岩石常规三轴强度准则的试验研究

岩石常规三轴强度准则的试验研究

1mohs强度准则至于岩石材料，只有两种类型：伸展和切割。承受拉应力的岩石破坏特征,因试验方法的困难和试验数据的离散,尚缺乏明确结论;压应力下剪切破坏已有大量的理论和试验研究;而断裂力学、损伤力学概念的引入以及计算机便利的作图、分析功能,更使得多种数学形式的强度准则得到了广泛研究[4~10]。目前真三轴应力状态的试验数据还较少,离散性也较大,而不考虑中间主应力的强度准则是偏于安全的。就此而言,除了利用孔壁崩落确定地应力需要准确的岩石真三轴强度准则外,岩体工程设计需要研究的主要是常规三轴强度准则,即一定体积的岩体处于均匀应力状态下,总是满足:式中:σ1为最大主应力,σ3为最小主应力。式(1)中以压应力为正,且该式等号成立时,岩石破坏。通常都尽可能将强度准则写成显式,即一方面,基于圆柱试样的常规三轴压缩试验结果,即强度σS与围压σ2=σ3的关系,利用数学方法可以确定函数f的形式;另一方面,基于岩石压应力下的剪切破坏特征,认为岩石内任一断面上的剪切应力τ和正应力σ总是满足:式(3)等号成立时,岩石破坏。将其写成显式为这就是通常所说的Mohr强度准则。其自然的推论是,中间主应力对剪切破坏没有影响。如尤明庆所论述,即使这一结论对微元体成立,因岩石在细观上并非各向同性,对宏观岩块并不能成立。直接剪切试验中试样内部以及预定的剪切破坏面上并非承载均匀的应力,试验结果的可靠性值得怀疑。除非确定指定结构面的剪切强度,一般仍是基于圆柱试样的强度σS与围压σ2=σ3的关系,即函数f来确定函数g。在围压σ2=σ3时岩石的强度为σS,试样内不同倾角断面上的正应力和剪应力分别满足:岩石的强度准则和Mohr应力圆如图1所示。不同围压下所有应力圆的外包络线就是给定正应力下岩石所能承受的最大剪应力。外包络线与应力圆有相同的切线,因而有将式(5),(6)代入式(7),化简后可得式中:α为基于Mohr理论确定的试样破坏断面倾角。将式(2),(8)代入式(5),(6),如能再消去参变量σ3,就可以得到岩石破坏时剪切强度与正应力的关系。如果得到了剪切强度与正应力的函数关系g,那么记从图1可以看出:将式(4),(9)代入式(10),(11),得到岩石破坏时最大主应力与最小主应力之间关系。式(2),(4)在数学上可以互换,但体现的力学含义并不相同。前者表明试样内应力状态满足某一条件材料即发生破坏;而后者表示某一断面上正应力与剪切力满足某一条件则发生破坏,但岩石并非只在单一断面上破坏,最终破裂面倾角与Mohr准则给出的式(8)也并不完全一致。本文将讨论强度准则中参数的确定方式,用6种强度准则具体拟合相关文献中6种岩石的试验数据,评价强度准则适用性。2标准物质的数学形式2.1岩石黏结和黏结特性式(2)的最简单形式是线性关系,即式中:Q为单轴压缩强度,K为围压对强度的影响系数。相应的式(4)的形式为式中:ϕ为内摩擦角,c为岩石的黏聚力。K,Q分别满足:式中:θ0为岩石剪切破坏面的倾角,且有Coulomb强度准则的物理背景是,岩石具有黏结和摩擦特性。不过,岩石是非均质材料,各处不会同时达到承载极限而破坏,因而实际试验数据并非直线关系,破坏角与θ0也不会完全相同。2.2griffid准则考虑到对称性,抛物线Mohr准则可写为式中:T0为岩石的单轴抗拉强度;a为参数,与岩石的压拉强度比R相关,可由下式确定:相应的主应力关系为式(19)为以σS=σ3为对称轴的抛物线。注意到抛物线式(17)在顶点的曲率半径为aT0/2,因而σ3=-T0,σS≤(a–1)T0的应力圆都与顶点相切,即岩石都是在拉应力下破坏。这也给出了式(19)的适用范围。R=8,a=4就是含有单一材料参数T0的Griffith准则,其具有明确的物理背景:岩石破坏是内部裂纹的失稳扩展。而选择其他数值,式(17)和(19)不再具备物理背景,只是一个经验公式。此外,除平台巴西圆盘劈裂利用Griffith准则分析,未见其他场合使用;而若考虑裂隙闭合后的摩擦作用,Griffith准则将与线性的Coulomb准则等同。岩石单轴压缩强度和拉伸强度的离散性均较大,为了得到描述压应力状态的强度准则,应以式(19)拟合试验结果确定相应的参数。若记为则可以利用线性回归方法得到强度准则参数。抛物线Mohr准则最先由C.Fairhurst提出,用于研究圆盘试样的巴西劈裂强度。不过,依据实际试验数据线性回归的式(20),围压较低时可能没有实数解,后面给出实例予以说明。Hoek-Brown准则在主应力空间也是抛物线,其对称轴只是与σS=σ3平行,即式中:m为材料参数,σc为岩石单轴抗压强度。式(21)可以改写为主应力差之平方与最小主应力成线性关系,利用试验数据回归可得到参数m,σc。这也是E.Hoek等所推荐的方法。不过,如果数据离散较大,回归参数σc2可能成为负值。2.3柱试样强度准则为了追求对试验结果的更好拟合,可以对已有的强度准则进行修正,通常都要增加公式中待定参数的数量,新增加参数的某一特定取值就是原来的强度准则。例如,将式(17)修正为式(23)中:n=1与Coulomb准则等价;n=2就是式(17);该式也可以如汪斌等写为式中:e,n均为待定参数。不过,直接剪切试验中破坏断面并非承载均匀应力,因而除确定弱面的剪切强度之外,多是进行圆柱试样的常规三轴压缩试验。但利用式(23),(24)拟合试验数据存在数学上的困难。强度准则通常并没有明确的物理背景,只是对岩石强度特征的数学描述,因而选择主应力表述的公式可能更便于应用。如用于完整岩石的广义Hoek-Brown准则:式(25)在n=1时退化为Coulomb准则,在n=1/2时就是式(21)。对同一种强度准则可以有不同的修正方法。抛物线的形状取决于焦距,抛物线的位置由对称轴和顶点坐标确定。静水压力加载时岩石不会发生破坏,因而对称轴应与σS=σ3平行。于是,一般形式的抛物线型即二次多项式强度准则可写为显然,Fairhurst准则式(20)是式(26)在A=B时的特例,对称轴就是σS=σ3;而Hoek-Brown准则式(22)是其在A=0时的特例。式(26)可以写成如下等价的显式形式:式(27)在σD=σc时就是Hoek-Brown准则,而在m=4(σc-σD)/σc时就是Fairhurst准则,即式(20)可以写成如下等价的显式形式:随着正应力或最小主应力增大,上述抛物线型的强度准则及其修正形式所预测的剪切强度和主应力差σS-σ3都趋于无限,但满足:σl3i→m∞dσ3d(σS-σ3)=0(29)也就是说,内摩擦角将趋于0,基于Mohr理论所预测的破坏角趋于45°。2.4拟合结果的拟合与协调双曲线强度准则以直线为渐进线,如:将趋于如下直线:即Coulomb强度准则,其最大主应力与最小主应力也将趋于直线关系。正如汪斌等的实际拟合所示,这与试验结果似乎不能协调。M.You基于岩石材料的非均质性和黏结、摩擦力在局部不能同时存在的观点,认为随着最小主应力增加岩石内最大剪切力或主应力差将趋于常数,构造含有3个材料参数的指数型强度准则:式中:Q0为单轴压缩强度,Q∞为极限主应力差,K0为围压为0时对强度的影响系数。2.5rhst准则本文将利用试验数据研究下述6种强度准则:(1)Coulomb强度准则,式(12);(2)Fairhurst准则,式(20)和(28);(3)Hoek-Brown准则,式(21)和(22);(4)二次多项式准则,式(26)和(27);(5)广义Hoek-Brown准则,式(25);(6)指数强度准则,式(33)。前3种强度准则含有2个待定参数,而后3种强度准则含有3个待定参数。3围压对试验试样的影响试验法确定强度准则中参数需要不同围压下的试样强度,而强度只有破坏试验才能得到,不同围压下试验需要使用不同的试样。岩石具有非均质性,试样之间可能存在差异,强度差异并不完全是围压引起的。对此需要有足够的认识。3.1单轴压缩强度评价强度准则的试验数据可以从文献中引用,如汪斌等[4,24,26,27,28,29,30,31,32,33];其中部分数据如Dunham白云岩和Mizuho粗面岩是从K.Mogi中图件数字化得到的,也已广为用于强度准则评价[9,24,29,30,31,32]。表1给出6种岩石常规三轴压缩强度。表1中锦屏砂岩的试验数据中还给出卸围压试验的结果,如围压P=1.2,3.4MPa时强度σS=90.0,107.4MPa;这表明其单轴压缩强度61.6MPa是一个偏低的数值,相应试样可能存在显著缺陷,属于异常的试验点。平顶山砂岩试样是利用同一岩块加工的。为确认试样的离散性,进行6个单轴压缩试验,强度为102.9~129.4MPa,表1中所列单轴压缩强度为其平均值。围压下压缩时强度差异均较小,本文以表1中的平均值用于确定强度准则参数。3.2基于偏差的拟合偏差法利用最小二乘法确定公式中的待定系数,即要求对全部试验数据求得的偏差平方之和达到最小:对式(34)右端的待定参数求偏导数,依据极值点偏导数为0可得到含待定参数的方程组。对于线性关系如式(12)可以直接求得待定参数的具体公式,也称为线性回归;而对非线性关系,可能需要采取迭代的方式求解。不过,偏导数为0的点只是驻值点,可能不是极值点;极值点可能有多个,迭代可能不收敛;实际需确定参数使δ2达到最小值,而最小值可能在边界上而并非驻点达到,等等。就此而言,对非线性方程组的迭代求解结果需要进行仔细的分析和验证。如简单的非线性方程:随控制参数λ在范围内的不同取值,变量x在内迭代可以出现种种奇妙的现象。顺便指出,对含有多个待定参数的流变模型,最好依据力学概念分批确定模型参数,而以蠕变公式的拟合偏差平方和达到极小,对偏导数为0的方程组“反复迭代,直至所需要的精度”,在数学上是困难的,甚至是不可能的。如果试验结果中存在误差较大的个别数据,依据式(34)确定的曲线可能整体偏离多数正常数据,靠近异常点以减少其偏差平方。显然,偏差平方之和δ2最小与偏差绝对值之和δ1最小并不等价。δ1可表示为最小二乘法不可能得到最小拟合偏差(见图2)。图2中直线为8个数据点的最小二乘法拟合结果,即式(34)计算的偏差平方和δ2达到最小,此时所有偏差代数之和为0;如果将直线略向下移动,则试验点A,B的偏差增大,但其余6个试验点的偏差将等量减少,直至直线通过试验点C;其后若继续向下移动直线,则3个试验点A,B,C的偏差将增大,但其余5个试验点的偏差将等量减少。在上述移动过程中,偏差绝对值之和δ1都是减小的。可以预期偏差绝对值之和达到最小值时直线两侧试验点各为4个。以偏差绝对值之和δ1最小为目标确定的拟合曲线,可以保证试验点等量分布在两侧,且能靠近大量的正常试验点,并使异常点如图2中A,B具有较大的偏差。拟合公式f(σ3)中若含有不与自变量σ3相关的常数项,上述分析和结论同样能够成立。将非线性关系,如Hoek-Brown准则的式(21)转化成式(22)进行线性回归,进一步放大了异常点的作用,可能使拟合结果完全失真,如对KTB闪岩强度的拟合。计算机已经普遍使用,以偏差绝对值之和δ1最小为目标直接搜索待定参数在数学上成为可能。例如,对广义Hoek-Brown准则式(25),在给定指数n后搜索参数m,σc,最后确定最佳的指数n。图3为对Dunham白云岩和Westerly花岗岩的计算结果,其中mf为平均拟合偏差,可表示为式中:N为数据组数。从图3可以看出,对于Dunham白云岩,以拟合偏差绝对值之和最小与拟合偏差平方之和最小确定的Hoek-Brown准则差别较小;而对于Westerly花岗岩则差别较大。这与后者存在异常数据有关,如相同围压38MPa强度相差15MPa。4强度准则对参数的影响对于表1中的6种岩石的常规三轴压缩结果,分别用节2.5所列6种强度准则进行拟合,即基于拟合偏差绝对值之和最小确定强度准则中的待定参数。表2,3给出了试验数据的特征和强度准则参数以及相应的平均拟合偏差。由于锦屏砂岩单轴压缩强度明显偏低,在剔除该数据之后利用强度准则对剩余的8个数据重新进行了拟合。为了便于比较,利用柱状图分别绘出6种强度准则拟合同一岩石试验数据的平均拟合偏差(见图4)。4.1真三轴强度准则直线型的Coulomb准则尽管具有明确的物理背景,但拟合偏差极大,因而难以准确描述试验范围内的强度与围压的关系。就此而言,以Coulomb准则为基础的真三轴强度准则,如Drucker-Prager准则、线性的Mogi-Coulomb准则以及双剪强度理论(统一强度理论)等,可能难以准确描述岩石的强度特性,所预计的结构承载能力可能有较大偏差,对此需要持谨慎态度。当然,岩土工程涉及的应力范围可能较小,那么利用线性的Coulomb准则以及相应的黏结力和内摩擦角引起的误差并不很大。不过,实际回归强度准则时,回归结果与单轴强度的选用方式和三轴强度的数量等有关,需要予以注意。4.2第一,关于岩石强度不同围压下Westerly花岗岩的强度是围压的10倍以上,主应力之和与主应力之差较为接近,似乎难以成立式(19)所示的抛物线关系。但利用式(20)线性回归,可得这就是说,尽管式(20)或图5中的线性关系具有很高的相关性(R2=0.9743),但据此得到的强度与围压的关系(见图6)却偏差很大。显然,相关系数并不能完全证明公式的可靠性。基于拟合偏差绝对值之和δ1最小,利用式(28)直接搜索得到的结果如图6中细实线所示。基于图4的平均拟合偏差,除Westerly花岗岩之外,Fairhurst准则都优于Coulomb准则,与Hoek-Brown准则相当或略优。令人惊奇的是,除Dunham白云岩和Yamaguchi大理岩,其余岩石的回归参数σD=0,即式(36)的偏差绝对值之和δ1在参数σD定义域边界达到了最小值。若设定σD=0,对Dunham白云岩和Yamaguchi大理岩拟合,平均偏差分别从7.56和6.95MPa增大到8.77和8.90MPa,但仍低于Hoek-Brown准则的平均拟合偏差11.0和11.4MPa。显然,含有单一参数的抛物线准则对岩石强度的拟合优于含2个参数的Coulomb准则,与Hoek-Brown准则相当或略优。由式(40)可以得到式(41)在围压0MPa时为无限大,即岩石强度随围压急剧增加。图6中Westerly花岗岩的强度不具备这一特征,因而不能用该准则进行描述。式(40)是抛物线,顶点在(1/4,1/4)、对称轴为第一象限平分线、准线通过原点,即其中,σS/σc≥1的部分曲线见图7。显然,为了描述围压从0增加时岩石抗压强度急剧增加的特征,抛物线已向右上移动至极限位置。以下将式(40)所表示的强度准则称为正则抛物线准则(Normalparaboliccriterion)。为保持抛物线的真实形状,纵坐标和横坐标的尺度相同。岩石强度已经换算成量纲一的数值。尤明庆中的赵固砂岩试验数据也在图7给出。可以看出,低围压时强度准则给出的拟合值稍有偏高(锦屏砂岩实际单轴压缩强度偏低属于异常试验数据),单一参数的正则抛物线准则能够以量纲一的形式统一描述花岗岩之外的6种岩石强度特征。从图7可以看出,单参数的正则抛物线准则可以对砂岩、粗面岩、白云岩等的强度特征给出一个很好的描述。其具体的适用性以及所体现的力学含义需要进一步研究和讨论。式(40)对应的正应力与剪应力关系为对称轴为横坐标轴,顶点在坐标原点。其顶点处曲率半径为σc/2,即单轴压缩的应力圆是顶点处密切圆,而抗拉强度为0。抛物线式(43)可以看作多种岩石应力圆的统一外包络线。为清晰起见,图8仅绘出Mizuho粗面岩的7个应力圆及其余4种岩石的最大应力圆。需要强调的是,只有利用拟合偏差绝对值之和最小确定强度准则,才能得到上述结果。若以式(20)对Mizuho粗面岩数据线性回归,可得但是,式(44)对σ3=0无解,即式(44)的定义域不包含σ3=0。P.R.Sheorey等也已经指出这一现象。利用拟合偏差绝对值之和最小确定Fairhurst准则中2个参数,得到σD=0(见表2),即仅含有单一参数的正则抛物线准则,优于两参数的Coulomb准则和Hoek-Brown准则(见图9)。显然,将强度准则转换形式以进行线性回归,并不是可靠的参数确定方法。过去没有注意到拟合精度较高而又简单的正则抛物线准则,可能与采用最小二乘法拟合有关。不同的拟合方法将得到不同的拟合结果。4.3正则约束准则对低围压下的强度影响从图4平均拟合偏差可以看出,Hoek-Brown准则总是优于Coulomb强度准则,因而下面只是讨论其与正则抛物线准则的区别。从图10可以看出,随着Hoek-Brown准则中参数m增加,围压对强度的影响系数在增加,趋于0的速率也在减小。如前所述,正则抛物线准则在围压为0时对强度的影响系数为无限大,其后逐步减小而趋于0;图10中实际计算结果表明,所有m>4的Hoek-Brown准则曲线总是从其下方穿过,即正则抛物线准则的围压对强度影响系数将更快地趋于0。对式(22)进行数学分析也可以得到这些结论。图11具体绘出Hoek-Brown准则与正则抛物线准则对3种岩石的拟合曲线。正则抛物线准则对低围压的强度拟合较差,多是给出过高估计;而Hoek-Brown准则在高围压时多是给出过高估计。锦屏砂岩的单轴强度偏低。若不利用单轴压缩强度,Coulomb准则和Hoek-Brown准则将得到新的拟合公式,偏差减小;而正则抛物线准则的形式几乎相同,不受个别异常点的显著影响。4.4预测的单轴压缩强度q二次多项式准则和广义Hoek-Brown准则含有3个待定参数,拟合特性必然较优。从图4可以看出,依据拟合偏差的微小差距似乎不能评价这2种准则的优劣;这2种准则所给出的单轴压缩强度都与实际数值大致相当(见表3),即使对锦屏砂岩也是如此;若不计及该单轴压缩数据,则对8个试样的平均拟合偏差将分别增大到2.07和1.68MPa。但是,前述含2个参数的3种强度准则给出的单轴压缩强度都高于其实际数值61.6MPa;卸围压强度也表明实际单轴压缩强度可能异常。若删除该单轴压缩数据,重新确定2种强度准则中的参数,则前者预测的单轴压缩强度减少10%,而后者预测的单轴压缩强度增加10%,其他参数也相应变化,而平均拟合偏差为2.05和1.64MPa,只是比原拟合结果略有减少。即差别很大的拟合公式引起的拟合偏差变化很小。4.5指数强度准则对6种岩石的拟合偏差指数强度准则的3个待定参数具有明确的力学含义,表3以及M.You对多种岩石的拟合结果表明,其确定的单轴压缩强度与实际数值相当,但给出的锦屏砂岩单轴压缩强度为83.4MPa,远高于实际数值61.6MPa,实属例外;若不计该数据平均拟合偏差将从3.64MPa降低到1.37MPa;而不使用单轴压缩数据重新拟合,得到的准则参数以及拟合偏差并不发生变化。这表明指数强度准则可以凸显异常数据。若不考虑这一异常数据,指数强度准则对所有6种岩石具有最小的拟合偏差。