（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.4《椭圆》 (教师版)

页第四节椭圆核心素养立意下的命题导向1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(﹣a,0)，A2(a,0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2﹣b23．常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq\f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.(3)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞﹣b2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(椭圆的定义)设P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝()A．4B．8C．6D．18解析：选C由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.2．(椭圆的离心率)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3)B．eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(5,9)解析：选B∵椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故选B.3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,3)，则椭圆C的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1解析：选D依题意，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，依题意知eq\r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)二、易错点练清1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|)到两定点F1(﹣2,0)和F2(2，0)的距离之和为4的点的轨迹是()A．椭圆B．线段C．圆D．以上都不对答案：B2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.解析：①当焦点在x轴上时，10﹣a﹣(a﹣2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a﹣2﹣(10﹣a)＝22，解得a＝8.答案：4或83．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2﹣b2＝5﹣4＝1，所以c＝1，则F1(﹣1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))考点一椭圆定义的应用考法(一)利用定义求轨迹方程[例1]已知两圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,48)＝1B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)﹣eq\f(y2,64)＝1D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1[解析]设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13﹣r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.[答案]D考法(二)求解“焦点三角形”问题[例2]椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq\r(3)，则△PF1F2的周长是()A．2(eq\r(2)＋eq\r(3))B．4＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3)D．eq\r(2)＋2eq\r(3)[解析]如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2﹣1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)＝2(eq\r(2)＋eq\r(3))，故选A.[答案]A考法(三)利用定义求最值[例3]设点P是椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．[解析]如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(﹣2,0)，∴|AF′|＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq\r(2)＋eq\r(17)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|＝2a﹣(|PF′|﹣|PA|)≥2a﹣|AF′|＝4eq\r(2)﹣eq\r(17).∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4eq\r(2)﹣eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)]．[答案][4eq\r(2)﹣eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)][方法技巧]椭圆定义应用的类型及方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值[针对训练]1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则()A．△PF1F2的周长为12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝2解析：选BCD由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36﹣2|PF1|·|PF2|﹣eq\f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)d＝2eq\r(2)，解得d＝eq\f(2\r(10),5)，故C选项正确；eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝|eq\o(PF1,\s\up7(→))|·|eq\o(PF2,\s\up7(→))|cos∠F1PF2＝6×eq\f(1,3)＝2，故D选项正确．考点二椭圆的标准方程[例1]过点(eq\r(3)，﹣eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1[解析]法一：定义法椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，﹣4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2﹣b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故选C.法二：待定系数法设所求椭圆方程为eq\f(y2,25＋k)＋eq\f(x2,9＋k)＝1(k>﹣9)，将点(eq\r(3)，﹣eq\r(5))的坐标代入，可得eq\f(－\r(5)2,25＋k)＋eq\f(\r(3)2,9＋k)＝1，解得k＝﹣5，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故选C.[答案]C[例2]如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(﹣5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1[解析]由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故选C.[答案]C[方法技巧]求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[针对训练]1．若直线x﹣2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不正确解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(﹣2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点P(2，eq\r(3))在椭圆上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2﹣b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.考点三椭圆的几何性质考法(一)求椭圆的离心率[例1](1)已知椭圆方程为eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)(2)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，则C的离心率为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)[解析](1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，c＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以离心率e＝eq\f(\r(2),2).故选C.(2)由题意可得B(0，b)，F(﹣c,0)，由eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，又点A在椭圆上，则eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，整理可得eq\f(16,9)·eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,9)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故选D.[答案](1)C(2)D[方法技巧]求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒]在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.考法(二)求椭圆的离心率的范围[例2]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))[解析]设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(﹣x1，﹣y1)，kPAkPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)×eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1)).又eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，两式做差，代入上式得kPAkPB＝﹣eq\f(b2,a2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，故0<eq\f(b2,a2)<eq\f(1,3)，所以e＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)).[答案]B[方法技巧]求椭圆离心率范围的2种方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a﹣c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件直接有不等关系[针对训练]1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是()A．椭圆C的长轴长为10B．椭圆C的两个焦点分别为(0，﹣3)和(0,3)C．椭圆C的离心率等于eq\f(3,5)D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq\f(32,5)解析：选ACD∵16x2＋25y2＝400，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴长轴长2a＝10，故A、C正确，B错误．对于选项D，|PQ|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,5)，正确．故选A、C、D.2．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),3)D．eq\f(\r(6),3)解析：选D直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝eq\f(|±c|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2＋eq\f(1,2)c2⇒a2＝eq\f(3,2)c2⇒c＝eq\f(\r(6),3)a⇒e＝eq\f(\r(6),3)，故选D.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.()A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq\r(n)D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解析：选AD∵mx2＋ny2＝1，∴eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝eq\f(1,n)，C是圆，半径为eq\f(1,\r(n))，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq\f(1,n)，∴y＝±eq\f(\r(n),n)，则C是两条直线，D正确．故选A、D.2．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4b解析：选B因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.3．已知焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,m)＝1的长轴长为8，则m＝()A．4B．8C．16D．18解析：选C椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A∵△AF1B的周长为4eq\r(3)，∴由椭圆的定义可知4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故选A.5．椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝()A．1B．eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：选C∵c＝eq\r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq\f(π,3)，得∠F1AO＝eq\f(π,6)，∴tan∠F1AO＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝eq\r(3)，故选C.6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()A．1﹣eq\f(\r(3),2)B．2﹣eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D．eq\r(3)﹣1解析：选D由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)﹣1.故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1B．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1解析：选C由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1，故选C.2．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5解析：选A连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.故选A.3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1解析：选B椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq\r(5))，故可设所求椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,6)＝1.4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy﹣bc＝0.由题意知eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,4)×2b，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即e＝eq\f(1,2).故选B.5．(多选)设椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<eq\r(3))与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝eq\r(2)时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为eq\r(6)解析：选AD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；将y＝eq\r(2)与椭圆方程联立，可解得A(﹣eq\r(3)，eq\r(2))，B(eq\r(3)，eq\r(2))，又∵F(eq\r(6)，0)，∴BA→·eq\o(BF,\s\up7(→))＝(﹣2eq\r(3)，0)·(eq\r(6)﹣eq\r(3)，﹣eq\r(2))＝6﹣6eq\r(2)<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(﹣eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D正确．6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))的值为()A.eq\f(3,4)B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,4)D．eq\f(5,2)解析：选A由AF2⊥F1F2，可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(3,4).7．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x﹣3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9﹣r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(﹣3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝18．设F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形，又知△PF1F2的面积为9，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2﹣36＝4c2，∴a2﹣c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2﹣c2＝9，∴a﹣c＝1.②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝19．已知椭圆e