第三章-导数与微分习题答案

第三章导数与微分习题答案练习题3.1根据导数定义，求下列函数的导数：（1），求。解：。（2），求。解：。求抛物线在点处的切线方程和法线方程。解：在处的切线斜率为，法线斜率为，在处的切线方程为；法线方程为。为何值时，与相切？解：设与在相切，则有，解得。试求出曲线与轴交点处的切线方程。解：曲线与轴的交点为，；切线斜率为，切线方程为。讨论在处的连续性和可导性。解：由于，，，则在处连续。又，，，所以在处可导且。讨论分别在，，处的连续性与可导性，并求出。解：在处，，，，故在处连续。又，，故在处不可导。在处，，，，故在处连续。又，，故在处可导。在处，，，则在处不连续，从而在处不可导。且。练习题3.2求下列函数的导数（其中为常量）：（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2.求下列函数在指定点的导数：（1）已知，求，。解：，，。（2）已知，求，。解：，。练习题3.3求下列函数的导数：（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：（7）：（8）：（9）：（10）：（11）：（12）：2.若函数，且，求。解：。3.证明：（1）可导的偶函数的导数是奇函数。证明：设为偶函数且可导，则有，两边对求导，有，即，得证。（2）可导的奇函数的导数是偶函数。证明：设为奇函数且可导，则有，两边对求导，有，即，得证。（3）可导的周期函数的导数是具有相同周期的周期函数。证明：设为可导周期函数，周期为，则有，两边再对求导，得到，得证。4.设在处连续，且（为常数），证明：在处可导。证明：由于在处连续，则，又因为，极限存在，则必有，即，从而，即在处可导。5.求下列隐函数的导数：（1）：，（2）：，6.利用对数求导法求下列函数的导数：（1）：，（2）：，（3）；（4）：求下列函数的高阶导数：（1），求。解：，。（2），求。解：，。（3），求。解：，（4），求。解。（5），求。解：，，，（6），求。解;：，，，8．已知，求及。解：，，。9.验证：满足关系式。证明：，，代入，则左边==右边，等式成立。10.求由曲线所确定的函数的导数。解：。11.求曲线在处的切线方程和法线方程。解：切线的斜率为，切线过点，则切线方程为，法线方程为。练习题3.4求下列函数的微分：（1）.：（2）.：（3）.：（4）.：（5）.：（6）.：（7）.，求：解：，，（8）.，求：解：，（9）.，求：（10）.,求：2.求下列各式的近似值：（1）.：设，则（2）.：设，（3）.：设，则（4）.：设，，而，则3.落在平静水面上的小石子儿产生同心波纹，若最外一圈波半径增大率总是m/s，问在s末被扰动水面面积增大率为多少？解：由题意，被扰动的水面面积为，，秒末最外一圈波半径为m/s，。4.一球在斜面上向上滚，在s末与开始的距离为m，其初速度是多少？何时开始向下滚？解：，当时，初速度；当，即时，开始向下滚动。5.一矩形两边长分别用来表示，若边以m/s的速度减少，边以m/s的速度增加，求在m，m时矩形面积的变化速度积对角线的变化速度。解：矩形的面积，；对角线，。6.设气体以的常速注入球状的气球，假定气体的压力不变，那么当半径为时，气球半径增加的速率是多少？解：，。已知，在时计算当时的和。解：，时，；时，时，复习题三1.判断题（1）（）若函数在点可导，则；（2）（√）若在处可导，则一定存在；（3）（√）函数是定义区间上的可导函数；（4）（）函数在其定义域内可导；（5）（）若在上连续，则在内一定可导；（6）（）；（7）（）函数在点可导；(8)（√）若则；(9)（）；(10)（）若在点不可导，则在不连续；(11)（）函数在点处不可导.2.填空题，则；曲线在点处的切线方程是；设，则=；=；设，则=；设，则；曲线在点处的切线方程是；若与在处可导，则=；=；设在处可导，且，则用的代数式表示为；导数的几何意义为；曲线在处的切线方程是；曲线在处的切线方程是；则；曲线在点处切线方程是；的近似值是；17.（是正整数）的阶导数是；选择题设在点处可导，则下列命题中正确的是（A）（A）存在（B）不存在（C）存在（D）不存在设在处可导，且，则等于（D）（A）4（B）–4（C）2（D）–2设，则在点处（A）（A）可导（B）连续但不可导（C）不连续（D）无定义设可导，则=（B）（A）（B）（C）（D）设，且存在，则等于（B）（A）（B）（C）（D）函数，则（D）（A）（B）（C）（D）函数的导数为（D）（A）（B）（C）（D）函数在处连续，是在处可导的（B）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件已知，则（C）（A）（B）（C）（D）函数在处（D）（A）连续但不可导（B）连续且可导（C）极限存在但不连续（D）不连续也不可导函数，在处（B）（A）左连续（B）右连续（C）连续（D）左、右皆不连续设，则（A）（A）（B）（C）（D）设，则（A）（A）（B）（C）（D）已知函数，则（A）（A）（B）（C）（D）设，则在处（C）（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续+（C）连续但不可导（D）可导已知，则（C）（A）（B）（C）（D）计算与应用题设（），求解：设确定是的函数，求解：设，求解：设，求解：设确定是的函数，求解：设，求解：，求及解：,求及解：，，求及解： ，求及解：，求及解：,求及解：已知，求解：设，求解：