15.3 分式方程（解析版）

15.3分式方程1.理解和掌握分式方程的概念、分式方程的解法，能够解分式方程；2.理解和掌握分式方程的增根的含义；3.理解和掌握列分式方程解应用题的方法、步骤和常见的等量关系。一、分式方程1.分式方程(1)概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程。(2)特征：一是方程；二是分母中含未知数。因此，整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数。2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程去分母，整式方程。(2)解分式方程的一般步骤：①去分母：在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程。②解方程：解这个整式方程。③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根；使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去。(3)分式方程验根的方法：把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误。3.分式方程的增根(1)增根的定义：在方程两边都乘一个含未知数的最简公分母时，扩大了未知数的取值范围。有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫方程的增根。(2)分式方程产生增根的原因：解方程时，总是将方程两边同乘以含有未知数的整式(即最简公分母)，将分式方程化为整式方程，当所乘的这个整式不为零时，所得的整式方程与原方程同解；当所乘的整式为零时，原方程中的分式无意义，求出来的根就是增根。(3)增根的特点：增根是原分式方程转化成整式方程后所产生的根，增根必定使各分式的最简公分母的值等于0。题型一分式方程的定义在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；关于的分式方程的个数为1个，故选：A．1．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围．【详解】解：去分母：解得：∵∴∵方程的解是正数∴∴综上：且故选：A2．下列是分式方程的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数的方程，即可得解．【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；D、分母含有未知数，所以D是分式方程；故选：D．题型二解分式方程解方程：(1)(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：，去分母得：，整理得：，解得：，经检验是分式方程的解；（2）解：，去分母得：，整理得：，解得：，经检验是分式方程的解．1．解方程：(1)(2)【答案】(1)；(2)无解【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：，方程的两边同乘得，，解得，，检验，把代入最简公分母，所以是原方程的解；（2）解：，方程的两边同乘得，，解得，，检验，把代入最简公分母，所以是原方程的增根，∴原方程无解．2．解分式方程．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可；（2）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可．【详解】（1）解：方程两边都乘以，得：，解得：，检验：当时，，∴原分式方程的解是；（2）解：方程两边都乘以，得：，解这个方程，得．检验：时，，∴原分式方程的解是．题型三根据分式方程的解的情况求值关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，可得，且，即可求解．【详解】解：去分母得，，∴，∵方程的解是负数，且，∴，且，∴a的取值范围是且．故选：B．1．已知关于x的方程的解是，则a的值为（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】将代入方程，即可求a的值．【详解】解：∵关于x的方程的解是，∴，解得，经检验是方程的解．故选：C．2．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程，再根据分式方程有解并解为正数得到关于m的不等式，然后求解即可．【详解】解：原方程去分母，得，解得，∵原分式方程的解为正数，∴，解得且，故选：D．题型四分式方程的增根问题若关于的方程无解，则值为（

）A． B． C．3 D．11【答案】B【分析】将分式方程化成整式方程，求出使最简公分母为0的x的值，代入整式方程或根据整式方程无解，进行计算即可；【详解】解：将分式方程变为整式方程得：．整理得：，∵原分式方程无解，∴，∴，解得：．故选B．1．关于的方程有增根，则增根可能是（

）A．1 B．3 C．－1 D．1或【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出所求即可．【详解】解：∵方程中各分式的最简公分母为，分式方程有增根，∴，解得，化简为，当时，，当时，，综上，增根可能是1或．故选：D．2．若方程无解，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【详解】解：去分母得：，由分式方程无解，得到，即，把代入，得：．故选：A．二、分式方程的应用1.分式方程的应用解题步骤：分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的思路和方法基本相同。简单地说就是“审、找、设、列、解、验、答”。①审：审清题意。②找：找出相等关系。③设：设未知数。④列：列出分式方程。⑤解：解这个分式方程。⑥验：既要检验所得未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验其是否符合题意。⑦答：写出答案。2.构建分式方程的方法(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程。(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数。3.用分式方程解应用题的常见题型(1)行程问题：有路程、时间和速度3个量，其关系式是“路程=速度×时间”，一般是以时间为等量关系。(2)工程问题：有工作效率、工作时间和工作总量3个量，其关系式是“工作总量=工作效率×工作时间”，一般以工作总量为等量关系。(3)增长率问题：其等量关系式是“原量×(1+增长率)=增长后的量，原量×(1-减少率)=减少后的量”。题型五列分式方程嘉淇一家自驾游去某地旅行，导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路一的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少半小时．设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为km/h，由题意得：，故选：D．1．某车间加工600个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用5h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】加工600个零件，新工艺前加工时间为；新工艺加工时间为，然后根据题意列出方程即可．【详解】解：加工600个零件，新工艺前加工时间为；新工艺加工时间为，根据题意得．故选：B．2．“十一”黄金周，几名同学乘坐一辆客车前去“方特欢乐世界”游玩，客车的车费为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设实际参加游览的学生共有人，则所列方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设实际参加游览的同学共人，则实际每人分担的车费为：元，原来每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系从而列出方程．【详解】解：设原来参加游览的同学共人，根据题意可得：，故选：D．题型六分式方程的应用为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公路．某筑路工程公司中标了一段公路的路基工程，计划在规定时间完成．为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工程量是原计划的倍，结果提前天完成任务，那么该筑路工程公司实际每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【答案】米【分析】设该筑路工程公司实际每天完成路基米，由实际天数原计划天数列方程，解方程可求解．【详解】解：设该筑路工程公司实际每天完成路基米，由题意得：，解得，经检验：是分式方程的解，答：设该筑路工程公司实际每天完成路基米．1．在甲、乙两个社区各设立了一个核酸检测点，经统计，甲社区检测点平均每小时检测的人数是乙社区检测点平均每小时人数的1.2倍，检测1200人，甲检测点比乙检测点少用1小时完成．求甲检测点平均每小时核酸检测的人数？【答案】240人【分析】设乙社区检测点每小时检测x人，则甲社区检测点每小时检测人数人，根据检测时间检测总人数每小时检测人数列分式方程，求解检验后即可得到答案．【详解】解：设原计划每小时检测x人，则实际每小时检测人数人，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴甲检测点平均每小时核酸检测的人数为：人，答：甲检测点平均每小时核酸检测的人数为240人．2．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和弟子颜回等到离所住驿站里的书院讲学，弟子们步行出发小时后，孔子坐牛车出发，已知牛车的速度是步行的倍，结果孔子和弟子们同时到达书院，求孔子及其弟子们的速度各是多少里小时．【答案】弟子们步行速度为里小时，孔子坐牛车速度是里小时【分析】设弟子们步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度是每小时里，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．【详解】解：设弟子们步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度是每小时里，由题意可得：解得，，经检验是原分式方程的解，当时，．答：弟子们步行速度为里小时，孔子坐牛车速度是里小时一、单选题1．下列方程中，不是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可.【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意.故选：D.2．在正数范围内定义一种运算“”，共规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据新定义列出方程，再计算即可．【详解】∵，∴，，解得，经检验是原方程的根，故选：A．3．关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出的范围即可．【详解】解：去分母得：，解得：，由题意得：，解得：又因为，即所以，综上所述：且故选D．4．关于x的分式方程有增根，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．【详解】解：分式方程变形，得，把代入，得；故选：B．5．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高，结果提前10天完成这一任务，设原计划每天铺设管道，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每天铺设管道，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可得出关于的分式方程，此题得解．【详解】解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高，且原计划每天铺设管道，实际施工时每天铺设管道，根据题意得：，故选：D．6．若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是．下列说法①4的“友好数”是；②若实数a的“友好数”与其倒数相等，则；③已知，是的“友好数”，是的“友好数”，…，依此类推，则．以上说法中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】运用定义对各选项进行计算、推导、辨别．【详解】解：，的“友好数”是,说法①符合题意；解方程，解得：，经检验是该方程的根，实数a的“友好数”与其倒数相等，则，说法②符合题意；，，，，，按照3，，，，3，4次一循环周期的规律出现，，，，，，说法③不符合题意；故选：C．二、填空题7．关于x的分式方程的解小于1，则a的取值范围是．【答案】【分析】先将方程两边都乘以，将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出，以及该分式方程的解小于1，列出不等式，即可求解．【详解】解：两边都乘以，得，移项，得：，合并同类项，得：，化系数为1，得：，∵，∴，解得：，∵该分式方程的解小于1，∴，解得：，综上：a的取值范围是．故答案为：．8．若关于x的分式方程的解是非负数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是．【答案】【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程的解是非负数解，可得且，再根据，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可．【详解】解：去分母，得，解得，∵关于x的分式方程的解是非负数解，∴且，解得且，∵，∴，∴a的取值范围是且，∴满足条件的整数a的值有，∴，故答案为：．9．观察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的规律，求关于x的方程（n为正整数）的解是．【答案】或【分析】先写出第个方程及其解，将所求方程转化为，再将作为整体写出方程的解即可．【详解】解：根据题意，得：第个方程为，解为：或，方程可化为：即，或，解得：或．故答案为：或．10．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，关于的方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为．【答案】【分析】根据含参数一元一次不等式组的解法得到的范围，再由关于的方程的解为正整数，求出得到的范围，从而得到答案．【详解】解：，由①得；由②得；关于的不等式组有且仅有3个整数解，，即；由可知，当为整数时，取，解关于的方程得，关于的方程的解为正整数，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；则符合条件的所有整数的和为，故答案为：．11．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种4000棵树，后来由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前10天完成任务，那么原计划每天种棵树．【答案】80【分析】设该村原计划每天种树x棵，则实际每天种数棵，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”结合实际比原计划提前10天完成任务，即可得出关于x的分式方程求解即可．【详解】解：设该村原计划每天种树x棵，则实际每天种数棵，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意．故答案为：80．12．已知关于x的分式方程．（1）若，则x＝．（2）若该方程的解为负整数，整数m的值有个．【答案】43【分析】（1）将代入分式方程，解方程，检验即可解答．（2）去分母得，根据题意得到，解答即可．【详解】（1）解：将代入，得，，方程两边同乘以，，去括号得，合并同类项，，系数化为一，检验：把代入得：，∴是原分式方程的根（2）解：两边同乘以，去分母得，去括号得，合并同类项，，∵是负整数，∴是4的约数，∴，当时，当时，当时，∴，∴整数m的值有3个．三、解答题13．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)无解；(2)【分析】（1）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；（2）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．【详解】（1）解：方程两边同乘，得：，解得：；当时，，∴原方程无解．（2）方程两边同时乘以，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：；经检验，是原方程的解．∴原方程的解为．14．某校开展了主题为“粽叶飘香，自包米辣．共度端午，互赠祝福”活动，让住校生亲身体验包粽子的实践活动．学校决定用1800元购进包粽子的两种原材料，腊肉丁陷和绿豆花生馅的粽子，已知用来购买两种馅的费用一样，腊肉丁馅粽子比绿豆花生馅每个粽子成本价高20%，两次共包粽子1100个，求腊肉丁陷的粽子每个成本价是多少元？【答案】腊肉丁馅的粽子每个成本价是元．【分析】设绿豆花生馅的粽子每个成本价是x元，则腊肉丁馅的粽子每个成本价是元，利用数量=总价÷单价，结合两次共包粽子1100个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出绿豆花生馅的粽子每个成本价，再将其代入中，即可求出腊肉丁馅的粽子每个成本价．【详解】解：（元）．设绿豆花生馅的粽子每个成本价是x元，则腊肉丁馅的粽子每个成本价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．答：腊肉丁馅的粽子每个成本价是元．15．某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．(1)足球和篮球的单价各是多少元？(2)学校要一次性购买足球和篮球共200个，但要求总费用不超过15500元，学校最多可购买多少个篮球？【答案】(1)足球的单价为元，篮球的单价为元(2)学校最多可购买116个篮球【分析】（1）设足球的单价为元，根据篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程进行求解即可；（2）设购买篮球个，根据总费用不超过15500元，列出不等式进行求解即可．【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为：元，由题意，得：，解得：；经检验，是原方程的解，∴，答：足球的单价为元，篮球的单价为元；（2）设购买篮球个，则购买足球个，由题意，得：，解得：，∵为整数，∴的最大值为116；答：学校最多可购买116个篮球．16．计算题(1)解不等式组．(2)把下列各式因式分解：①；②．(3)先化简，再求值：，其中．(4)当m为何值时，关于x的方程无解．【答案】(1)(2)①；②(3)，4(4)【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，继而得到不等式组的解集；（2）①先提公因式，再利用完全平