新高考数学一轮复习课时跟踪检测（四十七）直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

PAGE课时跟踪检测（四十七）直线与圆锥曲线的位置关系一、综合练——练思维敏锐度1．直线y＝eq\f(b,a)x＋3与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的交点个数是()A．1 B．2C．1或2 D．0解析：选A因为直线y＝eq\f(b,a)x＋3与双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq\f(10,3)，则|AB|＝()A.eq\f(13,3) B．eq\f(14,3)C．5 D．eq\f(16,3)解析：选D过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋eq\f(10,3)＝eq\f(16,3).3．(2021·佛山模拟)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为()A．2 B．eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．eq\r(2)解析：选D∵过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝eq\f(b,a)x平行，∴eq\f(b,a)＝1，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2).4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为()A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，①,y\o\al(2,2)＝4x2，②))①－②得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝eq\f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.5．(多选)设椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是()A．直线AB与OM垂直B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq\f(4\r(2),3)解析：选BD对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－eq\f(4,2)＝－2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－eq\f(4,3)，所以|AB|＝eq\r(1＋12)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)－0))＝eq\f(4\r(2),3)，所以D项正确．6.如图，过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选C由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq\f(a2－c2,a)，于是k＝eq\f(a2－c2,aa＋c).又eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2－c2,aa＋c)<eq\f(1,2)，化简可得eq\f(1,3)<eq\f(1－e2,1＋e)<eq\f(1,2)，从而可得eq\f(1,2)<e<eq\f(2,3)，选C.7．(2021·漳州质检)已知双曲线E：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，则直线l的方程为()A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1，))两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),4)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,2)×eq\f(x1＋x2,y1＋y2).又线段AB的中点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，因此x1＋x2＝2×eq\f(1,2)＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,4)，即直线AB的斜率为－eq\f(1,4)，直线l的方程为y＋1＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋8y＋7＝0.8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB＝()A．2eq\r(2) B．eq\r(3)C.eq\r(6) D．3eq\r(6)解析：选A由题意知抛物线的焦点为F(1,0)，设直线l：y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝2k＋eq\f(4,k)－2k＝eq\f(4,k)，所以线段AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,k2)，\f(2,k)))，线段AB的垂直平分线的方程为y－eq\f(2,k)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1－\f(2,k2))).因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0)，所以0－eq\f(2,k)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－1－\f(2,k2)))，解得k＝±1，所以直线AB的方程为y＝±(x－1)，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0，所以点O到直线AB的距离d＝eq\f(|－1|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2).又|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋1)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(36－4)＝8，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×8＝2eq\r(2)，故选A.9．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．解析：如图，记椭圆的右焦点为F′，取PF的中点为M，由题意知，a＝3，b＝eq\r(5)，∴c＝2，连接OM，PF′，则|OM|＝|OF|＝2，又∵M为PF中点，O为FF′中点，∴|PF′|＝2|OM|，PF′∥OM，∴|PF′|＝4，又∵P在椭圆上，∴|PF′|＋|PF|＝6，∴|PF|＝2，在△PFF′中，|PF′|＝|FF′|＝4，|PF|＝2，连接F′M，则F′M⊥PF，∴|F′M|＝eq\r(|FF′|2－|PM|2)＝eq\r(16－1)＝eq\r(15)，∴kPF＝tan∠PFF′＝eq\f(|F′M|,|FM|)＝eq\f(\r(15),1)＝eq\r(15).答案：eq\r(15)10．已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(5,3)，x1x2＝0.则|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋22×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－4×0)))＝eq\f(5\r(5),3).答案：eq\f(5\r(5),3)11．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是______________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝012．已知过抛物线y2＝4eq\r(2)x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为________．解析：设直线AB的方程为x＝my＋eq\r(2)，x＝my＋eq\r(2)与y2＝4eq\r(2)x联立可得y2－4eq\r(2)my－8＝0，yAyB＝－8，∵eq\o(AF,\s\up7(→))＝3eq\o(FB,\s\up7(→))，∴yB＝－eq\f(1,3)yA，yeq\o\al(2,A)＝24⇒yA＝±2eq\r(6)，则24＝4eq\r(2)xA，可得xA＝3eq\r(2)，AM＝xA＋eq\f(p,2)＝3eq\r(2)＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，四边形AMCF的面积为eq\f(1,2)(CF＋AM)×|yA|＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋4eq\r(2))×2eq\r(6)＝12eq\r(3).答案：12eq\r(3)13．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．14．(2020·天津高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OF,\s\up7(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．解：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.所以椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为y＝kx－3.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(12k,2k2＋1).依题意，可得点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－3))，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OF,\s\up7(→))，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为eq\f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq\f(3,2k2－6k＋1).又因为AB⊥CP，所以k·eq\f(3,2k2－6k＋1)＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝1.所以直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x－3或y＝x－3.二、自选练——练高考区分度1.(多选)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是()A．C，D两点的纵坐标之积为－4B．点Q在定直线x＝－2上C．点P与抛物线上各点的连线中，PA最短D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP解析：选AB设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝2x得：y2－2my－4＝0.则y1y2＝－4，故A正确；由题得A(2,2)，B(2，－2)，直线AC的方程为y－2＝eq\f(2,y1＋2)(x－2)，直线BD的方程为y＋2＝eq\f(2,y2－2)(x－2)，消去y得x＝eq\f(2y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)，将y1y2＝－4代入上式得x＝－2，故点Q在直线x＝－2上，故B正确；设抛物线y2＝2x的任一点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)，a))，则MP＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)－2))2＋a2)＝eq\r(\f(1,4)a2－22＋3).当a2＝2时，MP取得最小值eq\r(3)，又PA＝2>eq\r(3)，故C错误；因为PA＝PB，但QA≠QB，所以D错误．2．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点F作斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，若|MF|＝eq\r(2)，则|AB|＝________.解析：不妨设A在x轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，∴MA⊥MB，取AB中点C，连接MC，如图．根据抛物线性质，∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，∴|MF|2＝|AF|·|BF|，∵直线AB过抛物线y2＝mx(m＞0)的焦点F且斜率为2eq\r(2)，根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF|＝2|BF|，∵|MF|＝eq\r(2)，∴(eq\r(2))2＝2|BF|2，∴|BF|＝1，|AF|＝2，∴|AB|＝3.答案：33．(2020·北京高考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值．解：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，又因为椭圆过点A(－2，－1)，所以有eq\f(4,4b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由题意知直线MN的斜率存在．当直线MN的斜率为0时，不妨设M(－2eq\r(2)，0)，N(2eq\r(2)，0)，则直线MA：y＝eq\f(－1,－2＋2\r(2))(x＋