）—x-y-z+m+n,x

-y-（z-，*）-n—x-y-z+m-n,

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0;

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.下面的三个问题中都有两个变量:

①汽车从4地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时

间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余

水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，

矩形的面积y与一边长x.

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图

象表示的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二.填空题(共6小题)

5.如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：

(1)分别以点A,8为圆心，大于工8的长为半径作弧，两弧相交于E,尸两点，作直

2

线EF；

(2)以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A8,AC于点G,H,再分别以点G,

”为圆心，大于1G”的长为半径画弧，两弧在N8AC的内部相交于点。，画射线40,

2

交直线所于点M.已知线段A8=6,/8AC=60°,则点M到射线AC的距离为

6.2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一

时刻观测点。测得返回舱底部C的仰角/CDE=45°,降落伞底面圆A点处的仰角ZADE

=46°12'.已知半径OA长14米，拉绳A8长50米，返回舱高度BC为2米，这时返

回舱底部离地面的高度CE约为米(精确到1米).

(参考数据:sin46°⑵心0.72,cos46°⑵-0.69,tan46°12'=1.04)

7.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点8和C为圆心，以大于」8C的长为

2

半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边AB于点E.若AC=5,BE=4,Z

B=45°,则AB的长为.

8.如图，四边形ABC。是正方形，点E在边上，ABE尸是以E为直角顶点的等腰直角

三角形，EF,BF分别交CO于点M,N,过点尸作A。的垂线交AZ)的延长线于点G.连

接。凡请完成下列问题：

(1)NFDG=0；

(2)若DE=1,DF=2近,则MN=.

9.如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已知①和②能够重合，

③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,且a>b.

(1)若小b是整数，则PQ的长是；

(2)若代数式J-2ah-b2的值为零，则萼起型吧的值是_______.

S矩形P3MN

10.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把

这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这

个圆的半径为.

三.解答题(共17小题)

11.如图，在。ABC。中，P是线段BC中点，联结BO交AP于点E,联结CE.

(1)如果AE=CE.i.求证：Q48CD为菱形；

ii.若AB=5,CE=3,求线段8。的长；

(2)分别以AE,BE为半径,点A,B为圆心作圆，两圆交于点E,F,点F恰好在射线

CE上，如果CE=&AE,求鲤•的值.

BC

B

12.在平面直角坐标系xOy中，抛物线了=y+以+。过点A(-2,-1),B(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)平移抛物线，平移后的顶点为P(m,〃)(加＞0).

i.如果&OBP=3,设直线X=&,在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势,

求上的取值范围；

ii.点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点。，且NBPQ=120°,求点尸的坐标.

13.在平面直角坐标系中，抛物线y=--1?+(w-1)x+2m与x轴交于A,B(4,0)两

2

点，与y轴交于点C,点尸是抛物线在第一象限内的一个动点.

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A,C的坐标；

(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AA7,OM,是否存在点例使AA/+OM

最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图乙，过点尸作PFJ_BC,垂足为F,过点C作CDLBC,交x轴于点Q,连接

DP交BC于点E,连接CP.设aPE尸的面积为Si,△PEC的面积为S2,是否存在点P，

使得且最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

S2

甲乙

14.综合与实践

知识再现

如图I,RtZXABC中，ZACB=90°,分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积

为51、S2、S3.当Si=36,S3=100时，S2=.

问题探究

如图，Rt/XABC中，ZACB=90°.

(1)如图2,分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为Si、S2、$3,

则Si、S2、S3之间的数量关系是.

(2)如图3,分别以8C、C4、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、S5>Ss，试猜

想S4、S5、S6之间的数量关系，并说明理由.

实践应用

(1)如图4,将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△8GH,ZMCE绕点A

顺时针旋转一定角度至△AMN,GH、相交于点P.求证：SAFHN=S闪边彩PMFG；

(2)如图5,分别以图3中Rt^ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得

图形为底面作柱体，BC、C4、A8为直径的半圆柱的体积分别为■、丫2、V3.若AB=4,

柱体的高〃=8,直接写出口+生的值.

15.如图，一次函数〉=履+/?(kWO)的图象与x轴、y轴分别相交于C、8两点，与反比例

函数)，=典(m#0,%>0)的图象相交于点A,OB=1,tanN08C=2,BC：CA=1：2.

x

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点。是线段AB上任意一点，过点D作)，轴平行线，交反比例函数的图象于点E,

连接BE.当△BCE面积最大时，求点。的坐标.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=fcc-3(ZWO)与抛物线y=-7相交于A,

B两点(点4在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为8.

(1)当々=2时，求A,8两点的坐标；

(2)连接OA,OB,AB',BB',若△BAB的面积与△045的面积相等，求人的值；

(3)试探究直线是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明

备用图

17.如图，在矩形ABCQ中，AD^nAB(〃>1),点E是AO边上一动点(点E不与A,D

重合)，连接BE,以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFGs矩形ABCD,

EG交直线CD于点H.

【尝试初探】

(1)在点E的运动过程中，AABE与△£>即始终保持相似关系，请说明理由.

【深入探究】

(2)若〃=2,随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当”是线段CD中点

时，求tan/ABE的值.

【拓展延伸】

(3)连接BH,FH,当是以五，为腰的等腰三角形时，求tan/A8E的值(用含〃

的代数式表示).

备用图

F

18.已知四边形ABCD中，BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接

DE.

(1)如图1,若OE〃BC,求证：四边形BCOE是菱形；

(2)如图2,连接AC,设B。，AC相交于点F,OE垂直平分线段AC.

(i)求/CEO的大小；

(ii)若AF=AE,求证：BE=CF.

19.如图1,隧道截面由抛物线的一部分AE£>和矩形ABC。构成，矩形的一边BC为12米,

另一边A8为2米.以BC所在的直线为x轴，线段8c的垂直平分线为y轴，建立平面

直角坐标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点.

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)在隧道截面内(含边界)修建“E”型或“口”型栅栏，如图2、图3中粗线段

所示，点P，&在x轴上，MN与矩形PP2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长/为图中

粗线段P|P2,P2P3,p3P4,MN长度之和，请解决以下问题：

(i)修建一个“E”型栅栏，如图2,点尸2,P3在抛物线AED上.设点Pl的横坐

标为相(0<〃?W6),求栅栏总长/与，〃之间的函数表达式和/的最大值；

(ii)现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“E”型和“口”型两种设计方

案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形PiP2P3P4面积的最大值，及取最大值时点

P\的横坐标的取值范围(P1在24右侧).

图1图2图3(方案一)图3(方案二)

20.如图，以AB为直径的。0与A”相切于点A,点C在AB左侧圆弧上，弦交

。。于点。，连结AC,AD点A关于C£＞的对称点为E,直线CE交。。于点尸，交AH

于点G.

(1)求证：ZCAG=ZAGC；

(2)当点E在AB上，连结AF交C£＞于点P,若上2=2,求工巳的值；

CE5CP

(3)当点E在射线A8上，AB=2,以点A,C,O,F为顶点的四边形中有一组对边平

行时，求AE■的长.

21.如图，已知点M（xi，yi）,N（X2,”）在二次函数y=a（x-2）2-1（a>0）的图象

上，且％2-XI=3.

（I）若二次函数的图象经过点（3,1）.

①求这个二次函数的表达式；

②若yi=y2.求顶点到MN的距离；

（2）当xiWxWx2时，二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在对称轴的异侧，

求a的取值范围.

22.在正方形ABC。中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F

在边BC上，且AE=2B凡连接EF,以EF为边在正方形4BC£＞内作正方形EFGH.

（1）如图1,若AB=4,当点E与点例重合时，求正方形的面积.

（2）如图2,已知直线HG分别与边A。，BC交于点/,J,射线EH与射线AO交于点

K.

①求证：EK=2EH；

s

②设/AEK=a,△FGJ和四边形AEH/的面积分别为Si，必求证：-^-=4sin2a-1.

S1

23.设二次函数yi=2，+6x+c(6,c,是常数)的图象与x轴交于A,8两点.

(1)若A,8两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数)，i的表达式及其图象的对称

轴.

(2)若函数”的表达式可以写成yi=2(x-/2)2-2"是常数)的形式，求什c的最

小值.

(3)设一次函数”=x-%(机是常数)，若函数yi的表达式还可以写成yi=2(x-/n)

(x-m-2)的形式，当函数y=yi的图象经过点(x(),0)时，求x()-,"的值.

24.如图，在锐角△ABC中，/A=60°,点£>,E分别是边AB,AC上一动点，连接BE

交直线CO于点F.

(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,ZBCD=ZCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若A8=AC,且B£>=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°

得到线段CM,连接MF,点N是M尸的中点，连接CN.在点。，E运动过程中，猜想

线段8尸，CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,

点”是4尸的中点，点K是线段P尸上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平

面内得到△QHK,连接P。.在点、D,E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QKJL

PF时，请直接写出曳的值.

BC

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y^l^+bx+c与直线AB交于点A(0,-4),B

2

(4,0).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C,过

点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)中PC+PO取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位,

点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴

上一点.在平移后的抛物线上确定一点M使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平

行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的

过程.

vm

备用图

26.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到

的两位数，则这个四位数用为“勾股和数”.

例如：M=2543,V32+42=25,2543是“勾股和数”；

又如：M=4325,V52+22=29,29W43,...4325不是“勾股和数”.

(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”，并说明理由;

(2)一个“勾股和数”M的千位数字为小百位数字为6,十位数字为c,个位数字为4,

记G(A/)P(M)=।10(a-c)+(b-d)].当G(〃)，P(M)均是整数时,

93

求出所有满足条件的M.

27.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.

对于点尸给出如下定义：将点P向右(。20)或向左(a<0)平移同个单位长度，再向

上(b20)或向下(6<0)平移⑸个单位长度，得到点P',点P'关于点N的对称点

为Q,称点。为点尸的“对应点

(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上.若点P(-2,0),点。为点P

的“对应点”.

①在图中画出点。；

②连接PQ,交线段ON于点T,求证：NT=LOM；

2

(2)的半径为1,M是上一点，点N在线段OM上，且ON=f若

2

P为。。外一点，点。为点P的“对应点”，连接尸Q.当点M在。。上运动时，直接写

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参考答案与试题解析

选择题（共4小题）

1.【解答】解：在RtZ\OCF中，180°-/BOF=60°,

.♦.N。尸C=30°,VOC=2cm,：.OF=2OC=4cm,连接。E,贝ljOE=O尸=4c〃i,

在RtZXBOE中，NB=30°,：.ZDOE=60°,OB=2OE=Scm,

根据勾股定理得，BE=7OB2_OE2=4V3,

2

：.s映=SABOE-S礴彩DOE=LBE・OE-兀>4-=』X4yX4-&ir=(8百-当)

2360233

cm2,故选：C.

2.【解答】解：方法一，如图，过点4作于点”，过点

尸作尸QJ_A。于点Q,

•.,菱形ABCD的边长为4,：.AB=AD=BC=4,

'/COSB=^1=A,/.BH—1,

AB4

•'-AH=>/AB2-BH2=寸/_12=</15,

；E是BC的中点,：.BE=CE=2,

\EH=BE-BH=1,；.AH是3E的垂直平分线,

,.AE=AB=4,；4尸平分/£4。，AZDAF=ZFAG,'：FG//AD,

\ZDAF=ZAFG,：.ZFAG=ZAFG,：.GA=GF,设GA=GF=x,

."AE—CD,FG"AD,.".DF—AG=x,cosD=cosB=^-=—,

DF4

\DQ=h,.••皈=加2_口132=/2_申)2=琴^，

•*s梯形CEAD=S悌形CEG/s梯形GFDA，

\Ax(2+4)XV15=A(2+X)X(^/15-+A(x+4)解得工=区,

224243

则FG的长是B.

3

方法二：如图，作A”垂直BC于"，延长AE和OC交于点M,

菱形ABCD的边长为4,：.AB=AD=BC=4,

A

VCOSB=M=A,/

AB4/A\/

是BC的中点，：.BE=CE=2,/.\

：.EH=BE-BH=\,；.A”是BE的垂直平分线，/：\f

：.AE=AB=4,所以AE=A8=EM=CM=4,BHE-C

**

（••

设GF=x,则AG=x,GE=4-x,由G尸〃8C,\/

••

>••

：.^\MGF^/\MEC,解得》=&.故选：B.\

x8-x3\；

f1Z

3.【解答】解：①（x-y）-z-m-n=x-y-z-m-n,与

原式相等，故①正确；

②'.,在多项式x-y-z-〃?-〃中，可通过加括号改变z,/〃，〃的符号，无法改变x,y的

符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；

③在多项式x-y-z-力-〃中，可通过加括号改变z,加，"的符号，加括号后只有加减

两种运算，•••2X2X2=8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果.

故选：D.

4.【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加

而减小，故①符合题意；将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y

随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一

定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；所以变量y与变量x之间的函数

关系可以用如图所示的图象表示的是①②.故选：A.

二.填空题（共6小题）

5.【解答］解：如图所示：根据题意可知：所是线段的垂直平分线，AO是/8AC的平

分线，\'AB=6,ZBAC=60Q,

AZBAO=ZCAO=^ZBAC=3f)°,A£>=LB=3,

22

：.AM=2MD,在RtZ\4£)M中，(2MD)2=MD1+AD1,

即4MD2=MD1+32,

:.MD=M，

•.•AM是/AOB的平分线，MD1AB,

点M到射线AC的距离为焉.故答案为：V3.

6.【解答】解：在RtZXAOB中，由勾股定理得，°B=YAB2-0A2r5()2-142=48(而，

AAF=OE=OB+BC+CE=4S+2+CE,VZCDE=45°,ZDEC=90°,

：.DE=CE,设DE=CE=xm,则AF=(50+x)m,DF=(x-14)m,

•.•/4OE=46°12'.；.tan46°12'=更=^1^_=1.04,

DFx-14

解得卡«1614,...CE=1614米，故答案为：1614.

7.【解答】解：设例N交BC于。，连接EC,如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平

分线，：.BE=CE=4,

...NECB=NB=45°,AZAEC=ZECB+ZB=90°,

在RtZXACE中，AE={AC?-CE2{52_423,

.•.A8=AE+BE=3+4=7,故答案为：7.

8.【解答］解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等

腰直角三角形，，NAEB+NGEF=90°,

帜ZAEB+ZABE=90°：.ZGEF=ZABE,

，ZGEF=ZABE

在△ABE和△GEF中，.ZA=ZG=90°，

,BE=EF

:.AABE@AGEF(AAS),：.EG=AB=AD,GF=AE,

B|JDG+DE=AE+DE,：.DG=AE,：.DG=GF,

即△OGF是等腰直角三角形，.•.//7)G=45°,

故答案为：45°；

(2)-：DE=l,DF=2y[i，由(1)知，△OGF是等腰直角三角形,

：.DG=GF=2,A8=A£>=CZ)=ED+£)G=2+1=3,延长GF交8c延长线于点H,

J.CD//GH,：.4EDMs丛EGF,；.独即蛇」，

GFEG23

：.MD=2L,同理△BNCSZ\8F，，AJBC,即.NC_=BC,

3FHBHGH-GFBCKH

A，NC=旦，：.MN=CD-MD-NC=3-2-&=为,故答案为：变.

3-23+25351515

9.【解答】解：(1)由图可知：PQ=a-b,故答案为：a-b；

(2)Va2-lab-Z>2=0,：.a2-b2=2ab,Ca-b)2=2b2,(负值舍)，

.四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,:.EP=$,EN=§,

ab

则S四边形ABO=（a+b）口）=（a+b）号=a2+2ab+b2-=

S矩形FQMNQ-b）卢至）（a-b）W-a2-2ab+b2b2

baab

（加+?2b2=3+2&故答案为：3+25/2.

b2

10.【解答】解：如图，•.•圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，

，圆心。就是三角形的内心，，当。。过点C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截

得的弦相等，即CG=CF=/）E,此时。。最大，

过点。分别作弦CG、CF、QE的垂线，垂足分别为P、N、M,连接OC、04、0B,

■:CG=CF=DE,：.0P=0M=0N,

VZC=90°,4B=2,AC=BC,，AC=BC=®X2=&,

2

由S^AOC+S^BOC+S^AOH=S^ABC>•'■^AC'OP+—BC,ON+^AB,OM=SAABC=^C,BC,

2222

设OM=x,贝i」OP=ON=x,

解得x=&-l,即OP=ON=&-1,

在RtaCON中，OC=&ON=2-故答案为：2-&.

连接AC交B£＞于点0,

图1

•.,四边形A8C£>是平行四边形，；.O4=0C,\'AE=CE,OE=OE,

.♦.△AOE丝△COE(SSS),:.NAOE=NCOE,：/AOE+/COE=180°,

：.ZCOE=90°,：.AC1.BD,.四边形ABC。是平行四边形，8c。为菱形;

ii.解：*.•04=OC,是△A8C的中线，为BC的中点，.'AP是△4BC的中线,

...点E是△ABC的重心，；.BE=2OE,设OE=x,则8E=2r,

在Rtz^AOE中，由勾股定理得，OA2=AE2-0^-=^--%2,

在RtZXAOB中，由勾股定理得，OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9?,

.•.9-7=25-9/,解得*=料(负值舍去)，，O8=3x=3我，

:.BD=2OB=6M；

(2)解：如图，；OA与08相交于E,F,C.ABLEF,

由（1）②知点E是AABC的重心，

又：尸在直线CE上，；.CG是△ABC的中线，

：.AG=BG=1AB,EG=LCE,"：CE=J2AE,

22

：.GE=^AE,CG=CE+EG^^^-AE,

22

2122

：.AG=AE-£G=AE-（2^_AE）2=1AE2,

，AG=2Z^_AE,，AB=2AG=&AE,Z.BC2-

2

BG2+CG2=XiE2+（3号皿）2=5AE2,

：.BC=45AE,AB=V2AE=V10

BCV5AE5

12.【解答】解：(1)将A(-2,-1),8(0,-3)代入产工2+陵+0得:

2

<f-l=2-2b+c1解得"b=0，，抛物线的解析式为产12一3.

I-3=cIc=-32

(2)i.；丫=12_3,.•.抛物线的顶点坐标为(0,-3),

2

即点8是原抛物线的顶点，•.•平移后的抛物线顶点为尸(〃?，"),

抛物线平移了|，加个单位，.•.SAOPB=』X3|〃?|=3,:〃〉。,

2

.♦.,"=2,即平移后的抛物线的对称轴为直线x=2,

•.•在x=Z的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上，，4与2；

如图，过点P作PC_Ly轴于C,则PC=|/n|,

"：PB=PQ,PCIBQ,

.•.BC=」BQ=L"2,ZBPC=AzBPe=—X1200=60。，

2222

、2

而或，〃=-料(舍),

.•.tan/8PC=tan60°=2^=r；,"=22

PCIml

2点的坐标为禽，

.,.n=-^-m-3=3,...P(23).

13.【解答】解：(1)将B(4,0)代入y=-A?+(m-1)x+2m,

2

-8+4(w-1)+2m=0,解得/n=2,...y=--1^+犬+4,令x=0,则y=4,

2

：.C(0,4),令y=0,贝|J-X?+x+4=0,解得x=4或x=-2,；.A(-2,0)；

2

(2)存在点〃使AM+OM最小，理由如下：

作O点关于BC的对称点O,连接47交BC于点M,连接8(7,

由对称性可知，0M=0'M,：.AM+OM=AM+O'M^AO',

当A、M,0,三点共线时，AM+OM有最小值，

,：B(4,0),C(0,4),：,OB=OC,.../C8O=45°,

由对称性可知NOBM=45°,J.BO'LBO,：.O'(4,4),

设直线AO'的解析式为尸fcv+6,.•.卜2k+b=0,解得＜

I4k+b=4

.,.y=2^+A,设直线BC的解析式为)=Z'x+4,，M+4=0,：.k'=-1,

33

/.(8

y=-x+4x=^-

，y=-x+4,联立方程组194,解得Ic，，M(B，理)；

—xY„,1255

(3)存在点P,使得---取大,理由如下：连接P8,过P点作PG〃y轴交CB于点G,

S2

设P(f,-_lp+/+4),则G(3-r+4),：.PG=-l^+2t,'：OB^OC=4,：.BC=4y/2>

22

.,.5Aecp=—X4X(-A?+2/)=-?+4Z=AX4&XPF,：.PF=-

2224

yCDIBC,PFA,BC,：.PF//CD,...空=里,

CECD

Cq

—.,：B,。两点关于y轴对称，.♦.C£>=4&,

s2CEs2CD

.•.旦=--L(?-4z)---L(r-2)2+A,

•.•尸点在

s216164

第一象限内，

Sii

.•.当f=2时，，有最大值上,

$24

此时P(2,4).

14.【解答】知识再现：解：：RtA4BC中，ZACB-900,：.AB2^AC2+BC2,

：.Si+S2=S3,；Si=36,53=100,.*.52=64,故答案为：64；

问题探究：(1)解：：RtZ\ABC中，NACB=9O°,：.AB2=AC2+BC2,

/.XIB^AAC^+A/JC2,；.SI+S2=S3，故答案为：Si+S2=S3;

222

(2)解：•.,n△ABC中，ZACB=90°,：,AB2=AC2+BC2,

过点。作£>GJ_8c交于G,在等边三角形BCD中，CD=BC,CG=1BC,

2

；.DG=^-BC,:.S4=工乂BCX叵-BC=^-Bd,

2224

同理可得S5=近4C2,%=返工82,

44

^AAB2^'^.AC2+^-BC1,

444

；.S4+S5=S6；实践应用：(1)证明：设AB=c,BC=a,AC=b,

：.HN=a+b-c,FG=c-a,-b,：ZSZ/GB是等边三角形,

/\ABF是等边二角形,

J.HG//AF,MN//BF,：.NHPN=6O°,图3

...△//NP是等边三角形，四边形MFGP是平行四边形，

:•SGPMN」^^-(a+b-c)2,S四边形PMFG=^^~(c-«)(c-b),

42

•..△ABC是直角三角形，...d=/+/,

(a+b-c)2=返(a2+/>2+c2+2a/?-2bc-2ac)(d+ab-be-ac)(c

422

-a)(c-b),:・SGPMN=S四边形PMFG；

(2)解：设AB=c,BC=a,AC=h,以AB为直径的圆的面积为S3、以8C为直径的圆

的面积为Si、以AC为直径的圆的面积为的，

：△ABC是直角三角形，二^二j+庐，.•.匹/=旦2+?52,.•.S]+S2=S3,

444

'：V2=—S2h,V1=151/2,V3=AS3/2,：.V2+V\=—(S1+S2)h=ls3h=V3,

22222

\'AB=4,h=8,.^3=—S3/j=AxirX4X8=16n,AVi+V2=16n.

22

15.【解答】解：(1)如图，过点A作AFLx轴于点凡厂〃y轴，

A/\ACF^/\BCO,：.BC：AC=OB-.AF=OC：CF=1：2.

；。8=1,tanZOBC=2,；.0C=2,：.AF=2,CF=4,：.0F=0C+CF=6,

'.A(6,2)...•点A在反比例函数丫=典(m^O,x>0)的图象上,

；./"=2X6=12..,.反比例函数的表达式为：丫=卫(x>0).

(2)由题意可知，B(0,-1),.•.直线48的解析式为：y=Xx1.

2

设点D的横坐标为/,则D(/,1/-1),E(/,空).

2t

：.ED=1L-Ar+l.：./\BDE的面积为：

t2

A(r-0)(A?.-L+i)=-JLP+L+6

2t242

=-A(/-1)2+空；-A<o,

444

，f=l时，的面积的最大值为空，此时0(1,-A).

42

16.【解答】解：(1)当％=2时，直线为y=2x-3,

由，y-2x3得：卜=-3或1x=l,A(一3,_9),B(1,-1)；

V=-X2ly=-9ly=-l

(2)当《>0时，如图：的面积与△048的面积相等,

：.OB'//AB,：.N0B'B=NB'BC,

,:B、8'关于y轴对称，：.0B=0B',NODB'=90°,

：.ZOB'B=ZOBB',：.Z0BB'=ZB'BC,

,：ZODB^90a=NCDB,BD=BD,：./\B0D注△BCD(ASA),

：.OD=CD,在y=fcv-3中，令x=0得y=-3,

：.C(0,-3),OC=3,

：.OD=^OC=^-,D(0,-S),

222

22

在y=-x中，令y=-3得-3=-%,解得》=近_或x=-