2021年人教版数学中考第一轮练习“隐形圆”在求最值中的应用 (一)

“隐形圆”在求最值中的应用

类型1定点定长作圆

硼T如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线段BC

边上的动点，将AEBF沿EF所在的直线折叠得到aEB'F,连接B'D,求B'D

的最小值.

D

C

类型2线圆最值

偈吃如图，在RtZ^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=6,点F在边AC上,

并且CF=2,点E为边BC上的动点，将4CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处,

求点P到边AB距离的最小值.

类型3直角对直径

霞3如图，在Rt/^ABC中，AB±BC,AB=2,BC=3,P是AABC内部的一个动点,

且满足NPAB=NPBC,求线段CP长的最小值.

类型4定弦定角

如图，已知正方形ABCD的边长为4,点M和N分别从B,C同时出发，以相

同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN交于点P,求PC长的

最小值.（请在图中画出点P的运动路径）

类型5四点共圆

如图，AABC是等边三角形，D为BC边上的一点，ZADE=60°,DE交NACB

的外角平分线于点E,求证：AD=DE.

专题精炼

类型1定点定长作圆

1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，NA=60°,点M是AD边的中点，点N

是AB边上的一动点，将AAMN沿MN所在的直线翻折得到AA'MN,连接A'C,

则A，C长度的最小值是（）

类型2线圆最值

2.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分另ij是AD,DC边上的点，

且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG的最小值为

3.如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,0为AC的中点，过点0

作OE_LOF,OE,OF分别交射线AB,BC于点E,F,连接EF,则EF的最小值为

4.（2020•山东东营）如图，在RtaAOB中，0B=2第，ZA=30°,。。的半径

为1,点P是AB边上的动点，过点P作。0的一条切线PQ（其中点Q为切点），

则线段PQ长度的最小值为.

类型3直角对直径

5.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,以BC为斜边在矩形所在的平面作Rt^BEC,

F为CD的中点，则EF的最小值为（）

1

A.~B.1C.2

乙

类型4定弦定角

6.如图，ZA0B=45°,在等腰直角4CDE中，当CD的长保持不变且等于2时,

0E的最大值为

类型5四点共圆

7.如图，正方形ABCD的边长为4,E为正方形外的一动点，且NAED=45°,

若AP=1,则线段PE的最大值是（）

A.5B.^5+2^2

C.2+2啦D.3+2吸

8.如图，在AABC中，NB=60°,NC=45°,BC=M5+1,点P为边AB上的

一动点，过点P分别作PDJ_BC于点D,PEJ_AC于点E,则DE的最小值为.

参考答案

【例1】解：根据折叠的性质可知△EBFg/^EB'F,.,.EB,=EB.

又是AB边的中点,AB=4,

.•.AE=BE=EB'=2.

.•.点二在以E为圆心，EA为半径的圆上运动，

.•.当D,Bz,E三点共线时，B'D的值最小，如图.

VAD=6,AE=2.

DE=^/AD2+AE2=^62+22=2710

.•.B'D=DE-BZE=2皿-2.

［例2］解：VZA=60°,AC=6,

由翻折的性质可知PF=FC=2,ZFPE=ZC=90°,

.,.点P在以F为圆心，以2为半径的圆上

由“垂线段最短”可知当FP±AB于点D时-，点F到AB的距离FD最短，如图.

又〈FP为定值，.•.此时PD有最小值.

VAF=4,NFDA=90°,NA=60°,

FD=AF,sinA=4X-^=2-\/3,

乙

点P到边AB距离的最小值PD=DF—PF=245—2.

【例3】解：•「ABLBC,AZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°.

又•.•/PAB=NPBC,.,.ZBAP+ZABP=90°,

，NAPB=90°,

，点P在以AB为直径的。。上.

如图，连接0C交。。于一点，当点P为该点时线段PC的长最小,

在RtaBCO中,VZ0BC=90°,BC=3,OB=1,

/.OC=^/OB2+BC2=^/l2+32=Vio,

：.PC=QC-QP=yllQ-l,

，线段CP长的最小值为#5-1.

【例4】解：由题意得BM=CN.

•.•四边形ABCD是正方形，

AZABM=ZBCN=90°,AB=BC=4.

在4ABM和4BCN中,

[AB=BC,

<ZABM=ZBCN,

、BM=CN,

AABM^ABCN(SAS),ZBAM=ZCBN.

VZABP+ZCBN=90°，/.ZABP+ZBAM=90°，

AZAPB=90°,

...点P在以AB为直径的。。上运动，且运动路径为一条弧BG,是这个圆的'

连接0C交。。于一点，当点P为该点时PC的长最小，如图.

VAB=4,.•.0P=0B=2,

由勾股定理，得0C=d6祖由=卷不?=2m,

.*.PC=0C-0P=2^/5-2,

.•.PC长的最小值为2^5-2.

【例5】证明：如图,连接