2023届江苏南京江浦高级中学高一年级上册数学期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1.函数f(x)=e"+x-2的零点所在的一个区间是

A.(-2-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

2.从含有两件正品q,%和一件次品乙的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产

品中恰有一件是次品的概率为()

14

9

2

3

3.已知函数,且/(5a-2)>-/(«-2),则。的取值范围是()

A.(0,-Ho)B.(-oo,0)

c."|D.|，+8

4.若a=ln2,c=log1,则有

2

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

5.已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，且在(0,+8)上单调递增，若/(log28)=0,,则4(x)>0的解集为()

A.(-3,0)53,+8)B.(-3,0)50,3)

C.-3)U(0,3)D.(-8,-3)53,+S)

6.下列各组中的两个函数表示同一函数的是()

k.y=般,y=GB.y=lnx2,j=21nx

%2—1.%2+11

Cy=----,j=x+lD.y=-----,y=x+一

x-\XX

7.已知直线/、m、〃与平面a、§,下列命题正确的是（）

A若a///?,lua,nu。，则///〃B.若a，dlua,则/JL6

C.若/_Ln,m±n,则〃/mD.若/_La,/〃£,则。_L/7

8.终边在x轴上的角的集合为（）

A.{aIQ=k7t,kGN}B.{a\a=k/r.kZ}

C.{a\a=2k兀,kcN]D.{a\a=2k7VykE.Z]

9.已知角a的终边经过点”（1,8）,贝（Jtan2«=（）

A.25/2B.V2

c.-2V2D.—\/2

10.函数丁=8§2工+5皿尤一1的值域为（）

B.叫

CE2（DEL；]

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11.已知。为第四象限的角，sin6>+cos6>=—,贝!Jcos26=.

3

12.如图，已知矩形ABCD,AB=LBC=a,如_L平面45CQ,若在8c上只有一个点。满足尸QJL。。，则a的值

等于________

13.已知/（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-8,0）上单调递增•若实数。满足f>f（7）,则a的

取值范围是.

14.已知函数/（x）=E"—2）-二对任意不相等的实数七，%,都有/（内）一〃也）<o,则。的取值范围

logax,x>l

为.

15.已知角a的终边过点(5,-12),贝!jcosa+gsina=.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.已知函数g(x)=6+〃，〃(x)=f+l,/。)=髭.若不等式〃(x)—g(x)—3W0的解集为［-1,2］

(1)求。1的值及/(x)；

(2)判断函数/(x)在区间(0,1)上的单调性，并利用定义证明你的结论

(3)已知e(0,+oo),且占<々，若/(内)=〃w).试证：玉+%2>2.

17.已知函数/(x)=sinx,(XGR),将/(X)图象向右平移T个单位，得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的解析式，并求在［-24,0］上的单调递增区间；

(2)若函数/z(x)=/(x>g(x),求〃(x)的周期和最大值.

18.已知函数.f(x)=2Gsinxcosx+2cos".

(1)求/哈r)r的值;

(2)若函数/*)在区间［-加,加］是单调递增函数，求实数”的取值范围；

(3)若关于x的方程/(幻一。=0在区间(。仁］内有两个实数根牛天，记f=acos(%+尤2),求实数f的取值范围.

19.已知f(x)是定义在L—2,2］上的奇函数，/(—1)=2,当xe［-2,0］时的解析式为/(x)=J+=(a,beR).

(1)写出/(x)在［0,2］上的解析式；

(2)求"X)在［0,2］上的最值.

3

20.已知/(x)=A/^sinxcosx+3sin2x-5.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求y=/(x)的单调增区间；

TT5冗

⑶当xe§不时，求y=/(x)的值域.

21.已知函数/(x)=lnx,g(x)=e*-eT

(1)若3XG［0,1］,g(x)</(a)成立，求实数。的取值范围;

(2)证明：/z(x)=/(尤)+sin(x有且只有一个零点M，且g卜E笺■)<■!

参考答案

一、选择题(本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.)

1、C

［解析］•♦•/(—2)=e-2_2_2<O,/(_l)=eT_］_2<O,/(O)=e0+0_2(O,/(l)=e+l_2)0

.•./(l)/(O)<O,所以零点在区间(0,1)上

考点：零点存在性定理

2、B

【解析】根据独立重复试验的概率计算公式，准确计算，即可求解.

21

【详解】由题意，该抽样是有放回的抽样，所以每次抽到正品的概率是：，抽到次品的概率是I,所以取出的两件产

?14

品中恰有一件是次品的概率为P=C；x-x-=-.

故选：B.

3、D

【解析】由定义可求函数的奇偶性，进而将所求不等式转化为/(5a-2)>/(-a+2),结合函数的单调性可得关于a

的不等式，从而可求出a的取值范围.

【详解】解：根据题意，函数/(%)=；+；、,其定义域为R,

3T_3AV-3-x

又由/(-x)=-——=~—=-/(x),/(x)为奇函数，

3T+3*3*+3-、

2

又〃力=1-77~7,函数尸处1为增函数，则/(x)在R上单调递增；

9+1

2

f(5a-2)>-f(a-2)=>f(5a-2)>于(-a+2)n5a-2>-a+2,解可得a>7,

故选:D.

【点睛】关键点睛：本题的关键是由奇偶性转化已知不等式，再求出函数单调性求出关于”的不等式.

4、C

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将。,仇。与0」作比较，从而得到结果.

【详解】'/log!e=-log2e<0=In1<In2<Ine=1=^-°;.b>a>c

2

本题正确选项：c

【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的

大小关系得到所求的大小关系.

5、D

【解析】由y(log28)=0,可得/⑶=0,由单调性即可判定y=/(x)在(0,3)和(3,”)上的符号，再由奇偶性判

定在(-8,-3)和(—3,0)上的符号，即可求解.

【详解】•••"log?8)=0,即/⑶=0,

•.•，=/(幻在(0,+8)上单调递增，二当工«0,3)时，f(x)<0,此时对'(xXO,

当xw(3,4oo)时，/(%)>0,此时W(x)>0,

又•••y=/(x)是定义在R上的奇函数，...y=/(x)在(一8,0)上单调递增，且〃-3)=0,

当xe(-oo,-3)时，/(%)<0,此时4(x)>0,

当xw(-3,0)时，/(x)>0,此时M.(x)<0,

综上可知，#。)>0的解集为(-0>,-3)53,+8),

故选:D

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的交汇，求得函数在各个区间上的符号是关键，考查了推理能力，属于中

档题.

6、D

【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.

【详解】对于A,y=MF=x定义域为R,而丁二正,划定义域为区，定义域相同，但对应法则不同，故不是同

一函数，排除A：

对于B,>=1商定义域(_8,0)1；(0,小)，而y=21nx定义域为(0,+a),所以定义域不同，不是同一函数，排除B；

对于C,)'=士1定义域为(ro,l)u(l,+oo),而y=x+l定义域为R,所以定义域不同，不是同一函数，排除C；

x-1

对于D,y=立4与丫=*+，的定义域均为(y,0)U(0,T8),且y=£ll=x+』，对应法则一致，所以是同一

XxXX

函数，D正确.

故选：D

7、D

【解析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.

【详解】A.若a〃£，&，n^p,则///〃或异面，故A不正确；

B.缺少/垂直于交线这个条件，不能推出/，，，故B不正确；

C.由垂直关系可知，/〃机或/,〃?相交，或是异面，故C不正确；

D.因〃/尸，所以平面£内存在直线〃?///,若/La,则m_La,且加u£,所以故D正确.

故选：D

8、B

【解析】利用任意角的性质即可得到结果

【详解】终边在x轴上，可能为x轴正半轴或负半轴，所以可得角a=br,ZeZ,故选B.

【点睛】本题考查任意角的定义,属于基础题.

9、C

【解析】根据任意角的三角函数的定义，求出tanc,再利用二倍角公式计算可得.

【详解】解：因为角a的终边经过点“0,夜)，所以tana=0，所以tan2a=：2。=普=-2也

故选：C

10、C

【解析】由二倍角公式化简y=-sin2x+sinx,设/=sinx,利用复合函数求值域.

【详解】函数,y=cos2x+sinx-1=1—sin2x+sinx-1=-sin2x+sinx,

设/=5皿兀，贝！I/(/)=-/+f,

由二次函数的图像及性质可知一24—/+/〈二，

4

所以y=cos2x+sinx-1的值域为［一2,占,

故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

V5

11、

3

【解析】给sin。+cos。=立两边平方先求出2sin0cos，，然后利用完全平方公式求出cos8-sind再利用公式

3

cos20=cos2(9-sin28可得结果.

Fy|?

【详解】•••sin6+cos6=火，两边平方得：1+sin26=.•.sin2。=一二，

333

5

二(sing-cos昉9=1—sin2^=—,

:6为第四象限角，...sinevO,cos6>>0,.,.cos6>-sin^=—,

3

••cos23=(cos0-sin(cos0+sin0)=

故答案为：逝

3

（点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.

12、2

【解析】证明。平面PAQ得到AQJ.QQ,故BC与以AO为直径的圆相切，计算半径得到答案.

详解】•平面ABC。，OQu平面ABC。，故PAJ.DQ,PQLQD,PACPQ=P,

故DQL平面PAQ,AQu平面PAQ,故AQLOQ,

在5c上只有一个点。满足PQLQD,即BC与以4D为直径的圆相切,

AD//BC,故相>,8。间的距离为半径，即为1,故。=4）=2.

故答案为：2

13、

(式)

【解析】由题意，「在（o,+s）上单调递减，又门;；是偶函数,

则不等式〃2上-叫>/（_g）可化为〃2g71）>/（&），则力-1<\0।,解得.3

|a一<二-<a<-

3ci—2<0

【解析】首先根据题意得到了(x)在R上为减函数，从而得到,再解不等式组即可.

3a-2+4a>logf/1

【详解】由题知：对任意不相等的实数再，/，都有小I'<2，<o,

%一%

所以/(x)在R上为减函数，

'3a-2＜0

22

故＜0＜。＜1,解得：一＜Q＜一.

73

3a-2+4a＞logt/1

~22、

故答案为：

_73)

【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题.

1

.5、——

13

【解析】根据角终边所过的点，求得三角函数，即可求解.

【详解】因为角。的终边过点(5,-12)

5

则cosa=

13

.-12-12

sina=...=

阳+(-12)2IT

1

所以cosa+—sina

13

故答案为：—-

(点睛】本题考查了已知终边所过的点,求三角函数的方法,属于基础题.

三、解答题(本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

Y

16、(1)a-1,b=Oi/(%)=—~-

(2)函数/(x)在区间(0,1)上的单调递增，证明见解析

(3)见解析

【解析】(1)根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值

(2)定义法证明单调性，假设也<々，若/ak"9)，则单调递增，若/(%)>.〃々)，则单调递减

(3)单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大

【小问1详解】

h(x)-g(x)-3<0,即f一欠一匕一2wo,因不等式解集为一1,2,所以｛,C八，解得：，八，

4一2。一8一2=0b=0

y

所以〃力二"

【小问2详解】

函数/(x)在区间(0,1)上的单调递增，证明如下:

假设x,<x2,则X]-超<0

玉x+%一一X2_(玉一“2)(1一玉工2)

/(%,)-/(x)2

22

X2+1(%2+1)(均2+])(石2+1)(/2+1),

(西一无2)(1一%々)

因为百,％2€(()4)，所以1一%莅>()，所以/&)-/(%)<。，即当为时，，

所以函数“X)在区间(0,1)上的单调递增

【小问3详解】

由(2)可得：函数/(x)在区间(0,1)上的单调递增，在区间(1,+?)上的单调递减，因为/(%)=/(々)，且

G(0,+OO),玉<々，所以不e(O,l),ww(l,+co),2一玉€(l,+oo)

证明七+々〉2,即证明々>2-凡，即证明/(/)</(2—%)，因为/(玉)=/(七)，所以即证明

(、,、x.(2-xJ

/(x,)</(2-x,),代入解析式得：-7T7<7<；>即

%+1(2—xj+1

X(2f)x(2-x)

<0,令0(x)=，X€(O，1),因为/(x)=-7^在区间(0,1)上的单调递增,

2

V+l(2-X,)2+1x+\(2-4+1X+1

(27)

根据复合函数同增异减的性质可知在区间(0,1)上的单调递减，所以

，(2-x『+l

x(2—x)

*)=,xe(O,l)单调递增，即e(x)1rax=夕(1)=0,所以0(x)<()在区间(()/)上恒成立，即

x2+l(2-X)2+1

X<（2—王）

得证：%1+x>2

x：+l（2—x,）'+12

【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过

程中应用到以下知识点:

(1)可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若/(w)</(2-玉)，且/(x)单减,

则々>2-斗；解题过程

(2)单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数

17、(1)g(x)=-cosx,增区间是［一2肛一万)

(2)周期为我兀aeZ,k*O),最大值为

2

【解析】(1)由图象平移写出g(x)的解析式，根据余弦函数的性质直接确定单调增区间.

(2)应用二倍角正弦公式可得/?(x)=-'sin2x,结合正弦型函数的性质求周期和最大值.

2

【小问1详解】

TT

由题设，g(x)=sin(x—5)=—cosx,而V=cosx在［-2%,))上递减，(-①0］上递增,

所以g(x)的单调增区间是［-2肛-乃).

【小问2详解】

由(1)有"(x)=-sinxcosx=一■-sin2x,

2万1

所以，最小正周期为7=万=不，最大值为〃(x)gx=5,此时sin2x=—l.

综上，/z(x)周期为E/eZ,ZwO),最大值为;.

18、(1)6+1⑵0<m<(3)］目

【解析】分析：(1)先根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数，再代入求值；(2)根据正弦函数性质

确定单调性递增区间，再根据区间之间包含关系列不等式，解得实数〃?的取值范围；(3)先根据正弦函数图像确定a的

TT

取值范围，再根据对称性得最后代入求实数/的取值范围.

详解:

(1)V/(x)=V3sin2x+cos2x4-l

sin2x+—cos2x+1

2

7

=2sinf2x+?)+1

f(专)=2，也+1=2siny+l=^3+1

冗冗兀

(2)由2k兀---<2xH—W2kjiH—,keZ

262

JIJI

得&TT---<xWZCTTH—，keZ

36

.../(x)在区间knq,k7i+%(keZ)上是增函数

当％=0时，/(x)在区间一上是增函数

若函数/(x)在区间［-加,向上是单调递增函数，则［-〃?,〃?］1

7C

m<—

6

jrjr

-m>——,解得0<根<一

36

m>0

(3)方程〃x)—a=()在区间［o,1^内有两实数根玉,々(玉＜毛)等价于直线y=”与曲线

/(x)=2sin(2x+?)+l有两个交点.

■\

,当0cxe1时,由⑵知当(x)=2sin(2x+/J+1在(0,看上是增函数，在卷,3上是减函数，且/(0)=2,

2<a<3

即实数”的取值范围是(2,3)

•.•函数，(x)的图像关于x=工对称

6

・冗(x,+x)=|

・・%+工)——:.cos2

点睛:函数y=Asin(@r+⑺)+8(A>0,<y>0)性质

⑴为ax=A+B,y1nhi=A_B.

27r

(2)周期T=^.

CD

TTTT

(3)由+Q=g+E(女eZ)求对称轴，最大值对应自变量满足。x+e=］+2E/eZ),最小值对应自变量满足

371

COX+(P=彳+2尿*GZ),

JT7T

(4)由一万+2版<cox+^?<—+2kit(kGZ)求增区间；

TT37r

由+奇+2防1(左eZ)求减区间

19、(1)f(x)=2x-4x

(2)最大值为0,最小值为-12

【解析】(1)先求得参数"、h,再依据奇函数性质即可求得f(x)在［0,2］上的解析式；

(2)转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.

【小问1详解】

因为/(x)是定义在［-2,2］上的奇函数，所以/(0)=0,即a+b=0,

[4a+2b=2fa=l

由/(-1)=2,得4。+»=2,由，八，解得，j

[a+b=0[6=—1

则当XG[—2,0]时，函数解析式为了(幻=[一]

42

设XG[0,2],则一xe[-2,0],f(x)=-f(-x)=--^)=2v-4V,

即当xe[0,2]时，f(x)=2x-4r

【小问2详解】

当xe[0,2]时，2,e[l,4]

/(幻=2-2'W，

所以当丁=1，即x=0时，〃x)的最大值为0,

当2、=4,即x=2时,f(x)的最小值为一12.

20(1)兀

,、兀,3兀•._

(2)---^ICJI,—+ICJI,kEZ

(3)一三6

2

【解析】(1)利用降幕公式等化简可得/(x)=6sin[2x-]J,结合周期公式可得结果;

TVJL

(2)由一一+2kn.<2x一一4一+2版，keZ,解不等式可得增区间；

232

7T

(3)由x的范围，得出2x-1的范围，根据正弦函数的性质即可得结果.

【小问1详解】

/(x)=\/3sinxcosx+3sin2x--

百._1-cos2x3G.e3

=—sin2x+3x----------=—sin2x—cos2x

22222

=G—sin2x-^-cos2x=V3sinf2x--1

(22JI3)

.••函数/(尤)的最小正周期T号=兀.

【小问2详解】

兀7C7T

由---F2%兀W2x—<—F2/CJI9keZ

232

TT57r

得----FkitWxWkit4---keZ

12129

所求函数的单调递增区间为若+,kS

【小问3详解】

7T5兀c兀兀4兀

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