高考数学一轮复习 第十一单元 空间位置关系 高考达标检测（三十）平行问题3角度-线线、线面、面面 理-人教版高三数学试题

高考达标检测（三十）平行问题3角度——线线、线面、面面一、选择题1．(2018·惠州模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是()A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：选C借助正方体模型进行判断．易排除选项A、B、D，故选C.2.如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是()A．B′C′ B．A′BC．A′B′ D．BB′解析：选B连接A′B，∵A′B∥CD′，CD′⊂平面AD′C，∴A′B∥平面AD′C.3．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是()A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α解析：选A由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．4．(2018·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中命题正确的是()A．①④ B．②③C．①②③ D．②③④解析：选D对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．综上所述，②③④正确．5．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，故选C.6．(2018·合肥模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定解析：选A如图，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF.二、填空题7．有下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③若平面α与平面β平行，直线l在平面α内，则l∥β；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．解析：①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故①错误；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行或异面，故②错误；③由面面平行的定义可知，③正确；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故④正确．答案：③④8．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO解析：如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点9．如图，在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱VC，VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则eq\f(VB,FB)＝________.解析：连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF，由VC＝3EC⇒VM＝ME＝EC，又AO＝CO⇒AM∥EO⇒AM∥平面BDE，又由题意知AF∥平面BDE，且AF∩AM＝A，∴平面AMF∥平面BDE⇒MF∥平面BDE⇒MF∥BE⇒VF＝FB⇒eq\f(VB,FB)＝2.答案：2三、解答题10.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)设BC＝3，求四棱锥B­AA1C1D解：(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C∴平面ABC⊥平面AA1C∵平面ABC∩平面AA1C1C作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，∴BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6,\r(13))，∴四棱锥B­AA1C1D的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(A1C1＋AD)·AA1·BE＝eq\f(1,6)×eq\f(3,2)eq\r(13)×2×eq\f(6,\r(13))＝3.11．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(PD,\s\up7(→))，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝eq\f(3,2).理由如下：当λ＝eq\f(3,2)时，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PD,\s\up7(→))，可知eq\f(AP,AD)＝eq\f(3,5)，如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，则有eq\f(MP,FD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(3,5)，又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，所以MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，又CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，所以CP∥平面ABEF.12.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，E为PA的中点，∠BAD＝60°.(1)求证：PC∥平面EBD；(2)求三棱锥P­EDC的体积．解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接OE.由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，又E为AP的中点，所以OE∥PC.因为OE⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.(2)S△PCE＝eq\f(1,2)S△PAC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝eq\r(3).因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以DO⊥平面PAC，即DO是三棱锥D­PCE的高，且DO＝1，则VP­EDC＝VD­PCE＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1(1)求证：DD1⊥平面ABCD；(2)求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1(3)若CF∥平面A1BE，求棱BC的长度．解：(1)证明：因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因为AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面ABCD.(2)证明：因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD.因为DD1⊥平面ABCD