2023年高考数学大招6 法向量求法秒杀技能

大招6法向量求法秒杀技能

大招总结

在求立体几何线面角、二面角问题时，往往用向量的方法求解时需要求法向量，下面我们

介绍一种简单的方法：叉乘法求解法向量.

结论:若AB=（x,y,z）,C£）=（a,仇c）,

设平面ABCD的法向量〃=（毛,％,20）,45=（X,了,2）,。£>=（。,仇。），

yzxZX；

则有毛=；=yc-bz,y=-=-(xc-az),zQ==xb—ay.

bcQa

例题：若A6=（1,2,3）,CD=（3,4,5）.

常规解法：设〃=（%,为，Zo）为法向量,

n•AB=%+2%+3z0=0,

则有

nCD=3x04-4yo+5z0=0,

%+2%-3=0,=

=(_],2,一1).

令z0=-1,则<

3x0+4%-5=(),%=2,

叉乘法：设n=(^,y0,z0)为法向量,

23

则/=4§=2x5—3x4=-2,

13、

%=-35=-(1X5-3X3)=4,

12

z==1x4—2x3=-2,

0n34

2,M,-2),即H=(-1,2,-1).

典型例题

例1：如图，直三棱柱ABC-45G中，AC±BC,AC=BC=；A4|,D是棱的中点,

求二面角\-BD-C,的大小（用空间向量法）.

解：方法1：设AC=8C=gA4,=1,以C为原点，C4为x轴，CB为y轴,

CC,为Z轴，建立空间直角坐标系，则4（1,0,2）,3（0,1,0）,。（1,

0,1）,C,（0,0,2）,8G=（0,-1,2）,8。=（1,一1,1）,%=（1,-1,2）,

/、n-BA=x-y+2z=0,

设平面\BD的法向量力=(x,y,z),则《取%=1,得

n-BD=x-y+z=0,

“=(1,1,0).

m•BC,=-/?+2c=0,

设平面GBD的法向量加="C）,则,「取。=1,得

m-BD=a-h+c=0,

初=(1,2,1).cos<m,ri>=112+2=®,

''V2xV62

:.<m,n>=30二面角A.-BD-C,的大小为30.

方法2:%=(x,y,z)=(l,-l,2),8O=(a,0,c)=(l,—l,l),

设平面A}BD的一个法向量

yZX=-(xc-az),z=X:=xb-ay,按此公式求解,

则X、=yc-bz,y=-0

c0ab

则=1，%=L=0,

得平面\BD的法向量«=(1,1,0),同理可以求出平面C.BD的法向量机=(1,2,1),

接下来常规操作用向量数量积求解即可.

例2.已知正四棱柱ABCD-A^C.D,中，AB=1,AA=3,E,F分别是棱A4PCC,上

的点，且满足AE=2EA],CF=2FCt.

(1)求异面直线ECL所成角的余弦值；

(2)求面EB©与面FAD所成的锐二面角的余弦值.

解：方法1:(1)在正四棱柱ABCD-A.B^D,中，DD}±平面ABCD,底面ABCD

是正方形，所以AD,DC,DB]两两垂直，

以A为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

又因为AB=l,AA]=3,E,F分别是棱A\,CC}上的点，

且满足AE=2EAi,CF=2FCi,AB=\,AAl=3,

所以。(0,0,0),£(1,0,2),G(0,1,3),8(1,1,0),A(l,0,0),网0,1,2),4(1,1,3),

所以ECy=(-1,1,1),DB,=(1,1,3),

设异面直线EC「DBi所成角为,

1++

所以cos^=IcosEC,,DB[I=।(

11V3V1+1+9H

所以异面直线EC所成角的余弦值为普.

(2)EJ=(-1,1,1),£耳=(0,l,l),ZM=(l,0,0),Z)F=(0,l,2),

EB、J.n

设平面EB£的一个法向量为%=(%,小4),则]

EC]±Wj

y+Z|=0,

所以《令z=l,所以4=（0,—1,1）,

一%+y+Z|=0,

平面FAD的一个法向量为多=(/,%*,),则D41%，

[DFln2,

=0

所以《x2o'八令Z2=l,所以小=（0,—2,1）,所以

M+2Z2=0,-V7

10+2+113回

cos<n.,%>=H=——g=------,

1272x7510

所以面EBG与面FAD所成的锐二面角的余弦值为圭叵.

1110

方法2:3=（x,y,z）=（0,l,l）,ECI=（。,。,。）=（一1,1,1）,设〃|=则

y

=yc-bz=0,y=-：=xb-ay=l.

bQa

按此公式求解，则x0=O,^o=-l,z0=1

所以平面EB,C,的一个法向量勺=(0,—1,1),同理可求出平面FAD的一个法向量

%=(0,-2,1),接下来用向量的数量积求夹角即可.

例3.如图，在四面体A-BCD中，AD1平面

BCD,BC1CD,AD=2,BD=272,M是AD的中点，P是BM的中点，点。在

线段AC上，且AQ=3QC.

(1)证明：PQH平面BCD,

(2)若二面角C-BM-D的大小为60,求NBDC的大小.

M

解：方法1:(1)证明：以C为原点，CB为X轴，CD为y轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，设。(0,。,0),0＜。＜2&,则由已知得

C(O,O,O),8(^^,O,O),A((),a,2),A/(O,a,l),

p(遮工今』理工「汨]平面BCD的法向量

222I42J24

\7vzk7

〃=(O,O,l),PQn=O,又PQQ平面BCD,:.PQII平面BCD.

⑵解：BM=(-V8-O2,a,1),CM=(0,«,1),DM=(0,0,1),设平面BCM的法向量

n-BM=—>]S-a2x+ay+z=0,：

H=(x,y,z1

n-CM=ay+z=(),

取y=1,得〃=(0,1,-〃).

flfhnz,以…心曰/\em-BM--v8-a2x,+ay,+z.=0,』

设平面BDM的法向里勿2=(芭，y,zj,则｛।।।取

m•DM=Z]=0,

必=1,得m=:—,1,0,二面角C一BM—D的大小为60,

lv8-6r2

I

cos60=|cos<n,m>|=|--------

\la2+1-4

由0<。<2/，解得a=V2,/.CD=y/2,BC=>/6,r.ZBDC=60.

方法2:BM=(x,y,z)=^-78-6f2,6r,lj先用参数将向量表示出来,

yzxz

CM=(a,Z?,c)=(O,a,l),x=

0yc-bz=0,yQ=-

bcac

X22

z0='-xb-ay=-ay/S-a,x0,,z0同除以\ls-a,则x0=0,y0=1,z0=-a,

ab

因此平面BCM的法向量为〃=(0,l,-a),同理可以求出平面BDM的法向量

/\

m=,a,1,(),结合题目给的夹角可以求出参数a的值，求解该题.

)

例4.(2021-延庆区一模)如图，四棱柱45co—A5G。的底面ABCD是边长为2

的正方形，侧面AOQA为矩形，且侧面AO24J•底面ABCD,AA,=4,E,M,N分别

是BC,BB[，AD的中点.

(I)求证：A/N//平面C[DE;

(II)求二面角D-C.E-B,的余弦值.

解：(I)证明：连结B£,ME,因为M,E分别为BB「BC的中点，所以ME//B.C,

且ME=-B,C,

2

ND.AD,由题设知A.BJ/DC且A^=DC,

又因为N为A,。的中点，所以

可得B]C//%D且BXC=A,D,故MEIIND且ME=ND,因此四边形MNDE为

平行四边形，所以MNHED,又MN<z平面CQE,EDu平面CtDE,所以MN//

平面C\DE；

(H)方法1:因为底面ABCD是正方形，所以COLA。，又因为侧面ADD^1底面

ABCD,且侧面ADD^n底面ABCD=AD,CD平面ABDE,所以CD_L平面

ADD^,又ORu平面ADDX\,所以CD1DR,又因为侧面ADD,A,为矩形，所

以AD±DD,,以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，其中

£)(0,0,0),C,(0,2,4),E(1,2,0),C(0,2,0),所以DC,=(0,2,4),DE=(l,2,0),因为

CD±平面ADD^,所以DC±平面BCC^,故。。=(0,2,0)为平面C.5B,的

一个法向量，

=（）即（2y+4z=0

设几=(x,y,z)为平面DC.E面的法向量，则

n-DE=0x+2y=0

令y=—2,可得〃=（4,—2,1）,所以cos<DC,〃〉=|℃；〃=~^_=一2^11,因

'）\DC\-n\2xV2121

为二面角。一C|E—4的平面角是钝角，所以二面角D-C.E-B,的余弦值一笔^方

法2:。£=（0,2,4）,力后=（1,2,0）,设n=（%0,y0,z0）为平面DC.E的法向量，

240402

/==0—8=—8,y（）=—=—（0—4）=4,z0==0—2=—2,按此公式求解

°20010v7012

n=（-8,4,-2）,化简为H=（4,-2,1）.

例5.(2021-湖南模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形,

/BAD=60,AC1PB,PB=42AB=叵PD.

(1)证明：PD1.平面ABCD.

(2)求二面角D-PB-C的余弦值.

B

解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形.所以AC_LB£>,因为AC±PB,且

BDcPB=B,BD,PBu平面PBD,所以AC_L平面PBD,因为PBu平面

PBD,所以AC±PD,因为AB=AD,且BAD=60,所以BD=AB,

因为PB=y/2AB=y[2PD,所以PD2+BD2=PB2,贝UPD1BD,

因为ACcBD=O,AC,BDu平面ABCD,所以PDA.平面ABCD.

(2)解：以。为坐标原点，射线OA,OB分别为轴正半轴，过点。的垂线为z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

设AB=2,则3(0,1,0),。卜6,0,0)/(0,-1,2),从而BC=(-^,-l,O),

6P=(0,-2,2),

,,/、n-BC=-4?>x-y=0

设平面PBC的法向量〃=(x,y,z).则,，

'[nBP=-2y+2z=0

令x=l,得〃=(1,一6,-石)，易知平面PBD的一个法向量加=(1,0,0),

则cos<»,m>=,n，n,-,设二面角D-PB-C为0,

同例V77

Fj

由图可知0为锐角，则cos。=cosv〃,m>=——.

7

方法2:80=卜6,-1,0),利=(0,-2,2),

设〃=(小,%,Zo)为平面PBC的法向量，/==—2-0=—2,

—22

G0=_26—0=26,z0="1=2y/3—0=2A/3,

020-2

按此公式求解«=(-2,273,273),化简为«=(1,-V3-V3).

例6.(2021-九江二模)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD,四边

形ABCD为矩形，

CD=2,PD=AD=&E为DC的中点.

(I)求证：A£_L平而PBD,

(II)求二面角C—PB—E的余弦值.

解：⑴证明：因为PDX.平面ABCD,AEu平面ABCD,

所以PDA.AE,因为四边形ABCD为矩形，CO=2,AO=J5,

E为DC的中点.所以tanZEAD=-=-^=—,

AD叵2

tanZCDB=——=—,于是NDAE=NCDB,

CD2

因为ZDAE+^DEA=90,所以NEDF+/DEF=90,

所以AE1BD,因为PDcBD=D,PD、BDu平面PBD,所以AEJ_平面PBD,

(II)方法1：解：建立如图所示的空间直角坐标系，PB=(母,2,-母),PE=(0,1,-塔,

PC=(O,2「0),设平面PBE和平面PBC的法向量分别为

m=(%,y,Z),力=(〃,匕卬\,

PB-m=yflx+2y-yflz=0

PE-m=y-垃z=0

PBn+2v-V2w=0

令y=V2,m=^-1,V2,1j,<令v=i,n=(0,l,V2),因为二

PCn2v->/2kv=0

m-n_2>/2_\f6

面角C-PB-E为锐角，所以二面角C-PB-E的余弦值为

|m|-|n|2-5/33

方法2:PB=（V2,2,-V2）,PE=（0,l,-V2）,PC=（0,2,-V2）,设n=（x0,%,z0）为平

2

面PBE的法向量，x0=一省=-2&+0=-及，

1-V2

V2—V2\/2

2=>/2—0=yf2,按此公式求解n=(-&2,吟,化

%=-=2,z0=

0-V201

简为〃=（一1,0,1）.

2-5/2

设历=(%,%,zj为平面PBC的法向量,=0,

2-金

A/2—A/2

乂=一=2,Z]

0-V2

按此公式求解加=((),2,28)，化简为加=(0,1,血).

自我检测

1.如图，在四棱雉P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD1底面

ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EFVPB交PB于点F.建立适当的空间

直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：

(1)求证：PAH平面EDB.

(2)求二面角F-DE-B的正弦值.

2.(用空间向量知识解题)如图，在四棱锥P-ABCD^,PAJ_底面ABC。,底面ABC。是边长为2

的菱形,/ABC=60。,PA=遥,M为PC的中点.

⑴求异面直线PB与MD所成的角的大小;

⑵求二面角A-PD-C的正弦值.

答案：

⑴连接AC、BD,交于点O,在四棱锥尸―ABC。中,P4_L底面ABC。,底面ABCO是边长为

2的菱形,/43。=60。,已4=后,用为「。的中点,，以。为原点,。8为x轴,0C为y轴,

OM为z轴，建立空间直角坐标系，

([7\

P((),-1,V6),B(V3,0,0),C(0,1,0),M(),0,—,D(-瓜0,0),PB=(收1,一向,

2

MD=—"0,一引，

设异面直线P5与MO所成的角为仇则cos6==——1===好....异面直线

物」皿瓜屁

P8与所成的角为arccos乎.

⑵方法1：40,-1,0),PA=(0,0,-V6),PD=(-V3,l,-V6),PC=(0,2,—")，设平面PAD的

n-PA=—>/6z=0,r-

法向量n=(x,y,z)M<「r-取x=l,得n=(l,6,0),设平面

n-PD=-43x+y-y/6z=0,

mPC=2b-底c=0,r

PCD的法向量m=(a,4c)，则《厂l取c=^，得

m.PD=73a+b-J6c=0,

m=(->/3,3,V6)，设二面角A-PD-C的平面角为。，则

八|mn|27376.n,

cos6=--------=-j=——,sinc/=.1-.二面角A.—PD—C

|m|-|n|2V3+9+66\

的正弦值为一丁.

6

方法2:

DE=(x,y,z)=(0,0,-V6),DB=(a,b,c)=(-g,1,V6),x0=

yzr-XZ()：(

,=yc-bz=y/6,y==_(xc-az)=30,z==xh-ay=Oxo,yo,z0同除

be0acab

以V6，简化法向量)，按此公式求解，则％=1,%=6,z0=0,平面的法向量

n=(1,73,0)，同理可得平面PC。的法向量m=(-区3,晌，接下来用向量数量积求解夹

角即可.

3.(用空间向量坐标表示解答)已知正三棱柱ABC-的各棱长都是4,E是6C的中点，尸在

CC,±.fiCF-l.

⑴求证:ERLAC;

⑵求二面角C—AF—£的平面角的余弦值.

答案：

⑴证明:以A为原点，在平面ABC中过4作AC的垂线为x轴,AC为y轴,44为z轴，建立空间

直角坐标系，

仇2点2,0),C(0,4,0),E(63,0),F(0,4,l),A(0,0,4),EF=(-国,1),*=

(0,4,T),所•*=0+4—4=0.r.EF_L*.

(2)解：A启=(石,3,0),A户=(0,4,1),设平面AEF的法向量〃=(x,y,z),则

AE"=+3y=0厂r-

\'，取x=G,得〃=(6,一1,4),平面47尸的法向量加=(1,0,0),设二

AF=4y+z=0

面角的平面角为。，则cos6="""=/t=姮..•.二面角

\\n\-\m\V1+3+1610

C-AF-E的平面角的余弦值为华.

AE=(x,y,z)=(^,3,0),AF=(a,b,c)=(0,4,1),=yc-bz=3,%=

be

一"z=_(xc-az)--A/3,Z0==M-ay=4百(%为/。同除以百，简化法向量),按此公

acab

式求解，则%=V3,y0=-l,z0=4.

所以平面AEF的法向量〃=(73,-1,4)，同理可求得平面的法向量加=(1,0,0)，接下来就是常规

操作了.

4.试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题：

如图，已知四边形ABCD和BCEF均为直角梯形，AD//BC,CE//BF,且

/BCD=NBCE=90°，平面ABCD±平面BCEF,BC=CD=CE=2AD=2BF=2

(I)证明:AF7/平面3DE.

(II)求锐二面角A—OE-B的余弦值.

E

答案：

证明：(1).•・平面ABCD，平面BCEF，平面ABCDc平面BCEF=BC,CE1BC,CEu平面

BC、CO两两垂直以C为原点,C。为x轴,CB为y

轴,CE为z轴,建立空间直角坐标系，则5(0,2,0),0(2,0,0),E(0,0,2),A(2/,0)/(0,2,1),

设平面BDE的法向量加=(x,y,z),E3=(0,2,—2),E£>=(2,0,—2),则

m-EB=2y-2z=()

\,取x=l,得

m-ED=2x-2z=0

m=(1,1,1),AF=(-2,1,1),AF-m^0,:.AF±m,AFcH平面BDE,..4E//平面BDE.

(II)方法1：设平面ADE的法向量〃=(a,b,c)，平面ADE和平面由定成锐二面角为

n

0,DA=(0,1,0),DE=(-2,0,2),fli]<DDA=b=0，取。=1,得〃=(1,0,1),由(|)知平

DE=-2a+2c=0

面5OE的法向量〃z=

(1,1,1),cos0=尸锐二面角A-DE-B的余弦值为g.

\m\-\n\V3-V233

方法2:(求解第二问)

DA=(x,y,z)=(0,1,0),DE=(a,b,c)=(-2,0,2),x0=

yzxy,

=yc-b=2,y==：=也一到=2伉，%,Zo同除以2,

hcZ0ab

简化法向量），按此公式求解，则％=1，＞o=O,zo=l.

因此平面AQE的法向量〃=(1,0,1),同理可以算得平面8DE的法向量〃7=(1,1,1),最后用向量

数量积求解夹角即可.

5.(2021.河南模拟)如图，在梯形ABCD中，

48//8,/。=60°,8=248=28。=24)=4,七为。。的中点，尸为4后的中点,沿

AE将三角形AOE折起.

⑴证明:在折起过程中，平面BDF_L平面BCD,

⑵当折起到平面A£>E_L平面ABC时求二面角A—CD—E的余弦值.

答案：

⑴证明:在平面图形中，因为E为CO的中点且CD=2AD,所以。E=AD=CE,又ND=60。,

所以A4DE为正三角形，所以AD=AE,又AB=AD,所以钙=AE,又AB//C。所以

NE43=NT>E4=60°,所以AABE为等边三角形.在折起过程中，因为F为AE的中点，所以

AEVDF,AELBF,因为CE=DE=AD=AE,AD=BC=AB,所以

AB=BC=CE=AE，所以四边形ABCE为菱形，所以BC//AE,所以

，5F,3d,又3EcOF=尸,3F,OFu平面BOF,所以BCJ_平面BDF,又

8Cu平面8CO,所以平面BDF±平面BCD

方法1:解:由⑴知DF±AE,因为平面ADE_1_平面ABC,平面ADEc平面ABC=AE,DFu

平面ADE，所以OR_L平面ABC,从而。尸_L班'，又班'J_AF，所以FA,FB,ED两两垂

直以点F为坐标原点,FA尸。的正方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系

F-xyz(如图)厕A(l,0,0),3(0,区0),0(0,0,73),£(-1,0,0),F(0,0,0),

即FC=FB+BC=FB+AE=(0,y/3,0)+(-2,0,0)=(-2,>/3,0),即C(-2,6,0)，所以

AC=(-3,G,0),AD=(-1,0,&ED=(1,0,百),EC=(-1,50).设平面ACD的法向

m-AC=0f-3x+=0r

量为〃?=(x,y,z),则<，即厂，令x=6,可得平面ACD的一个法

m•AD=0[-X+J3z=0

向量加=(73,3,1)；设平面CDE的法向量为n=(a,b,c)厕\nED=0a+下>c=0

〃EC=0-a+6b=0

令。=百，可得平面CDE的一个法向〃=1),所以

C0S<m,">=,