初中代数综合题检测及答案

１初中代数综合题检测及答案一、计算题1.如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．yxyxOM112.已知，求的值．解：3.已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；12344321xy12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1（1）证明：（2）解：（3）解：4.已知，求的值．5.已知一次函数的图象与反比例函数的图象都经过点．（1）求a和k的值；（4分）（2）判断点是否在该反比例函数的图象上？（4分）解：6.已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）求反比例函数的关系式；（2）求点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？7.已知：抛物线经过点．（1）求的值；（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）.8.已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．9.计算：.10.先化简÷，再求值（其中是满足-3<<3的整数）．11.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．（1）根据图象，分别写出点A、B的坐标；（2）求出这两个函数的解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？11ABO2xy二、复合题12.如图，在梯形中，，，，于点E，F是CD的中点,DG是梯形的高．(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)设，四边形DEGF的面积为y,求y关于x的函数关系式.(1)证明：(2)解:三、猜想、探究题13.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；解：（1）（2）14.l1l2xyDO3BCA（4，0）如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点l1l2xyDO3BCA（4，0）（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．15.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．16.如图，抛物线y＝EQ\F(1,2)x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（4分）（2）判断的形状，证明你的结论；（4分）（3）点是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．（4分）ABCDxyO1ABCDxyO11解：17.如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 四、动态几何18.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？19.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）.平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）.(1)点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；(2)当t=秒或秒时，MN=AC；(3)设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；(4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由.20.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．（1）求证:ADE∽BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=，BF=．当取什么值时，有最大值?并求出这个最大值．一、计算题第1题答案.解：由图象可知，点在直线上， 1分．解得． 2分直线的解析式为． 3分令，可得．直线与轴的交点坐标为． 4分令，可得．直线与轴的交点坐标为． 5分第2题答案.解： 2分． 3分当时，． 4分原式． 5分第3题答案.（1）证明：是关于的一元二次方程，．当时，，即．方程有两个不相等的实数根． 2分（2）解：由求根公式，得．或． 3分，．，，． 4分．12344312344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象． 6分由图象可得，当时，． 7分第4题答案.解：原式．当时，原式．第5题答案.解：（1）一次函数的图象过点，，． 2分反比例函数的图象过点，． 4分（2）解法一：当时，， 6分而，点不在的图象上． 8分解法二：点在第四象限，而反比例函数的图象在一、三象限． 6分点不在的图象上． 8分第6题答案.POQxy1POQxy1221-1-2-2-1反比例函数图象经过点．． 2分反比例函数关第式． 3分（2）点在上，． 5分． 6分（3）示意图． 8分当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 10分第7题答案.解：（1）依题意得：， 2分． 3分（2）当时，， 4分抛物线的顶点坐标是． 6分yxOBPA（3yxOBPA对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，且． 9分．． 10分又，． 11分抛物线所对应的二次函数关系式． 12分解法2：（3）当时，，对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，，且 9分． 10分又，解得： 11分这条抛物线对应的二次函数关系式是． 12分解法3：（3），， 7分轴， 8分即：．解得：，即 10分由，． 11分这条抛物线对应的二次函数关系式 12分第8题答案.解：（1）由题意，得， 1分解得．所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 2分解，得．由，得． 4分所以两函数图象交点的坐标为（2，2），． 5分（2）因为反比例函数的图象分别在第一、三象限内，的值随值的增大而减小， 6分所以当时，． 7分当时，． 8分当时，因为，，所以． 9分第9题答案.原式=3-2………………………5分=1．………………………6分第10题答案..………4分（其中通分1分，除法变乘法1分，分子分母分解因式1分，化简1分）在-3<p<3中的整数p是-2，-1，0，1，2，……………………5分根据题意，这里p仅能取-1，此时原式=.…………………6分（若取p=-2，0，1，2，代入求值，本步骤不得分；直接代-1计算正确给1分）第11题答案.（1）解：由图象知，点A的坐标为（－6，－2），点B的坐标为（4，3）．（2）∵反比例函数的图象经过点B，∴，即．∴所求的反比例函数解析式为．1ABO2xy∵一次函数1ABO2xy∴解这个方程组，得∴所求的一次函数解析式为．（3）由图象知，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x的取值范围为：．二、复合题第12题答案.(1)证明:∵,∴梯形ABCD为等腰梯形.∵∠C=60°,∴,又∵,∴.∴.∴.由已知,∴AE∥DC.………………2分又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中点,∵F是DC的中点,∴EF∥BC.∴EF∥AD.∴四边形AEFD是平行四边形.………………4分(2)解：在Rt△AED中,,∵,∴.在Rt△DGC中∠C=60°,并且,∴.…………6分由(1)知:在平行四边形AEFD中,又∵,∴,∴四边形DEGF的面积,∴.………………8分三、猜想、探究题第13题答案.解：（1）沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，．设直线的解析式为．在直线上，．解得．直线的解析式为． 1分抛物线过点，1O1Oyx2344321-1-2-2-1PEBDACF图1解得抛物线的解析式为． 2分（2）由．可得．，，，．可得是等腰直角三角形．，．如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，．过点作于点．．可得，．在与中，，，．，．解得．点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或． 5分第14题答案.解：（1）由，令，得．．．（2）设直线的解析表达式为，由图象知：，；，．直线的解析表达式为．（3）由解得．，．（4）．第15题答案.解：（1）；．（2）在中，，．设点的坐标为，其中，顶点，设抛物线解析式为．①如图①，当时，，．解得（舍去）；．．．解得．抛物线的解析式为②如图②，当时，，．解得（舍去）．③当时，，这种情况不存在．综上所述，符合条件的抛物线解析式是．（3）存在点，使得四边形的周长最小．如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．，．．．又，，此时四边形的周长最小值是．第16题答案.．解：（1）点在抛物线上，，．抛物线的解析式为． 2分，顶点的坐标为． 4分（2）当时，，．当时，，，，． 6分，，．，，，．是直角三角形． 8分（3）作出点关于轴的对称点，则，．连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小． 9分解法一：设抛物线的对称轴交轴于点．轴，，．．．．． 12分解法二：设直线的解析式为，则，解得，．．当时，，．． 12分第17题答案.解：（1）DC∥AB，AD=DC=CB，∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分∠DAB=∠CBA，∠DAB=2∠DBA， 1分∠DAB+∠DBA=90，∠DAB=60， 1.5分∠DBA=30，AB=4，DC=AD=2， 2分RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分A（-1，0），D（0，），C（2，）． 4分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），故可设所求为=（+1）（-3） 6分将点D（0，）的坐标代入上式得，=．所求抛物线的解析式为= 7分其对称轴L为直线=1． 8分（3）PDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，P1DB为等腰三角形； 9分②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5． 10分由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个． 11分四、动态几何第18题答案.解：（1）是等边三角形．当时．．．．又，是等边三角形．（2）过作，垂足为．由，得．由，得．．（3），．又，是等边三角形．．，，．四边形是平行四边形．．又，．，．，即．解得．当时，．第19题答案.解：(1)（4，0），（0，3）；…………2分(2)2，6；……………………4分(3)当0＜t≤4时，OM=t.由△OMN∽△OAC，得，∴ON=，S=.……6分当4＜t＜8时，如图，∵OD=t，∴AD=t-4.方法一：由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴BM=6-.………7分由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴CN=t-4.………8分S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积-Rt△MBN的面积-Rt△NCO的面积=12--（8-t）（6-）-=.