（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案8.2《两条直线的位置关系》 (教师版)

页第二节两条直线的位置关系核心素养立意下的命题导向1.结合斜率公式，判断两条直线平行或垂直，凸显逻辑推理的核心素养．2．结合解方程组求两条相交直线的交点坐标，凸显数学运算的核心素养．3．结合距离问题，考查距离公式的应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝﹣1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3．三种距离公式类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(由平行关系求直线方程)过点(1,0)且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是()A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y＋1＝0C．2x＋y﹣2＝0D．x＋2y﹣1＝0解析：选A设直线方程为x﹣2y＋c＝0，又经过点(1,0)，故c＝﹣1，所求直线方程为x﹣2y﹣1＝0.2．(点到直线的距离)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x﹣y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.eq\r(2)B．2﹣eq\r(2)C.eq\r(2)﹣1D.eq\r(2)＋1解析：选C由题意知eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq\r(2)，又a>0，∴a＝eq\r(2)﹣1.3．(点关于线对称)点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()A．(﹣a﹣1，﹣b﹣1)B．(﹣b﹣1，﹣a﹣1)C．(﹣a，﹣b)D．(﹣b，﹣a)解析：选B设对称点为(x′，y′)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′－b,x′－a)×－1＝－1，,\f(x′＋a,2)＋\f(y′＋b,2)＋1＝0，))解得x′＝﹣b﹣1，y′＝﹣a﹣1.4．(两直线的交点)过两直线l1：x﹣3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________．解析：过两直线交点的直线系方程为x﹣3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝﹣eq\f(4,5)，故所求直线方程为x﹣3y＋4﹣eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝0二、易错点练清1．(忽视两平行直线系数不一致)平行线3x＋4y﹣9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是()A.eq\f(8,5)B．2C.eq\f(11,5)D.eq\f(7,5)解析：选B依题意得，所求的距离等于eq\f(|－18－2|,\r(62＋82))＝2.2．(忽视两直线重合)若直线l1：x＋y﹣1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________.解析：因为直线l1的斜率k1＝﹣1，l1∥l2，所以a2＝1，且a≠﹣1，所以a＝1.答案：13．(忽视平行关系的直线斜率不存在)已知直线(m＋1)x＋(2m﹣1)y＝3与(3m﹣1)x﹣(2m2﹣11m＋5)y＝5平行，则实数m的值为________．解析：当m≠eq\f(1,2)时，由直线平行可知eq\f(m＋1,3m－1)＝eq\f(2m－1,－2m2－11m＋5)≠eq\f(3,5)，解得m＝﹣2或m＝3，当m＝eq\f(1,2)时，两条直线都垂直于x轴也符合．故m＝eq\f(1,2)或m＝﹣2，或m＝3.答案：eq\f(1,2)，﹣2,3考点一两直线的平行与垂直[典题例析](1)(多选)直线l1：x＋my﹣1＝0，l2：(m﹣2)x＋3y＋1＝0，则下列说法正确的是()A．若l1∥l2，则m＝﹣1或m＝3B．若l1∥l2，则m＝﹣1C．若l1⊥l2，则m＝﹣eq\f(1,2)D．若l1⊥l2，则m＝eq\f(1,2)(2)已知直线l1：mx＋y﹣1＝0与直线l2：(m﹣2)x＋my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(3)已知经过点A(﹣2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，﹣1)和点Q(a，﹣2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．[解析](1)∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm－2＝3，,m－2≠－1，))解得m＝﹣1或m＝3，经检验符合题意，∴A正确．∵l1⊥l2，∴(m﹣2)×1＋3m＝0，解得m＝eq\f(1,2)，∴D正确．(2)由l1⊥l2，得m(m﹣2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.(3)l1的斜率k1＝eq\f(3a－0,1－－2)＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝eq\f(－2a－－1,a－0)＝eq\f(1－2a,a).因为l1⊥l2，所以k1k2＝﹣1，即a·eq\f(1－2a,a)＝﹣1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，﹣1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(﹣2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.[答案](1)AD(2)A(3)1或0[方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)[提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．[针对训练]1．“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y﹣2＝0平行”是“m＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若l1∥l2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mm＋1＝6，,4m≠2×－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6＝0，,m≠－1，))解得m＝﹣3或2.因此“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y﹣2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件．2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x﹣ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则eq\f(m,n)的取值范围为________．解析：因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(﹣n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以eq\f(m,n)＝eq\f(m,m2＋2m)＝eq\f(1,m＋2)，则0＜eq\f(1,m＋2)＜eq\f(1,2)，故eq\f(m,n)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))3．若直线l1：x＋2my﹣1＝0与l2：(3m﹣1)x﹣my﹣1＝0平行，则实数m的值为________．解析：因为直线l1：x＋2my﹣1＝0与l2：(3m﹣1)x﹣my﹣1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，﹣eq\f(1,2m)＝eq\f(3m－1,m)或者m＝0，所以m＝eq\f(1,6)或0.答案：0或eq\f(1,6)考点二两直线的交点与距离问题[典例](1)经过两条直线l1：x＋y﹣4＝0和l2：x﹣y＋2＝0的交点，且与直线2x﹣y﹣1＝0垂直的直线方程为________________.(2)直线l过点P(﹣1,2)且到点A(2,3)和点B(﹣4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴l1与l2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x﹣y﹣1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝﹣7.∴所求直线方程为x＋2y﹣7＝0.(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k(x＋1)，即kx﹣y＋k＋2＝0.由题意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k﹣1|＝|﹣3k﹣3|，∴k＝﹣eq\f(1,3)，∴直线l的方程为y﹣2＝﹣eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y﹣5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，也符合题意．法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝﹣eq\f(1,3)，直线l的方程为y﹣2＝﹣eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y﹣5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(﹣1,4)，∴直线l的方程为x＝﹣1.故所求直线l的方程为x＋3y﹣5＝0或x＝﹣1.[答案](1)x＋2y﹣7＝0(2)x＋3y﹣5＝0或x＝﹣1[方法技巧]1．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式解题的注意点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0﹣a|，到直线y＝b的距离d＝|y0﹣b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．[针对训练]1．点(0，﹣1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：选B法一：由点到直线的距离公式知点(0，﹣1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq\f(1,k)最小，∴当k＝1时，dmax＝eq\r(2)，故选B.法二：设点A(0，﹣1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(﹣1,0)，知当AB⊥l时，距离最大，最大值为eq\r(2).2．若直线l与两直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，﹣1)，则直线l的斜率是()A．﹣eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．﹣eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)解析：选A由题意，设直线l的方程为y＝k(x﹣1)﹣1，分别与y＝1，x﹣y﹣7＝0联立，解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋1，1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1)))，又因为MN的中点是P(1，﹣1)，由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(2,k)＋1＋\f(k－6,k－1),2)＝1，,\f(1＋\f(－6k＋1,k－1),2)＝－1，))解得k＝﹣eq\f(2,3).3．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，﹣1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，﹣1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率k＝﹣eq\f(1,2)，所以直线l1的方程是y﹣1＝﹣eq\f(1,2)(x﹣1)，即x＋2y﹣3＝0.答案：x＋2y﹣3＝0eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．﹣eq\f(1,3)C．﹣eq\f(2,3)D．﹣2解析：选D由a×1＋2×1＝0得a＝﹣2.故选D.2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y﹣1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a﹣2＝0，∴a＝1或﹣2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．已知A(4，﹣3)关于直线l的对称点为B(﹣2,5)，则直线l的方程是()A．3x＋4y﹣7＝0B．3x﹣4y＋1＝0C．4x＋3y﹣7＝0D．3x＋4y﹣1＝0解析：选B由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝eq\f(5＋3,－2－4)＝﹣eq\f(4,3)，所以直线l的斜率为eq\f(3,4)，因此直线l的方程为y﹣1＝eq\f(3,4)(x﹣1)，即3x﹣4y＋1＝0.故选B.4．直线3x﹣4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y﹣5＝0C．﹣3x＋4y﹣5＝0D．﹣3x＋4y＋5＝0解析：选A在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，﹣y)在已知的直线3x﹣4y＋5＝0上，所以3x﹣4(﹣y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.5．已知点P(4，a)到直线4x﹣3y﹣1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[﹣10,10]B．[﹣10,5]C．[﹣5,5]D．[0,10]解析：选D由题意得，点P到直线的距离为eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15﹣3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．6．经过直线3x﹣2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x﹣y＋4＝0的直线方程为__________．解析：过两直线交点的直线方程可设为3x﹣2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ﹣2)y＋4λ＋1＝0，它与直线x﹣y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ﹣2＝0，λ＝﹣eq\f(1,4)，故所求直线为x﹣y＝0.答案：x﹣y＝0二、综合练——练思维敏锐度1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定解析：选C直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝﹣2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝﹣eq\f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠﹣1.故选C.2．三条直线l1：x﹣y＝0，l2：x＋y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10D．k∈R且k≠±5，k≠1解析：选C由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝﹣5；由x﹣y＝0与x＋y﹣2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝﹣10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠﹣10.故选C.3．(多选)已知直线l1：2x＋3y﹣1＝0和l2：4x＋6y﹣9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y﹣8＝0B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y﹣10＝0D．12x＋18y﹣13＝0解析：选BD设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠﹣2且m≠﹣9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因为eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝﹣eq\f(13,3)，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y﹣13＝0.4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y﹣3＝0的距离为eq\r(10)，则m＝()A．7B.eq\f(17,2)C．14D．17解析：选B直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y﹣3＝0的距离为eq\r(10)，所以eq\f(|2m＋3|,\r(4＋36))＝eq\r(10)，求得m＝eq\f(17,2).5．直线ax＋y＋3a﹣1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为()A．2x＋3y﹣12＝0B．2x﹣3y﹣12＝0C．2x﹣3y＋12＝0D．2x＋3y＋12＝0解析：选D由ax＋y＋3a﹣1＝0，可得a(x＋3)＋(y﹣1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝﹣3，y＝1，所以M(﹣3,1)，M不在直线2x＋3y﹣6＝0上，设直线2x＋3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠﹣6)，则eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝﹣6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于()A.eq\f(34,5)B.eq\f(36,5)C.eq\f(28,3)D.eq\f(32,3)解析：选A由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x﹣3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).7．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(﹣4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(﹣2,4)B．(﹣2，﹣4)C．(2,4)D．(2，﹣4)解析：选C设A(﹣4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))即A′(4，﹣2)，∴直线A′C即BC所在直线的方程为y﹣1＝eq\f(－2－1,4－3)(x﹣3)，即3x＋y﹣10＝0.又知点C在直线y＝2x上，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4