专题15 立方根重难点题型专训（六大题型）（解析版）

专题15立方根重难点题型专训（六大题型）【题型目录】题型一立方根的概念理解题型二求一个数的立方根题型三已知一个数的立方根，求这个数题型四与立方根有关的规律计算题型五立方根的实际应用题型六平方根与立方根的综合应用【知识梳理】知识点一：立方根1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．2.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3.求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．总结：类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论【经典例题一立方根的概念理解】1．（2023·江苏南京·九年级专题练习）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（）A．16的4次方根是2B．32的5次方根是±2C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为偶数时，2的n次方根有n个【答案】C【分析】根据新定义的意义计算判断即可．【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若＝2.89，＝28.9，则b等于（）A．1000000 B．1000 C．10 D．10000【答案】B【分析】根据立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值．【详解】∵＝2.89，＝28.9，∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，∴b＝103＝1000，故选：B．【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，难度适中．3．（2022秋·八年级单元测试）以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数的范围是；③的平方根是；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：．（请填写序号）【答案】②【分析】根据有理数、近似数字、平方根、立方根等概念即可判断．【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称为有理数，故原说法错误；②根据四舍五入可知，近似数1.70所表示的准确数的范围是，说法正确；③的平方根是，原说法错误；④立方根是它本身的数是0和±1，原说法错误；故答案为：②．【点睛】本题考查学生对概念的理解，解题的关键是正确理解有理数、近似数字、平方根、立方根等概念，本题属于基础题型．4．（2023春·江苏南通·七年级南通市通州区育才中学校考阶段练习）已知1.038，，，则.【答案】-0.482【分析】根据被开方数小数点移3位，开立方后的结果向同方向移一位进行计算．【详解】解：∵≈4.820，被开方数小数点向左移3位，开立方后的结果小数点向左移一位，∴≈-0.482.故答案为：-0.482【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握小数点的移动规律．被开方数小数点移3位，开立方后的结果小数点向同方向移一位，5．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期末）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15．（1）求x的值；（2）求a+1的立方根．【答案】（1）x＝2；（2）2【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可；（2）把（1）中求出的a的值代入a+1，然后再求立方根即可．【详解】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，∴（x+5）+（4x﹣15）＝0，∴5x﹣10＝0，解得x＝2；（2）由（1）得x＝2，∴a＝（2+5）2＝49．a+1＝×49+1＝7+1＝8，∴a+1的立方根是：＝2．【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．【经典例题二求一个数的立方根】1．（2023春·江苏南通·七年级南通市新桥中学校联考阶段练习）一个正数b的平方根为和，则的立方根是（

）A．2 B．3 C．9 D．【答案】B【分析】先根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a，进而求得b，然后代入代数式，最后求立方根即可．【详解】解：∵一个正数b的平方根为和∴，解得∴∴∴的立方根是3．故选B．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数求得a成为解答本题的关键．2．（2021秋·江苏·八年级专题练习）如果，，，那么的值有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据平方根、立方根和算术平方根的定义得出m，n，x的值，再代入计算可得答案.【详解】∵，，，∴或，，或．当，，时，；当，，时，；当，，时，；当，，时，．故选C.【点睛】此题主要考查了平方根的定义，算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单.3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，，=．【答案】【分析】利用立方根定义判断即可，．【详解】解：，，故答案为．【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知实数、满足，则的立方根是．【答案】【分析】根据绝对值、偶次幂的非负性求出a、b的值，进而求出的值，再根据立方根的定义进行计算即可．【详解】解∶∵，，，∴，，∴，，∴，∴的立方根是．故答案为：．【点睛】本题考查绝对值、偶次幂的非负性以及立方根，理解绝对值、偶次幂的非负性是解决问题的关键．5．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：，，且，求的立方根．【答案】或．【分析】根据绝对值的化简及平方根的性质得到，利用得到或，再求出即可得到立方根．【详解】解：∵，，∴，∴或，∵，∴或，∴，或，∴的立方根是或．【点睛】此题考查了立方根的定义，平方根的定义，绝对值的化简，有理数乘法法则，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．【经典例题三已知一个数的立方根，求这个数】1．（2023春·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）若a2＝16，＝2，则a+b的值为（）A．12 B．4 C．12或﹣4 D．12或4【答案】D【分析】根据平方根和立方根的意义求出a、b即可．【详解】解：∵a2＝16，∴a＝±4，∵＝2，∴b＝8，∴a+b＝4+8或﹣4+8，即a+b＝12或4．故选：D．【点睛】本题考查了平方根和立方根以及有理数加法，解题关键是明确平方根和立方根的意义，准确求出a、b的值，注意：一个正数的平方根有两个．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故选：A．【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，且，则的算术平方根是．【答案】2【分析】先对已知等式进行变形，再利用偶次方和算术平方根的非负性求出a、b的值，然后利用立方根求出c的值，最后代入求值，计算算术平方根即可得．【详解】，，，则，解得，由得：，则的算术平方根是，故答案为：2．【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性、算术平方根与立方根、完全平方公式，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）a是的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为．【答案】-5【详解】∵32<10<42,∴的整数部分a=3,∵b的立方根为-2,∴b=-8,∴a+b=-8+3=-5.故答案是：-5.5．（2022秋·八年级单元测试）已知某正数的平方根是和，的立方根为．(1)求这个正数的立方根；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，的立方根为，即可得方程，解方程即可求得；（2）根据（1）可求得的值，再根据平方根的求法，即可求得．【详解】（1）由题意得：，解得：，则，∴这个正数为25，∴这个正数的立方根为；（2）由题意得：，解得：，∴，∴的平方根为．【点睛】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的计算方法．【经典例题四与立方根有关的规律计算】【例4】（2022春·七年级课时练习）已知≈1.710，不再利用其他工具，根据规律能求出近似值的是()A． B． C． D．【答案】D【分析】当被开立方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位．由此即可得出答案．【详解】A．=，由题意不能得出其近似值；B．，由题意不能得出其近似值；C．，由题意不能得出其近似值；D．≈－1.710×10－1=－0.1710．故选D．【点睛】本题考查了立方根的知识，并考查了学生的转化思想，需要利用已知数据来表示未知数据；也要掌握：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也相应的移动一位．【变式训练】1．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案．【详解】解：，，则．故选：D．【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位．2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）观察下列各式：用字母n表示出一般规律是．（n为不小于2的整数）【答案】（n为不小于2的整数）【分析】分析被开方数的变换规律即可求得【详解】解：1、观察4个等式左边根号内分数的特点：①整数部分与分数部分的分子相等，即2=2，3=3，4=4，5=5，②整数部分与分数部分的分母有下列关系：，2、观察四个等式右边的立方根前的倍数正好是等式左边被开方数的整数部分，立方根里的分数正好是左边被开方数的分数部分，所以其中的规律可以表示为（n为不小于2的整数）故答案为：（n为不小于2的整数）．【点睛】本题考查了立方根的规律探究，分析被开方数的变换规律是解题关键．3．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）阅读理解，观察下列式子：①；②；③；④；……根据上述等式反映的规律，回答如下问题：(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式：．(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若，则；反之也成立．(3)【拓展与应用】：根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且，求的值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)（或互为相反数）(3)9【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可；（2）观察规律若，则；（3）按照规律计算出和的值，再计算的值即可．【详解】（1）解：，故答案为：（答案不唯一）；（2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律，若，则，故答案为：（或a，b互为相反数）；（3）解：与的值互为相反数，，，，，，．【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键．【经典例题五立方根的实际应用】1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）将一个体积为216立方米的正方体木块锯成8个同样大的正方体木块，表面积变成原来的()A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．8倍【答案】B【分析】根据8块小正方体的体积之和等于大的正方体的体积,可设小正方体的棱长为x米,列方程为8x=216,求解方程得出棱长x的值,再求小正方体的表面积即可【详解】解:设小正方体的棱长为x米,根据题意得8x=216两边同时除以8,得x=27开立方,得x=3所以小正方体的表面积为6∗3=54平方米8个小正方体的表面积为8×54=432平方米大立方体的棱长为=6米则表面积为6×6×6=216平方米因为432÷216=2,所以锯成8个同样大的正方体木块,表面积变成原来的2倍故选B【点睛】此题考查立方根，解题关键在于掌握运算法则2．（2023秋·全国·八年级专题练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（

）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【答案】D【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，∴小立方体的棱长，由三视图可知，最高处有四个小立方体，∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，故选D．【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．3．（2022秋·山西大同·八年级统考期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为．【答案】【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积．【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为，所用面积为：．故答案为：．【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系．4．（2023春·全国·七年级专题练习）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，∴的十位数字是3；∴＝39；【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为．【答案】-13【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．【详解】∵＋59049＝0，∴，∵＜19683＜，∴是两位整数；∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，∴的末位数字是7；又∵划去19683的后面三位683得到19，而2＜＜3，∴的十位数字是2；∴＝27；∴，解得x=-13，故答案为：-13．【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．5．（2022秋·浙江·七年级期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．

(1)这个魔方的棱长为__________．(2)图1的侧面有一个正方形ABCD，求这个正方形的面积和边长．(3)将正方形ABCD放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则D在数轴上表示的数为__________．【答案】(1)6(2)面积是，边长是(3)【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方，再利用立方根的含义求解即可；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度，利用勾股定理求解即可；（3）由，把A往左边平移个单位即可得到D点表示的数．【详解】（1）解：解：设魔方的棱长为，根据题意得，∴，故答案为6．（2）设小正方体的棱长为，根据题意得，∴∴所以根据勾股定理得，∴，正方形的面积为18，答：这个正方形的面积是，边长是．（3）由（2）知，，∵点A对应的数是2，∴把A往左边平移个单位长度可得点D对应的数是．【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理，二次根式的化简，正方体的体积=棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示．【经典例题六平方根与立方根的综合应用】1．（2022春·广东佛山·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4C．0没有立方根 D．1的立方根是±1【答案】A【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可．【详解】∵4的算术平方根是2，∴A正确，符合题意；∵0.16的平方根是±0.4，∴B错误，不符合题意；∵0的立方根是0，∴C错误，不符合题意；∵1的立方根是1，∴D错误，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，立方根如果一个数的立方等于a，称这个数为a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）若a是的平方根，b是的立方根，则a+b的值是（

）A．4 B．4或0 C．6或2 D．6【答案】C【分析】由a是的平方根可得a=±2，由b是的立方根可得b=4，由此即可求得a+b的值．【详解】∵a是的平方根，∴a=±2，∵b是的立方根，∴b=4，∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．故选C．【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、b=4是解决问题的关键．3．（2023春·四川自贡·七年级统考期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是．【答案】8【分析】利用算术平方根、立方根的定义求出的值，代入进行计算即可．【详解】解：的算术平方根是2，的立方根是，，，解得：，，，故答案为：8．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简：．【答案】【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．【详解】解：由数轴可知，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：…………(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大；(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：，；(3)已知则，．(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？【答案】(1)倍(2)；(3)；(4)能直接说出，不能直接说出的值【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致；（2）根据规律进行计算即可求解；（3）根据规律进行计算即可求解；（4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致．【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍,故答案为：倍．（2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；，故答案为：；．（3）∵∴；（4）解：∵，∴，不能直接说出的值【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．【重难点训练】1．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案．【详解】解：，，则．故选：D．【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位．2．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进而求得第2020次输出的结果，再计算算术平方根的立方根即可．【详解】解：由题意可得，当时，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1，第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2，……，∵，则第2020次输出的结果是4，4的算术平方根是2，2的立方根是，故选：D．【点睛】本题考查数字的变化类，程序图，算术平方根和立方根，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字．3．（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（

）甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2C．乙说的对，x的另一个值是 D．两人都不对，x应有3个不同值【答案】D【分析】根据立方根的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴或，当时，；当时，；当时，；即x有3个不同的值，故两人说法都不对；故选：D．【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．4．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（

）A．10 B．10（-1） C．100 D．-1【答案】B【详解】由于计算器显示结果的位数有限，要想在原来显示的结果的右端再多显示一位数字，则应该设法去掉左端的数字“1”.对于整数部分不为零的数，计算器不显示位于左端的零.于是，先将原来显示的结果左端的数字“1”化为零，即计算.为了使该结果的整数部分不为零，再将该结果的小数点向右移动一位，即计算.这样，位于原来显示的结果左端的数字消失了，空出的一位由原来显示结果右端数字“7”的后一位数字填补，从而实现了题目的要求.根据以上分析，为了满足要求，应该在这个计算器中计算的值.故本题应选B.点睛：本题综合考查了计算器的使用以及小数的相关知识.本题解题的关键在于理解计算器显示数字的特点和规律.本题的一个难点在于如何构造满足题目要求的算式.解题过程中要注意，只将原结果的左端数字化为零并不一定会让这个数字消失.只有当整数部分不为零时，左端的零才不显示.另外，对于本题而言，将结果的小数点向右移动是为了使该结果的整数部分不为零，要充分理解这一原理.5．（2023秋·全国·八年级专题练习）若，，＝．【答案】【分析】利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．6．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是．【答案】【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，…这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，这一列数中的第个数应是，故答案为：．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．7．（2023春·福建厦门·七年级统考期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的：（1）由，，确定立方根是位数．（2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是．（3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为．请你仿照以上的方法，计算．【答案】【分析】根据题意的方法，确定个位数与百位数，再进行估算即可求解．【详解】解：（1）由，，确定算术平方根是位数．（2）由的个位数是，确定其算术平方根的个位数是．（3）划去后面四位数，得到数，而，可以确定个位数是．∵，，，∴十位数字为，因此可以得到，经检验故答案为：．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的定义，根据题意找到规律是解题的关键．8．（2021春·北京·七年级期中）我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程在有理数范围内无解；若不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号．①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．【答案】①②【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．【详解】①，则，即，∴，在实数范围内有解，故选项①正确；②，则，∴在实数范围内的解有两个，故选项②正确；③，整理得：，配方得：，开方得：或(舍去)，∴，∴原方程在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误；④当时，；当时，；当时，；故选项④