2023年中考数学压轴题14 二次函数与线段数量关系最值定值问题【含答案】

专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题

方法揭秘“

\___________________________/

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题.

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系.还■有一种不常见的，就

是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用.

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例.

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域.关

键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错.

典例剖析.

X__________________________X

【例1】（2022•武汉模拟）抛物线了=』-2x+机的顶点”在x轴上，与y轴交于点8.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图1,直线CD〃工8交抛物线于C,。两点,若胆』，求△C。。的面积;

CD3

（3）如图2,P为抛物线对称轴上顶点下方的一点,过点P作直线交抛物线于点£,F,交x轴于点求

【例2】（2022•黄石）如图，抛物线y=-义2+4+4与坐标轴分别交于4B,C三点，尸是第一象限内抛

33

物线上的一点且横坐标为用.

（1）A,B,C三点的坐标为

（2）连接ZP,交线段8c于点。，

①当CP与x轴平行时，求世的值；

DA

②当C尸与X轴不平行时，求生的最大值；

DA

(3)连接CP,是否存在点P,使得乙8c0+290°,若存在，求”的值，若不存在，请说明理由.

【例3】(2022•河南三模)如图，抛物线+版-4交x轴于48两点，交y轴于点C,OB=2OC=4OA,

连接/C,BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是抛物线、=取2+反-4的图象上在第四象限内的一动点，轴于点E,交8C于点尸.设点

D的横坐标为m.

①请用含m的代数式表示线段DF的长；

②已知DG〃/C,交8C于点G,请直接写出当DG^AC时点。的坐标.

5

【例4】(2021•大庆)如图，抛物线y=af+bx+c与x轴交于原点。和点4,且其顶点8关于x轴的对称点

坐标为(2,1).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线夕="2+灰+。上的任意一点G到定点厂的距离与点G到直

线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线1与抛物线^=女2+6广。交于M,N两点.

证明：当直线/绕点F旋转时，」_+」-是定值，并求出该定值；

MFNF

(3)点C(3,机)是该抛物线上的一点，在x轴，N轴上分别找点P,0,使四边形尸08c周长最小，直

接写出P,。的坐标.

满分训练.

X_______________________________Z

1.(2020•道里区二模)已知：在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y=-§^2+云+3交x轴于

A.B两点、(点8在点4的右边)交y轴于点C,OB=3OC.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点E是第一象限抛物线上的点，连接8E,过点E作于点。，tan/E8O=4，求4

3

BDE的面积；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8c交于点。，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交3c

于点"，交x轴于点N,NEMC=45°,过点K作直线KT_Lx轴于点7,过点E作比〃x轴，交直线KT

于点，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF,LF的延长线交£7于点P,连接

OP并延长交式于点S,SE=2SL,求点尸的坐标.

2.(2020•三明二模)如图，抛物线(/n<0)交x轴于O,/两点，顶点为点民

(I)求△力。8的面积(用含加的代数式表示)；

(11)直线y=Ax+6(Ar>0)过点8,且与抛物线交于另一点。(点。与点力不重合)，交y轴于点C.过

点C作CE//AB交x轴于点E.

(i)若NOB4=90°,2V%V3,求左的取值范围；

AB

(ii)求证：轴.

3.(2022•杜尔伯特县一模)如图，已知抛物线jk^+bx+c与x轴相交于4(-1,0),B(机，0)两点，与

y轴相交于点C(0，-3),抛物线的顶点为。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E在x轴上，且NEC8=NC8O,求点E的坐标.

(3)若P是直线8c下方抛物线上任意一点，过点P作尸轴于点，，与BC交于点M.

①求线段长度的最大值.

②在①的条件下，若尸为y轴上一动点，求尸〃+〃尸+等CF的最小值.

4.(2020•江岸区校级一模)已知：抛物线尸总.，+掾叶机交x轴于48两点，交y轴于点C,其中点

8在点4的右侧，且/8=7.

(I)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点。在第一象限内抛物线上，连接CD,AD,4。交沙轴于点£.设点。的横坐标为d,△

CAE的面积为S,求S与"之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。，_LCE于点，，点P在。，上，连接CP,若NOCP=2NDAB,

5.(2020•涡阳县一模)如图，抛物线yuaf+bx+c(aWO)与直线y=x+l相交于/(-110),B(4,m')

两点，且抛物线经过点C(5,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)点尸是直线上方的抛物线上的一个动点，求尸的面积最大时的P点坐标.

(3)若点P是抛物线上的一个动点(不与点Z点8重合)，过点P作直线POLx轴于点。，交直线Z8于

点£.当PE=2EO时，求尸点坐标；

(4)设抛物线与夕轴交于点凡在抛物线的第一象限内，是否存在一点使得4W被FC平分？若存在,

请求出点用的坐标；若不存在，说明理由.

6.(2021•桂林)如图，已知抛物线夕=a(x-3)(x+6)过点2(-1,5)和点8(-5,机)，与x轴的正

半轴交于点C.

(1)求a,m的值和点C的坐标；

(2)若点尸是x轴上的点，连接尸8,PA,当里=2时，求点尸的坐标；

PA5

(3)在抛物线上是否存在点M,使48两点到直线的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横

坐标；若不存在，请说明理由.

7.(2021•甘肃・)如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=*-+瓜+。与坐标轴交于“(0,-2),B(4,0)

两点，直线8C：y=-2x+8交y轴于点C.点D为直线下方抛物线上一动点，过点。作x轴的垂线，

垂足为G,0G分别交直线5C,4B于点E,F.

(1)求抛物线y=/x2+bx+c的表达式；

(2)当GE=工时，连接8。，求△8D尸的面积；

2

(3)①”是y轴上一点，当四边形8E“/是矩形时，求点，的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点尸，满足尸4=PC+2,求周长的最小值.

8.（2021•丽水）如图，已知抛物线Z：y=f+6x+c经过点/（0,-5）,B（5,0）.

（1）求6,c的值;

（2）连结N8,交抛物线A的对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移（机＞0）个单位得到抛物线£1.过点M作MN〃y轴，交抛物线心于点M尸是

抛物线心上一点，横坐标为-1,过点尸作PE〃x轴，交抛物线£于点E,点E在抛物线入对称轴的右侧.若

9.（2020•陕西）已知抛物线乙：y=-/+6x+c过点（-3,3）和（1,-5）,与x轴的交点为4B（点/

在点8的左侧）.

（1）求抛物线L的表达式；

（2）若点尸在抛物线上上，点E、厂在抛物线上的对称轴上，。是抛物线工的顶点，要使APEFsAD4B

（尸的对应点是。），且尸氏DA=\：4,求满足条件的点尸的坐标.

yf

r

__ii।।.

O-1~~~x

10.(2020•盘锦)如图1,直线y=x-4与X轴交于点5,与y轴交于点4抛物线y=-y+bx+c经过点

8和点C(0,4),△NBO沿射线N8方向以每秒逐个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DM(点

A,B,。的对应点分别为点。，E,F),平移时间为f(0V/V4)秒，射线。尸交x轴于点G,交抛物线于

点"，连接ME.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当tanNEMF=^时，请直接写出t的值；

3

(3)如图2,点N在抛物线上，点N的横坐标是点”的横坐标的工，连接OM,NF,OM与NF相交于点

2

P,当NP=FP时,求f的值.

11.(2022•深圳三模)如图1,抛物线y=ax2+bx经过点N(-5,0),点8(-1,-2).

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2,点尸为抛物线上第三象限内一动点，过点。(-4,0)作y轴的平行线，交直线NP于点收,

交直线OP于点N,当点P运动时，40M+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；

(3)如图3,长度为遥的线段C。(点C在点。的左边)在射线上移动(点C在线段上)，连接

OD,过点C作C£〃O£)交抛物线于点E,线段C£＞在移动的过程中，直线CE经过一定点凡直接写出定

点尸的坐标与吃的最小值.

EC

接8C,已知点3(4,0).

(1)若C(0,3),求抛物线的解析式.

(2)在(1)的条件下，P(-2,«i)为该抛物线上一点，。是x轴上一点求,并求此时

点Q的坐标.

(3)如图2.过点/作8c的平行线，交y轴与点。，交抛物线于另一点E.若DE=7AD,求c的值.

图1图2

13.(2022•松江区二模)如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=2x+8与x轴交于点/、与y轴交于点8,

抛物线y=-x2+bx+c经过点力、B.

(1)求抛物线的表达式;

(2)户是抛物线上一点，且位于直线48上方，过点0作尸轴、PN〃x轴，分别交直线48于点/、

N.

①当时，求点尸的坐标；

②联结0P交于点C,当点C是〃N的中点时，求患的值.

14.(2022•游仙区模拟)如图,抛物线与坐标轴分别交于如(-1,0),B(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P,使得NC8P=NZC0,若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由;

15.(2022•龙岩模拟)抛物线y="2+bx+c经过/(-1,0),B(3,4)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式(用含。的式子表示)；

(2)当a>0时，连接48,BC,若tan/48C=L,求a的值；

3

(3)直线夕=-x+掰与线段交于点P,与抛物线交于"，N两点(点M在点N的左侧)，若PM*PN=6,

求m的值.

16.(2022•雷州市模拟)如图(1),抛物线y=af+bx+6与x轴交于点4(-6,0)、B(2,0),与y轴交

于点C,抛物线对称轴交抛物线于点交x轴于点N.点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图(2),点。与点C关于直线对称，若NCAD=NC4P,求点尸的坐标.

(3)直线8尸交y轴于点E,交直线MN于点尸，猜想线段OE、FM、三者之间存在的数量关系，并证

明.

17.(2022•马鞍山二模)如图，抛物线^二④？+版-3交x轴于点/(-1,0)、8(3,0),与y轴交于C点,

直线(4<0)交线段8c下方抛物线于。点，交BC于E点、

(1)分别求出“、6的值；

(2)求出线段8C的函数关系式，并写出自变量取值范围；

(3)探究理是否有最大值，若存在，请求出此时％值，若不存在，请说明理由.

18.(2022•南岗区校级二模)如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线夕=-af+6ax+6与夕

轴交于点8,交x轴的负半轴于点4交x轴的正半轴于点C,且S0BC=3().

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图2,点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为f,尸。，x轴于点Q,设tan/以。等于机，求机

与f之间的函数关系式；

(3)如图3,在(2)的条件下，当机=刍时，过点8作交NR4C的平分线于点N,点K在线段

3

48上，点M在线段/N上，连接KW、KN,ZMKN=2ZBNK,作MTJ_KN于点T,延长交8N于点”,

若NH=ABH,求直线KN的解析式.

19.(2022•江汉区校级模拟)如图1,已知抛物线》=0?+云+。(a>0)与x轴交于X(-1,0),B(3,0),

与y轴交于点C.

(1)若C(0,-3),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，E是线段8c上一动点，/E交抛物线于尸点，求旦旦的最大值；

AE

(3)如图2,点N为y轴上一点，AN、8N交抛物线于从尸两点,求她•胆的值.

图1图2

20.(2022•成都模拟)如图，抛物线丫」-*2工x-4与x轴交于4B两点、(点4在点8的左侧)，与y

y1515

轴交于点C.

(1)求点Z,B,C的坐标及抛物线的对称轴；

(2)如图1,点尸(1,"?),Q(1,m-2)是两动点，分别连接尸C,QB,请求出|PC-。用的最大值，并

求出徵的值；

(3)如图2,/84C的角平分线交y轴于点。，过。点的直线/与射线Z8,4C分别于E,F,当直线/绕

点。旋转时，工」•是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

AEAF

21.(2022•沈阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-y+^x+2与x轴交于48两点(点/

在点8左侧)，与y轴交于点C,直线/：夕=g6经过点8,点C,点P是抛物线上一动点，连接OP交直

线8c于点。.

(1)求直线/的解析式；

(2)当包=工时，求点P的坐标；

P02

(3)在(2)的条件下，点N是直线8C上一动点，连接OM过点。作。FLON于点尸，点尸在线段ON

上，当。。=遥。F时，请直接写出点N的坐标.

22.(2022•沈阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线歹="2+队-考2过点z(3&,2&)和点8

(&,0),与x轴的另一个交点为点C.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)判断△NB。的形状，并说明理由.

(3)点。在线段8c上，连接Z。，作。E，/。，KDE^AD,连接NE交x轴于点尸.点F不与点C重合,

射线。尸J_/E,交/E于点P,交/C于点Q.

①当力。=力厂时，请直接写出NC/E的度数;

②当票=1时，请直接写出C0的长.

典例剖析.

【例1】(2022•武汉模拟)抛物线y=x2-2x+m的顶点/在x轴上，与y轴交于点民

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,直线C。〃/18交抛物线于C,。两点，若胆』，求△CO。的面积；

CD3

(3)如图2,尸为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点尸作直线交抛物线于点E,F,交x轴于点求

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案：

(2)运用待定系数法求得直线的解析式为y=-x+\,根据CD//AB,设直线CD的解析式为y=-x+d,

C(xc，y。)，D(X£>,W),联立并整理得了-x+l-d=0,利用根与系数关系可得：XC^-XD=1»XC*XD=1-

d,yc=-xc+rf,yo=-XD^-dy再由鲤■=上,可得CD=34B=3J5，建立方程求解即可得出答案；

CD3

(3)过点£作EG〃工轴交抛物线对称轴于点G,过点/作/7/〃x轴交抛物线对称轴于点〃，则

//FH,可得：里=迎，里=幽，设直线的解析式为夕=船+”，可得：P(1,k+n),M(-2,0),

PEEGPFFHk

联立并整理得：整理得：x2-(k+2)x+1-"=o,利用根与系数关系可得：X£+XF=%+2,XE・XF=1-〃，再

分两种情况：％V0或4>0,分别求出电目的值即可.

PEPF

【解答】解：(1)；抛物线》=/-入+加=(x-1)2+m-1的顶点N(1);n-1)在x轴上，

:・m-1=0,

・・m=1,

.•.该抛物线的解析式为-2x+l；

(2),^y—x1-2x+l=(x-1)

.,•顶点4(I,0),

令x=0,得J=。

：.B(0,1),

在Rt/^AOB中，4B=VOA2-K)B2=Vl2+12=近'

设直线的解析式为

则［k+b=o,

Ib=l

解得：1k=T,

lb=l

，直线48的解析式为y=-x+1,

•:CD〃AB,

，设直线C。的解析式为y=-x+d,C(xc>yc),D(XD,”))，

则x2-2x+l=-x+d,

整理得：/-x+1-d=0,

••XCJrXD=1，XC9XD=1-dy

yc=-xc^~d,yo=~切+d,

••yc-yD=(-xc^-d)-(-xo+d)=XD-xc»

..AB1

CD3

:.CD=3AB=3近,

:.B=(3&)』18,

/.(xc-XD)24-(yc-yD)2=18,即(xc-XD)2+(XD-XC)2=18,

/.(xc-XD)2=9,

/-(XC+XD)2-4XC*XD=9,即1-4(1-J)=9,

解得：d=3,

Ax2-x-2=0,

解得：x=2或-1,

：.C(2,1),D(-I,4),

设直线8：y=r+3交y轴于点K,

令x=0,则y=3,

：.K(0,3),

：.OK=3,

/.S.COD*OKX|xc-xQ|=/X3X3=?；

(3)如图2,过点E作以；〃*轴交抛物线对称轴于点G,过点尸作"7〃x轴交抛物线对称轴于点〃,

则4A/〃EG〃尸H,

•曳=幽PM=AM

"PE前‘PFFH'

设直线PM的解析式为y=Ax+〃，

当x=l时，y=k+n,

：.P(1,H-n),

当y=0时，kx+n=Ot

解得：x=-21,

k

：.M(一2，0),

k

..AM=\\-(--)|=|JSiH|,

kk

由x2-2x+l=Ax+〃，

整理得：x2-(介2)x+l-〃=0,

贝1JX/XF=k+2,XE*XF=1-",

\'EG=\XE-1|,FH=\XF-lb

.]I]|XF-II+|XE-I|

*'EGFH|XE-1||XF-1I—|(XE-1)(xF-l)|'

当kVO时，点£、F、M均在对称轴直线x=l左侧，

.'.EG=\XE-1|=1-XE<FH=\XF-1|=1-XF,空口=©2_,

kk

...1__1_IXF-1I+IXE-1I_2-(XE+XF)_2-(k+2)_k

EGFH|(-1)(Xp-1)I1~(Xp+Xp)+xg*Xp1-(k+2)+(l-n)k+n

...现+里=ZMX(-L.+-L)=k1nx-J5_=1；

PEPFEGFHkktn

当4>0时，点E、F、M均在对称轴直线x=l右侧，

••EG=\XE-\\=XE-1，FH=\XF-1|=XF-hAM=\^—^\=-、飞,

kk

二L-L—IXF-1|+|XE-1|XE+XF-2_(k+2)-2___k_

EGFH|(>E-1)(Xp-1)IXE•Xp-(XE+xp)-1(l-n)-(k+2)+1k+n

...里+更=/MX(_1_+_L)=-里Rx(-，_)=].

【例2】(2022•黄石)如图，抛物线y=-2f+2x+4与坐标轴分别交于4,B,C三点，P是第一象限内抛

33

物线上的一点且横坐标为机.

(1)A,B,C三点的坐标为(-2,0),(3,0),(0,4).

(2)连接力产，交线段8c于点。，

①当CP与x轴平行时，求段的值；

DA

②当。与X轴不平行时，求型的最大值；

DA

(3)连接CP,是否存在点P,使得/8CO+2/PC8=90°,若存在，求”的值，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)令x=0,则y=4,令y=0,则-2『+2》+4=0,所以x=-2或x=3,由此可得结论;

33

(2)①由题意可知，P(1,4),所以。尸=1,48=5,由平行线分线段成比例可知，理•=空=工

DAAB5

②过点尸作P0〃/8交8c于点。，所以直线8c的解析式为：》=-4/4.设点尸的横坐标为m,则产

3

2

(w,-Q(―/H2-—in,-.所以尸。=加-(—ni-—m)=-

332233~2222

因为p。/所以或-工("?-3)2+上_,由二次函数的性质可得结论；

DAAB510240

(3)假设存在点尸使得/8CO+2N8CP=90°,即0<wV3.过点C作C/〃x轴交抛物线于点尸，由/8CO+2

NPC8=90°,可知CP平分/8CF,延长CP交x轴于点M,易证△(：8M为等腰三角形，所以M(8,0),

所以直线CM的解析式为：》=-1+4,令-2/+2/4=-1+4,可得结论.

2332

【解答】解：(1)令x=0,则y=4,

：.C(0,4)；

令y=0,贝!I-2了+2》+4=0,

-33

.'.x—-2或x=3,

：.A(-2,0),B(3,0).

故答案为：(-2,0)；(3,0)；(0,4).

(2)①：CP〃x轴，C(0,4),

：.P(1,4),

：.CP=\,AB=5,

：CP〃x轴，

•PD=CP=1

"DAAB'5,

②如图，过点尸作尸0〃48交8c于点0,

设点尸的横坐标为根,

则P(m,—/w2+—7M+4),Q(—/w2--777,--/??2+—w+4).

332233

:・PQ=m-—m2--m)=--/w2+—w,

2222

YPQ//AB,

..型=强=主壹二_J-(加-3)2+且

DAAB510240

.•.当“=区时，毁的最大值为a.

2DA40

另解：分别过点P,/作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解.

(3)假设存在点?使得N8co+2N8。尸=90°,即0Vm<3.

过点C作CF//x轴交抛物线于点F,

■:/BCO+2/PCB=90°,ZBCO+ZBCF+ZMCF=90°,

・•・/MCF=NBCP,

延长CP交X轴于点

:CF〃x轴，

NPCF=NBMC,

：.NBCP=ZBMC,

...△CBM为等腰三角形，

■:BC=5,

：.BM=5,OM=8,

：.M（8,0）,

直线CM的解析式为：y=-lx+4,

2

令--X2+—X+4--—x+4,

332

解得x=工或x=0（舍），

4

...存在点P满足题意，此时〃尸工.

4

【例3】（2022•河南三模）如图，抛物线yuH+bxT交X轴于4,8两点，交y轴于点C,OB=2OC=4OA,

连接ZC,BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。是抛物线y=ax2+bx-4的图象上在第四象限内的一动点，O£J_x轴于点E,交8c于点E设点

D的横坐标为m.

①请用含m的代数式表示线段DF的长;

②已知OG〃/C,交8C于点G,请直接写出当DG卫AC时点。的坐标・

5

可知c=-4,故OC=4,OB=2OC=4OA,贝lJO/=2,08=8,

确定点力、B、。的坐标，再用待定系数法求函数解析式即可;

2

（2）①先求出直线5c的解析式，再设点。为（w,Xn-Im-4）,可得F（加，lW-4）,即可得出线

段。尸的长：

②证明△/OCS^FG。，根据相似三角形的性质可得。尸=3,再根据①得出的式子求出〃?的值，即可求

解.

【解答】解：（1）在抛物线juaf+bx-4中，

令x=0,则歹=-4,

・••点C的坐标为（0,-4）,

：.OC=4f

9

：OB=2OC=4OAf

：.OA=2,08=8,

工点力为（-2,0）,点8为（8,0）,

则把点力、8代入解析式，得：

（4a-2b-4=0

l64a+8b-4=0，

此抛物线的表达式为-4；

（2）①设直线8c的解析式为y="?x+〃，则

把点8、C代入，得18m3°,

[n=-4

解得：\啜，

,n=-4

直线AC的解析式为y-=^x-4；

设点。为（加，—m2-—m-4）.可得尸（"?，—m-4）,

422

'•DF——ni-4—（—nr-—m■4）=--ni^+1m；

2424

②•.•点Z为（-2,0）,点8为（8,0）,点C的坐标为（0,-4）,

，ZC2=22+42=20,8c2=82+42=80,/炉=（8+2）2=100,

：.AC2+BC2=AB2,

△/SC是直角三角形，ZACB=ZACO+ZOCF=90°,

'：DG//AC,

：.ZDGC=ZACB=90°,

；.NDGF=N4OC=90°,

:.NDFG+NFDG=90°,

轴，

：.DE//y^,

：.ZOCF=ZDFG,

VZACO+ZOCF=90Q,/DFG+NFDG=90°,

N4CO=NFDG,

:AAOCS^FGD,

.DFDG

••="1，

AC0C

,.,^C2=22+42=20,

:.AC=2疾,

•：DG=^AC,

5

5

岖

•DF5

,•曲:4'

:.DF=3,

,:DF=-^nr+2m,

4

/.--in2+2m=3,解得”?i=2,m2=6,

4

.•.点。的坐标为（2,-6）或（6,-4）.

【例4】（2021•大庆）如图，抛物线与x轴交于原点。和点4,且其顶点B关于x轴的对称点

坐标为（2,1）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线ynaf+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直

线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出点尸的坐标；

②过点F的直线I与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点.

证明：当直线/绕点F旋转时，」_+」-是定值，并求出该定值；

MFNF

（3）点C（3,小）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点尸，0,使四边形P28c周长最小，直

接写出P,。的坐标.

【分析】（1）求出8（2,-1）,A（4,0）,再将点O、点月、点8代入抛物线歹=々/+6+以即可求解解析

式；

⑵①设尸（2,m）,G（x,由已知可得（x-2）2+（取一^2+*）2=RX2-X+2）2，整理得

2

到mXX+2X）=0,因为任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等，所以〃?=

0,即可求尸坐标；②设过点尸的直线解析式为-2k,M（.XM，y,vi）,N（XN，川），联立直线与抛物

线解析式得x2-（4+4k）x+8左=0,则有x,w+xN=4+4k,XM,XN—Sk,y”+jw=4/，y^*yN--4k2,由①可得

11_1,1=1；

MFNF2+yM2+yN

(3)作8点关于y轴的对称点作C点关于x轴的对称点C,连接。8交x轴、y轴分别于点F、Q,四

边形尸08c周长ngO+PO+PC+BCnee+PO+OP+CBnCq+CB,求出8(-2,-1),C(3,—),可得

4

直线9。的解析为y=」Lx-旦，则可求。(0,-2),尸(2，0).

2010107

【解答】解：(1)I•顶点8关于x轴的对称点坐标为(2,1),

：.B(2,-1),

：.A(4,0),

将点O、点4、点8代入抛物线y=ax2+hx+c,

'c=0

得到《4a+2b+c=-l,解得

16a+4b+c=0

(2)①设F(2,m),G(x,y),

；.G点到直线"=-2的距离为严2|,

/.(八2)2=y2+4y+4,

(jH-2)2=y2+4y+4—y2+x2-4x+4=y1+(x-2)2.

，G到直线y=-2的距离与点(2,0)和G点的距离相等，

二抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线>=-2的距离总相等;

•；G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离相等，

22222

/.-2)+(m-1-x+x)=(-i-x-x+2)>

整理得，加(团-工入2+入)=0,

2

♦.•距离总相等，

•••/w=0,

：.F(2,0)；

②设过点歹的直线解析式为^=奴-2%,M(X”，yw),N(欢，冲),

y=kx-2k

联立］12，整理得(4+4〃)x+8A=0,

yqx-x

XM+XN=4+4A,XM*XN=8k，

.・・/什抄=4/，y^yN=-4后，

到尸点与M点到y=-2的距离相等，N到产点与N点到y=-2的距离相等,

.1,1_1+1_4+丫可+丫%1-4+4k2]

22

HFNF2+yH2+yN4+2(yN+yM)+yM-yN4+2(4k)-4k

(3)作8点关于y轴的对称点斤，作C点关于x轴的对称点。，连接。9交x轴、y轴分别于点尸、Q,

:BQ=BQCP=CP,

四边形PQBC=BQ+PQ+PC+BC=B'Q+PQ+CP+CB=CB'+CB,

.•点C(3,w)是该抛物线上的一点

,.C(3,-—),

4

：B(2,-1),

'.B'(-2,-1),C(3,3),

4

•.直线夕。的解析为-A,

2010

满分训练.

1.(2020•道里区二模)已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-'x2+6x+3交x轴于

A.B两点(点8在点4的右边)交y轴于点C,OB=3OC.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点E是第一象限抛物线上的点，连接BE,过点E作EC08于点。，tan/£8O=匹，求4

3

BDE的面积;

（3）如图3,在（2）的条件下，连接8c交OE于点0,点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC

于点交x轴于点N,NEMC=45°,过点K作直线轴于点T,过点E作EZ,〃x轴，交直线KT

于点，点尸是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF,£尸的延长线交ET于点尸，连接

OP并延长交互于点S,SE=2SL,求点尸的坐标.

（舍去），利用

>2+,

（3）证明四边形。£77是正方形和△EPS也△£77,（S4S）n+3)=z-n-1-n5RL

oo

128

RF7n与"5

=11-〃，故tan/PLE=2,即可求解.

RL11-n3

【解答】解：（1）如图1,当x=0时，=—x02+bX0+3=31

y3

：.C(0,3),：.0C=3,

•：OB=3OC,

：.0B=9,：.B(9,0),

•••点B在抛物线y=—2+b+3±-

3xX

192

­•0=-^-X9+9b+3^b吟，

oo

•••抛物线的解析式为y：x+3；

（2）如图2,设E（t,争2号t+3），

•#-ED=-yt2-^t+3,BD=9t,

,,.A

在RtAEDB中,tanNEBD在，

o

.亭*亭+34

•--------------------=---,

9-t3

解得九=3,亥=9（舍去），

-yt2-n|t+3=-yX32+|-X3+3=8,

：.E（3,8）,00=3,BD=6,£0=8,

SABDE4"BD・ED=24；

(3)如图3,连接CQ,

\'OC=OD=39ZCOD=90°,

：.ZODC=ZOCD=45°

,:NEDO=90°,

:・NEDC=45°,

:・NEDC=/EMQ,

VZ0CD=1800-ZCDQ-ZCQD,ZQEM=180°-ZQME/EQM,

:•4DCQ=4DEM,

过点。作OGJ_8c于点GCD=3&，BD=6,BC=3V10»

设CG=a,则BG=3A/10-~a,

在RtZXCGQ中，DG2^CD2-CG2,

在RtASGD中，DGr^BD1-BG2,

：.CD2-CG2=BD1-BG2,

a=?!V101

D

二DG=1-V10，

D

:，tanNDCG=^_,

Cv乙

•,tan/DEN—，

・・.典」，:,DN=4,

ED2

：,N(7,0),

过点K作KHLEQ于点儿

设K(m,-^-ni2+ym+3),

:.KH=m-3,EH=8-(~,ym2+ym+3)=ym2-|-m+5,

•tanNHEK=^，

.nr3___1

•T28W'

7mTm+5

=加2=3(舍)，

当加=11时，y="1x1F卷x11+3=8，

：.K(11,-8),

：.T(11,0),L(11,8),

:・EL=ED=8,

VZEDT=ZDTL=ZELT=90°,

・・・四边形。或7是矩形，

♦：EL=ED,

，四边形QE£T是正方形

:・NDET=NLE7\

又•：EP=EP,ED=EL,

:AEPSm4EPL(SAS),

:・NEDS=/ELP,

*：SE=2SL,

99

・・SE=fEL背ED，

os

在RtZXSEO中，tanZSDE=B4'

Lu6

9

••tanNPLE=^，

o

过点F作FRLEL于点R,设F(n,刀卷n+3)，

则RF=8-(9n24n+3)=>yn2---n+5,RL=11-n,

12J.

•・・…普鼻白+R

：.n2-6n-7=0,

.’."1=7,"2=-1(舍)，

F(7,竽).

o

2.(2020•三明二模)如图，抛物线y=/+wx(w<0)交x轴于O,4两点，顶点为点8.

(I)求△408的面积(用含加的代数式表示)；

(II)直线夕=依+8(4>0)过点8,且与抛物线交于另一点。(点。与点力不重合)，交y轴于点C.过

点C作CE//AB交x轴于点E.

(i)若NO84=90°,2V%<3,求发的取值范围；

AB

(ii)求证：OE〃y轴.

【分析】(/)先根据顶点式可得点8的坐标，令y=0,解方程可得点力的坐标，从而得。4=-m,根据三

角形面积公式可得△N08的面积；

（//）⑴如图2,作8尸，“。，可证明△EOCs△/尸8,列比例式，根据△0/8为等腰直角三角形和点8

的坐标，列关于〃，的方程，可得结论;

（万）先求BC的解析式确定点C的坐标，根据方程组的解析可得点D的横坐标，根据CEUAB确定CE的

解析式，根据》=0可得E的坐标，由。和E的横坐标相等可得结论.

22

【解答】解：（1）如图1,（x垮）-券，

图1