材力第15章 压杆稳定

第15章压杆稳定

（课本第11章内容）12/17/20231北京邮电大学自动化学院§15-1.1构件稳定的概念演示实验112/17/20232北京邮电大学自动化学院构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。12/17/20233北京邮电大学自动化学院失稳的工程实例12/17/20234北京邮电大学自动化学院龙门吊梁失稳失稳的工程实例12/17/20235北京邮电大学自动化学院工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。失稳的工程实例12/17/20236北京邮电大学自动化学院§15-1.2临界力使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力。演示实验2、312/17/20237北京邮电大学自动化学院平衡路径、平衡路径（构形）分叉失稳（屈曲）临界点、临界载荷（分叉载荷）几个概念12/17/20238北京邮电大学自动化学院§15-2细长压杆的临界力根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度，杆件长度和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。12/17/20239北京邮电大学自动化学院假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。①弯矩：②挠曲线近似微分方程：PPxPxyPM§15-2.1两端铰支压杆的临界力－欧拉公式12/17/202310北京邮电大学自动化学院③微分方程的解：④确定积分常数：A、B不能全为零！12/17/202311北京邮电大学自动化学院

临界力Pcr

是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。屈曲模态：A为不定常数，屈曲模态幅值12/17/202312北京邮电大学自动化学院§15-2.2其他约束情况压杆的临界力

μ

l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效（相当）长度。μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响：

两端铰支

μ

=1.0

一端固定一端自由μ

=2.0

两端固定

μ

=0.5

一端固定一端铰支μ

=0.7

12/17/202313北京邮电大学自动化学院汇总表支承情况失稳时挠曲线形状临界力Pcr欧拉公式长度系数μ两端铰支PcrABlμ=1l一端固定另端铰支μ

0.7PcrAB0.7lCC—挠曲线拐点Pcrl一端固定另端自由μ=22ll两端固定但可沿横向相对移动μ=10.5lPcrC—挠曲线拐点lC、D—挠曲线拐点0.5l两端固定μ=0.5ABCD12/17/202314北京邮电大学自动化学院§15-3压杆的临界应力欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度（长细比）的概念。截面的惯性半径

柔度

12/17/202315北京邮电大学自动化学院1.细长杆这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限σp各不相同，λp的数值亦不相同。例如A3钢，E=210GPa，σp=200MPa，可算得λp=102。

欧拉公式只适用于大柔度杆的稳定性计算！12/17/202316北京邮电大学自动化学院2.中长杆这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力。抛物线公式：直线公式：例如Ａ3钢：12/17/202317北京邮电大学自动化学院常用材料的a、b值12/17/202318北京邮电大学自动化学院3.粗短杆这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故：12/17/202319北京邮电大学自动化学院临界应力总图12/17/202320北京邮电大学自动化学院12/17/202321北京邮电大学自动化学院【例15-1】A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情形如图所示，其中a为正视图,b为俯视图。在A、B两处用螺栓夹紧。已知l=2.0m,b=40mm,h=60mm,材料的弹性模量E=210GPa,求此杆的临界载荷。

12/17/202322北京邮电大学自动化学院【例15-1：解】在x-z平面内:12/17/202323北京邮电大学自动化学院在x-y平面内:12/17/202324北京邮电大学自动化学院所以12/17/202325北京邮电大学自动化学院§15-4压杆的稳定计算之一安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为:

nst是稳定安全系数。由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。nst值一般比强度安全系数要大些，并且λ越大，nst值也越大。

12/17/202326北京邮电大学自动化学院【例15-2】千斤顶如图所示,丝杠长度l=375mm,内径d=40mm,材料是A3钢,最大起重

量P=80KN,规定稳定安全系数nst=3。试校核丝杠的稳定性。

12/17/202327北京邮电大学自动化学院【例15-2：解】（1）丝杠可简化为下端固定上端自由的压杆,故长度系数u=2。计算丝杠的柔度:

(2)计算临界力并较核稳定性

A3钢的而,可知丝杠是中柔度压杆,采用直线经验公式计算其临界载荷。由表查得a=304MPa，b=1.12MPa12/17/202328北京邮电大学自动化学院【例15-2：解】故丝杠的临界载荷为校核丝杠的稳定性

所以此千斤顶丝杠是稳定的。

12/17/202329北京邮电大学自动化学院*§15-4压杆的稳定计算之二折减系数法(稳定系数法)12/17/202330北京邮电大学自动化学院压杆的稳定系数

12/17/202331北京邮电大学自动化学院【例15-3】T1ABWT2xyzO起重机的

AB

杆为圆松木，长

L=6m，[σ]=11MPa,直径d=0.3m，试此杆的容许压力。12/17/202332北京邮电大学自动化学院【例15-3：解】T1ABWT2xyzO①最大柔度x-y面内，

=1.0z-y面内，

=2.012/17/202333北京邮电大学自动化学院【例15-3：解】T1ABWT2xyzO②查折减系数③求容许压力12/17/202334北京邮电大学自动化学院【例15-4】柱由两个No.20a的槽钢组成。柱长l=6m,下端固定上端铰支(图15-10a)。材料是A3钢，[σ]=160MPa。（1）两个槽钢紧靠在一起（连结为一整体）（图15-10b）；(2)两槽钢拉开距离a,使Iy=Iz。分别求两种情况下柱的许用载荷[P]。

12/17/202335北京邮电大学自动化学院【解】（1）两槽钢紧靠的情况

由型钢表查得：

12/17/202336北京邮电大学自动化学院由表15-2查得用直线内插法求得于是压杆的许用载荷为

12/17/202337北京邮电大学自动化学院(2)Iy=Iz的情况

由表15-2查得压杆的许用载荷为

12/17/202338北京邮电大学自动化学院其次，为保证每个槽钢不发生局部失稳，沿柱长每隔

l1的长度内应有连接板(缀条)(图15-10d)。因两连接板间的每个槽钢通常看作两端铰支，而单个槽钢的

imin=21.1mm

故由

12/17/202339北京邮电大学自动化学院§15-5提高压杆承载能力的措施压杆的稳定性取决于临界载荷的大小。由临界应力图可知，当柔度减小时，则临界应力提高，所以提高压杆承载能力的措施主要是尽量减小压杆的长度，选用合理的截面形状，增加支承的刚性以及合理选用材料。

12/17/202340北京邮电大学自动化学院1.减小压杆的长度减小压杆的长度，可提高了压杆的临界载荷。工程中，为了减小柱子的长度，通常在柱子的中间设置一定形式的撑杆，它们与其他构件连接在一起后，对柱子形成支点，限制了柱子的弯曲变形，起到减小柱长的作用。对于细长杆，若在柱子中设置一个支点，则长度减小一半，而承载能力可增加到原来的4倍。12/17/202341北京邮电大学自动化学院2.选择合理的截面形状压杆的承载能力取决于最小的惯性矩I，当压杆各个方向的约束条件相同时，使截面对两个形心主轴的惯性矩尽可能大，而且相等，是压杆合理截面的基本原则。12/17/202342北京邮电大学自动化学院3.增加支承的刚性对于大柔度的细长杆，一端铰支另一端固定压杆的临界载荷比两端铰支的大一倍。因此，杆端越不易转动，杆端的刚性越大，长度系数就越小，图15-12所示压杆，若增大杆右端止推轴承的长度a，就加强了约束的刚性。12/17/202343北京邮电大学自动化学院4.合理选用材料对于大柔度杆，临界应力与材