随机事件及其概率答案

第1讲随机事件及其概率★知识梳理★1事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5互斥事件:不可能同时发生的两个事件．一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．7．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么＝特别提醒：一.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系;2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.二．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.★重难点突破★1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。2.难点：会用基本公式计算相关的概率问题.3.重难点：.(1)“有序”与“无序”混同.问题1:从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果。设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。正解：（1）都用排列方法所有可能的结果共有个，事件A包含个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有种取法）（2）都用组合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有个可能的结果，事件A含有种结果。（2）“互斥”与“对立”混同问题2:从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球错误答案（D）点拨：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。正解（A），（B）不互斥，当然也不对立，（C）互斥而不对立，（D）不但互斥而且对立所以正确答案应为（C）。★热点考点题型探析★考点一：随机事件的概率题型1.椭机事件的判断[例1]（1）给出下列四个命题：①“当时，”是必然事件；②“当时，”是不可能事件；③“当时，”是随机事件；④“当时，”是必然事件；其中正确的命题个数是：0B1C2D3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。”(3)判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。”（4）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，经过如下表：投篮次数n8101520304050进球次数m681217253238进球频率0.750.830.80.76问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？[解题思路]：正确理解概率的相关概念．解析：（1）B；（2）否；（3）是；（4）0.8.[例2](四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A、B满足AB，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件其中正确的个数是()A、1 B、2 C、3 D、4答案：C[解题思路]：本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用.解析：①③④正确，②错误.【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。【新题导练】1．(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)从一堆苹果中任取了只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：分组频数123101则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的％．答案：302．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数学（文科））某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人.0(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于90分的概率.解:(1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人.……4分∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,由=100,解得.∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人.……8分(2)在抽取的学生中,任取一名学生,则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.题型2。求随机事件的概率[例3](广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.[解题思路]：分别找出总事件和所求事件的个数，即可求出随机事件的概率。解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为： （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：【名师指引】在确定应用公式P（A）=后，关键是要把的值求正确。【新题导练】3.（广东省北江中学2009届高三月考）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（Ⅰ）两数之和为8的概率；（Ⅱ）两数之和是3的倍数的概率；解:将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件-----------1分记“两数之和为8”为事件A，则事件A中含有5个基本事件，所以P（A）=；答：两数之和为6的概率为。---------------------------------------5分（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有12个基本事件，所以P（B）=；答：两数之和是3的倍数的概率为。------------------------------9分4．（珠海市斗门中学2009届高三上学期第三次模拟）小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）若小明恰好抽到黑桃4；①请绘制出这种情况的树状图②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由．解：（1）①小明抽出的牌小华抽出的牌结果2（4，2）45（4，5）5（4，5）3分②由①可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为：6分（2）小明获胜的情况有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）故小明获胜的概率为：，因为，所以不公平.13分考点二:互斥事件、对立事件的概率题型1:互斥事件、对立事件的概念考查[例4]18个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是；[解题思路]：正确理解互斥事件、对立事件的概念。解析一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A组和都分在B组。2个强队都分在A组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为；2个强队都分在B组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为；因此2个强队分在同一个组的概率为。解析二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”，这一事件，其概率为，因此2个强队分在同一个组的概率为：。[例5]（广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考数学理））甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率．[解题思路]：利用概率乘法公式和互斥事件，对立事件的基础知识解析：（1）甲班参赛同学恰有1名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48.乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C21×0.6×0.4=0.48.故甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩几个的概率为p=0.48×0.48=0.2304.（2）方法一：甲、乙两班4名参赛同学成绩都不及格的概率为0.44=0.0256.故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为P=1-0.0256=0.9744.方法二：甲、乙两班参赛同学成绩及格的概率为C41×0.6×0.43=0.1536.甲、乙两班参赛同学中恰有2名同学成绩及格的概率为C42×0.62×0.42=0.3456.甲、乙两班参赛同学中恰有3名同学成绩及格的概率为C43×0.63×0.4=0.3456.甲、乙两班4名参赛同学成绩都及格的概率为0.64=0.1296.故甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概率为p=0.1536+0.3456+0.3456+0.1296=0.9744.【名师指引】运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏。【新题导练】5．（2008年韶关第一次调研）一台机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是,则这台机床停机的概率为()A.eq\f(11,30)B.eq\f(7,30)C.eq\f(7,10)D.eq\f(1,10).A解析：机床停机的概率就是A，B两种零件都不能加工的概率，即eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)=eq\f(11,30).6．（广东深圳外国语学校2008月考理科数学试题）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4．(1)求他乘火车或飞机来的概率；(2)求他不乘轮船来的概率；（3)如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A,B,C,D，则P(A)=0.3，P(B)=0.2，P(C)=0.1，P(D)=0.4，且事件A,B,C,D之间是互斥的．(1)他乘火车或飞机来的概率为P1=P(A∪D)=P(A)＋P(D)=0.3＋0.4=0.7.(2)他乘轮船来的概率是P(B)=0.2，所以他不乘轮船来的概率为P(EQ\O(\S\UP11(_),B))=1－P(B)=1－0.2=0.8．（3)由于0.4=P(D)=P(A)＋P(C)，所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的．★抢分频道★基础巩固训练1.(江苏省启东中学2009届高三综合测试)从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率A．不全相等 B．均不相等 C．都相等且为 D．都相等且为EQ\f(1,40)

答案：C2.(广东省佛山市三水中学2009届高三测试)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（）A．B．C．D．答案：B3．(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________答案：4．（广东省深圳市2009届高三九校联考）从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.eq\f(1,2)方法一：任取3个球有C种结果，编号之和为奇数的结果有CC+C=60（种），故所求概率为.方法二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为eq\f(1,2).5．（广东省黄岐高级中学2009届高三上学期12月月考）将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（I）共有多少种不同的结果？（II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？解:（I）共有种结果………………4分（II）若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12种．……8分（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝…………12分6．(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)在一次语文测试中，有一道我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者的连线题，已知连对一个得2分，连错一个不得分.（Ⅰ）求该同学得0分的概率；（Ⅱ）求该同学至多得4分的概率.解：（I）设该同学得0分的概率；（Ⅱ）解法一：该同学至多得4分的概率.=+EQ\f(1,3)+EQ\f(1,4)=解法二：该同学至多得4分的概率.综合拔高训练7．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.第一排明文字符ABCD密码字符11121314第二排明文字符EFGH密码字符21222324第三排明文字符MNPQ密码字符1234（Ⅰ）求密码中有两个不同数字的概率。（Ⅱ）求密码中有三个不同数字的概率。解：（Ⅰ）由密